3.3. Инерционное звено первого порядка

Дифференциальное уравнение звена имеет вид

(3.14)

где k– передаточный коэффициент, характеризующий свойства звена в статическом режиме;Т– постоянная времени, характеризующая инерционность звена.

Переходную функцию звена можно найти как сумму общего и частного решений уравнения (3.14). Применяя методику, изложенную в разделе 2.5, получим следующее выражение для переходной функции

(3.15)

График переходной функции изображён на рис. 3.3,а. Методами аналитической геометрии нетрудно убедиться в том, что касательная к кривойh(t) в точкеt=0 отсекает на горизонтальной прямойh=kотрезок, равный постоянной времениТ. Переходная функция приt=Tравна 0,632k, а приt=3Tфункцияh(t) достигает значения 0,95k. В приближённых расчётах обычно считают, что приt=3Tпереходный процесс практически закончился.

Рис. 3.3. Характеристики инерционного звена первого порядка

Импульсная переходная функция звена может быть получена путём дифференцирования функции h(t). Для инерционного звена первого порядка импульсная функция имеет вид (рис. 3.3,б)

(3.16)

Применяя к левой и правой частям уравнения (3.14) преобразование Лапласа, получим уравнение динамики звена в операторной форме

(3.17)

Из уравнения (3.17) находим передаточную функцию звена

(3.18)

Подставляя в передаточную функцию p=j, получим АФХ

(3.19)

Умножая числитель и знаменатель функции (3.19) на выражение (1-jT), сопряжённое со знаменателем, можно избавиться от величиныjв знаменателе и представить АФХ в виде суммы действительной и мнимой частей:

(3.20)

г

(3.21)

де

Выражения (3.21) можно рассматривать как уравнение АФХ W(j), заданное в параметрической форме в системе координатP() иQ(). Роль третьей переменной (параметра) играет частота.

Если выразить мнимую составляющую Q() через действительнуюР(), то можно убедиться, что АФХ представляет собой полуокружность с центром в точке (k/2,j0) и с диаметром, равнымk(рис. 3.3,е).

Распределение точек, соответствующих различным значениям вдоль кривойW(j), зависит от величины постоянной времениТ. На графике показаны характерные точки=0,=и_с=1/Т.

Выражение для АЧХ можно получить как модуль функции W(j)

(3.22)

График функции А() изображен на рис. 3.3,в. По графику видно, чтогармонические сигналы малой частоты(<_с)пропускаются звеном хорошо – с отношением амплитуд выходной и входной величин, близким к передаточному коэффициенту k. Сигналы большой частоты(>_с)плохо пропускаются звеном: отношение амплитуд существенно меньше коэффициента k. Чем больше постоянная времени Т, т. е. чем больше инерционность звена, тем меньше АЧХ вытянута вдоль оси частот, или, как принято говорить в автоматике, тем уже полоса пропускания частот.

Таким образом, инерционное звено первого порядка по своим частотным свойствам является фильтром низкой частоты.

В практических расчётах ширину полосы пропускания _пзвеньев и систем определяют по ординатеА(_п), равной (0,05…0,10)k. Для инерционного звена первого порядка_п=(20…10)_с.

ФЧХ инерционного звена первого порядка имеет вид

(3.23)

График функции (3.23) показан на рис. 3.3,г. Чем больше частота входного сигнала, тем больше отставание по фазе выходной величины от входной. Максимально возможное отставание равно 90^о. При частоте_с=1/Тсдвиг фаз равен -45^о.

Рассматриваемое звено является минимально-фазовым. Фазовый сдвиг, создаваемый этим звеном, меньше, чем у любого другого звена с такой же амплитудной характеристикой. Например, у неустойчивого инерционного звена первого порядка

(3.24)

АЧХ не отличается от характеристики (3.22), а фазовая составляет

(3.25)

При изменении частоты от 0 дофазовый сдвиг (3.25) изменяется от –180^одо –90^о.

