3.7. Звено запаздывания

Звено запаздывания так же, как безынерционное статическое звено, передает сигнал со входа на выход без искажения его формы. Однако все мгновенные значения входной величины выходная величина принимает с некоторым отставанием (запаздыванием). Способностью задерживать сигнал во времени, не изменяя его формы, обладают многие элементы промышленных автоматических систем. В первую очередь к таким элементам относятся транспортирующие устройства (конвейеры, ленточные питатели, трубопроводы), при помощи которых подают различные материалы (сырьё, топливо, реагенты) в технологические аппараты. Особенно заметно запаздывание проявляется в аппаратах, которые имеют большие размеры и в которых происходят распределённые в пространстве процессы массообмена (шаровые мельницы, флотомашины, сушильные барабаны).

Уравнение звена запаздывания

(3.94)

где - длительность запаздывания.

Уравнение (3.94) не является дифференциальным и относится к классу особых уравнений со смещённым (запаздывающим) аргументом. Оно указывает, что выходной сигнал y(t) повторяет все изменения входного сигналаx(t), но с отставанием на время.

Подставляя x(t)=1(t), можно сразу получить его переходную функцию

(3.95)

а подставляя x(t)=(t) – импульсную

(3.96)

Обе эти временные характеристики показаны на рис. 3.17,аиб.

Применяя теорему запаздывания (см. табл. 2.2), можно записать уравнение (3.94) в изображениях по Лапласу

(3.97)

отсюда ПФ звена

(3.98)

АФХ звена

(3.99)

представляет собой окружность с центром в начале координат и с радиусом, равным единице (рис. 3.17,е).

Рис. 3.17. Характеристики звена запаздывания

АЧХ звена (рис. 3.17,в) и ФЧХ (рис. 3.17,г) можно получить по формулам:

(3.100)

(3.101)

Звенья запаздывания в большинстве случаев ухудшают устойчивость систем и делают их трудно управляемыми.

Если звено запаздывания входит в контур системы управления, то характеристическое уравнение системы будет уже не простым алгебраическим, а трансцендентным. Решение и анализ трансцендентных уравнений связаны с большими трудностями. Поэтому часто в практических расчётах трансцендентную ПФ (3.98) раскладывают в ряд Пада и, учитывая только два или три члена ряда, приближенно заменяют её дробной рациональной функцией

(3.102)

Наиболее характерным примером звена запаздывания является ленточный питатель (рис. 3.18,а), который транспортирует какой-либо сыпучий материал. Запаздывание между количеством материалаQ₁(кг/с), высыпающимся в единицу времени на питатель, и количеством материалаQ₂(кг/с), на сходе питателя зависит от длиныL(м), и скорости движенияv(м/с)

(3.103)

Другим распространённым примером звена запаздывания является трубопровод (рис. 3.18,б), по которому в технологический объект управления подаётся какая-либо жидкая среда в количествеQ₂=Q₁(м³/с) и с концентрацией полезного компонентаx₂(t)=x₁(t-τ) (кг/м³).

Рис. 3.18. Звенья с запаздыванием

Отметим, что необходимость рассматривать питатель, трубопровод и другие транспортирующие устройства как звенья запаздывания возникает лишь в тех случаях, когда они являются элементами замкнутых систем управления.

Таким образом, з в е н о з а п а з д ы в а н и я о т л и ч а е т с я с л е - д у ю щ и м и х а р а к т е р н ы м и о с о б е н н о с т я м и.

1. Оно передаёт любые входные сигналы без искажения их формы, но задерживает сигналы на интервал τ; в установившемся режиме (при t>τ) выходной сигнал

y=x. (3.104)

2. Как и у других статических (позиционных) звеньев, передаточная функция

(3.105)

3. По свойствам АЧХ звено запаздывания эквивалентно безынерционному: пропускает и высокочастотные, и низкочастотные сигналы с одинаковым отношением амплитуд, равным единице; по свойствам ФЧХ оно эквивалентно инерционным звеньям: создаёт отрицательный фазовый сдвиг, пропорциональный запаздыванию τ и частоте ω.