Теорема (необходимый признак экстремума функции двух переменных)

Пусть дифференцируемая функция имеет экстремум во внутренней точке области определения. Тогда в точке значения всех частных производных первого порядка функции равны нулю:

Таким образом, для нахождения точек возможного экстремума функции нужно решить систему уравнений

Для функций нескольких переменных достаточные признаки экстремума более сложные, чем для функции одной переменной. Сформулируем достаточный признак экстремума функции двух переменных .

Теорема (достаточный признак экстремума функции двух переменных)

Пусть в точке частные производные первого порядка функцииравны нулю. Обозначим черезчисло

.

Если , то в точкефункцияимеет локальный экстремум, причем если, то локальный максимум, а если, то локальный минимум.

Если , то в точкефункцияне имеет экстремум.

Если , то вопрос о наличии экстремума в точкеостается открытым (требуются дополнительные исследования).

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение

1) Найдем критические точки (возможного экстремума) функции, приравняв к нулю первые частные производные:

(необходимые условия экстремума). Отсюда Выразим и подставим во второе уравнение:

; ;;.

Решением уравнения являются числа,(комплексные корни уравненияне принимаем во внимание.)

Находим значения , соответствующие значениям,. Из уравненияимеем,. Получены две критические точкии.

2)Исследуем обе критические точки на экстремум, применяя достаточное условие экстремума.

Найдем частные производные второго порядка:

; ;.

Найдем выражение и вычислим его значения в точкахи.

А)Для критической точки получим:

,

значит, в точке функция не имеет экстремума.

Б)Для критической точкиполучим:

,

значит, в точке функция имеет экстремум. Поскольку, то функция имеет максимум.

3)Вычислим значение функциив точке максимума:

.

Ответ:.

2. Условный экстремум

• Экстремум функции , переменные которой удовлетворяютуравнению связи , называетсяусловным экстремумом.

Если -точка условного максимума функции , тодля координат точек , достаточно близкихк точке , должныодновременно выполняться не только неравенство , но и условие.

Если уравнение связи одно, то найти условный экстремум функцииможно методом подстановки: выразить из уравнения связи какую-либо переменную и подставить в функцию, затем найти безусловный экстремум функции одной переменных.

Пример 2. Найти точки условного экстремума функции , если.

Решение

Из уравнения связи выразим переменнуюи подставим ее в функцию. Получим функцию одной переменной.

Найдем критические точки этой функции, приравнивая производную к нулю: .

Так как вторая производная положительна , то в критической точкефункция одной переменнойимеет минимум:.

При значение.

В точке функция двух переменныхимеет тоже минимум:.

Заметим, что экстремальные значения функции одной переменной и функции двух переменныхсовпали.

Ответ: .

Контрольные вопросы

1. Что называется максимумом (минимумом) функции ?

2. Сформулируйте необходимый признак экстремума функции: а) двух переменных; б) трех переменных.

3. Сформулируйте достаточный признак экстремума функции двух переменных.

4. Опишите правило нахождения экстремума функции двух переменных.

5. Что называется условным экстремумом функции ?

6. Изложите метод подстановки нахождения условного экстремума функции двух переменных.