Занятие №7 Задачи оптимального проектирования Основные понятия

При оптимальном проектировании важными элементами математической модели являются зависимости между параметрами объекта проектирования. Такие зависимости могут быть теоретическими и статистическими. Если теоретические зависимости отсутствуют, то необходимые соотношения можно определять на основании имеющихся статистических данных.

Для определения статистических зависимостей необходимо выполнить 2 шага:

1. На основании физического смысла статистических данных принять вид аналитических зависимостей (линейная зависимость, полином 2-ой степени, экспонента и т.д.);

2. С помощью метода наименьших квадратов по имеющимся статистическим данным найти значения величин, определяющих конкретный вид принятых зависимостей.

Полученные аналитические зависимости называются уравнениями регрессиии в общем случае имеют видy=f(x₁,x₂, …,x_n)

Классификация уравнений регрессии приведена на рис.1.

Регрессия называется парной, если она описывает зависимость между функцией и одной переменной :y=f(x).

Регрессия называется множественной, если она описывает зависимость между функцией от нескольких переменных:y=f(x₁,x₂, …,x_n).

Вид зависимости бывает линейный и нелинейный.

Важной характеристикой регрессионных зависимостей является мера их достоверности, которая оценивается величиной R². ВеличинаR²находится в пределах 0≤R²≤1 .

Минимальное количество исходных данных (К), необходимое для нахождения коэффициентов в уравнении регрессии, определяется по формуле: К = М + 2.

Например, для уравнения линейной регрессии вида y=b + mx необходимо определить 2 величины (b, m); К=4. Для уравнения регрессии в виде полинома 2-й степени вида y=b + m₁x + m₂x² необходимо определить 3 величины (b, m₁, m₂ ); К=5.

Величина К является нижнейграницей количества исходных данных.

1. Определение уравнений линейной регрессии

Постановка задачи

Уравнение регрессии имеет вид: .

Для получения уравнения регрессии необходимо:

• определить значения b,m_i ;

• оценить достоверность полученного уравнения;

• оценить достоверность коэффициентов в уравнении регрессии.

Ответы на эти вопросы можно получить с помощью функции ЛИНЕЙН ( ). Исходные данные в эту функцию необходимо ввести в формате: =ЛИНЕЙН(интервал значений y; блок значенийx_i; константа, статистика).

2.2. Условия задачи

Исходные данные приведены в таблице. В этой таблице указаны два технических параметра:

x₁ – производительность (количество операций в час);

х₂– характеристика качества (время наработки на отказ в днях);

и один экономический:

y– цена аппаратуры (в тыс.руб.).

Требуется определить уравнение регрессии, устанавливающее зависимость цены от технических параметров.

1. Определение уравнения линейной регрессии

   1. Ввести исходные данные:

• блок значений хвB4:C9;

• интервал значений yD4:D9.

1. Определить максимальные и минимальные значения переменных:

• использовать – Мастер функций, Статистические, МИН (МАКС);

• результаты расчеты поместить: МИН - В11, С11; МАКС – В11, С12.

1. Определить коэффициенты уравнения линейной регрессии

• поместить курсор в ячейку В14;

• выделить блок В14:D18 (число строк – 5 всегда; столбцов – 3 (n+1);

• в ячейку В14 ввести : =ЛИНЕЙН(интервал значений y; блок значенийx_i; истина, истина);

• выполнить команду <Shift>+<Ctrl>+<Enter> (на экране появится результат вычислений).

Расшифровка полученных значений приведена в таблице.

mn	mn-1	…	m1	b
[ mn]	[ mn-1]	…	[ m1]	[ b]
R2	[ g]
Fрасч	df
SSreg	SSresid

Где b, m₁, m_n-1, m_n –искомые величины в уравнении регрессии;

[ b], [ m_i] – средние квадратичные отклонения полученных значений;

R² – величина, характеризующая достоверность (коэффициент корреляции);

df –число степеней свободы, определяемое по формуле :df=k– (n+ 1),k– число строк в таблице исходных данных;n– число аргументов (df=3).

Тогда искомое уравнение регрессии имеет вид:

y = 1721 + 3,9x₁ + 5,7x_2.

2. Оценка достоверности уравнения регрессии

   1. Курсор в ячейку F17.

   2. Мастер функций, Статистические, FРАСП; Готово.

   3. Рассчитать значение G17 = 1-F17 (полученное значение показывает достоверность наличия зависимостиyотx_i) .

2.4. Оценка достоверности значений b и m_i

2.4.1. Вычислить величины ( );

2.4.2. Определить β-вероятность (что значения m_iи_iне достоверны):

• Курсор в В22;

• Мастер функций, Статистические, СТЬЮДРАСП (х=t_iв ячейку В21; степень свободыdf–C17; хвосты 2 используется 2-степенное распределение Стьюдента),Готово(результат вычисления в ячейке В22).

3. Определить (1- β) – вероятность того, что значения m_i достоверны

(расчет произвести в ячейке В23);

3. Скопировать В22:В23 в ячейки С22:D23;

4. Сделать выводы.

Рис.1. Для задачи «Определение уравнений линейной регрессии»