Рассмотрим теперь ЛАЧХ звена. Точная ЛАЧХ описывается выражением

(3.26)

В практических расчётах используют приближённую или асимптотическую характеристику L(), представляющую собой ломаную в виде двух асимптот (рис. 3.3,д). Первая асимптота (низкочастотная) получается при малых частотах, когда величинойТ²²в выражении (3.26) можно пренебречь и принять

(3.27)

Низкочастотная асимптота от частоты не зависит и представляет собой прямую, параллельную оси частот и отстоящую от неё на расстоянии 20lgk.

Вторая асимптота (высокочастотная) заменяет точную характеристику при больших частотах, когда Т²²>>1, и единицу под корнем в формуле (3.26) можно не учитывать. Выражение для этой асимптоты

. (3.28)

Эта асимптота зависит от частоты. В логарифмической системе координат она представляет собой прямую, имеющую отрицательный наклон и проходящую через точку с координатами =1/Т,L()=20lgk. Подставляя в формулу (3.28) два значения частоты₁и₂=10₁, можно убедиться, что приращение высокочастотной асимптоты, приходящееся на одну декаду, равно -20 дБ.

Значение сопрягающей частоты _с, при которой пересекаются обе асимптоты, найдём из условияL_н.ч(_с)=L_в.ч(_с):

(3.29)

отсюда

(3.30)

Можно показать, что наибольшая ошибка, получающаяся от приближённой замены точной характеристики (3.26) двумя асимптотами, равна 3дБ (при частоте _с).

Алгоритмическая схема и аналоговая модель рассматриваемого звена представлены на рис. 3.4. Коэффициенты аналоговой модели (при единичном масштабе времени)

б

(3.31)

Рис. 3.4. Алгоритмическая схема (а) и модель (б) инерционного звена первого порядка

Инерционными звеньями первого порядка являются конструктивные элементы, которые могут накапливать и передавать энергию или вещество. В электрических элементах накопителем энергии электрического поля служит конденсатор, а магнитного – индуктивность. В механических элементах потенциальная энергия накапливается в пружинах и других упругих элементах, а кинетическая – в движущихся массах. Простейшим примером такого элемента служит электрический пассивный четырёхполюсник (рис. 3.5,а), состоящий из резистора с сопротивлениемr(Ом), и конденсатора с емкостьюС(Ф). Выходная величина четырёхполюсника (напряжениеu₂) после подачи на его вход постоянного напряженияu₁изменяется пропорционально величине накапливаемого в ёмкости заряда. В первые моменты времени заряд растёт быстро (см. рис. 3.3,а), а затем, по мере приближения напряженияu₂на обкладках конденсатора к входному напряжениюu₁, ток заряда становится всё меньше, и скорость возрастания напряженияu₂постепенно падает до нуля.

Рис. 3.5. Инерционные звенья первого порядка

Параметры передаточной функции (3.18) применительно к рассматриваемому четырёхполюснику: k=1;T=rC(c).

Свойствами инерционного звена первого порядка обладают также электрические элементы с индуктивностью L(Гн), у которых выходной сигнал пропорционален току через индуктивность. Простейшим примером такого элемента является цепь, изображённая на рис. 3.5,б. Передаточный коэффициент цепиk=1, а постоянная времениT=L/r,c.

Более сложным примером звена такого рода является широко применяемый в СУ электрический генератор постоянного тока (рис. 3.5,в), у которого в качестве входной переменной рассматривается напряжение возбужденияu_в, а выходной – ЭДСe_г, наводимая в обмотке якоря генератора. Передаточный коэффициент генератора по указанному каналу

(3.32)

где с_е– константа, зависящая от конструктивных параметров генератора, В/Вб (об/с);n– частота вращения якоря, 1/с;k_н– коэффициент наклона линеаризованной характеристики намагничивания генератора, Вб/А;w_в– число витков обмотки возбуждения, приходящееся на один полюс;r_в– сопротивление обмотки возбуждения, Ом. Постоянная времени генератора

(3.33)

где L_в– индуктивность обмотки возбуждения, Гн.