3.6. Дифференцирующие звенья

Дифференцирующие звенья могут быть идеальными (безынерционными) и реальными (инерционными). Мгновенное значение выходной величины и д е а л ь н о г о д и ф ф е р е н ц и р у ю щ е г о з в е н а пропорционально в каждый момент времени мгновенному значению производной входной величины по времени

(3.79)

Коэффициент пропорциональностиkзависит от конструктивных параметров звена и имеет размерность

(3.80)

Рис. 3.14. Характеристики идеального (1) и реального (2) дифференцирующих звеньев

Переходная функция звена получается непосредственно из уравнения (3.79) подстановкой и дифференцированием единичной ступенчатой функции:

(3.81)

График переходной функции идеального дифференцирующего звена показан на рис. 3.14,а(линия 1).

Импульсная переходная функция (рис. 3.14,б– линия 1)

(3.82)

Передаточная функция звена

(3.83)

Амплитудно-фазовая функция

(3.84)

совпадает с положительной частью мнимой оси (рис. 3.14,е– линия 1)

Амплитудно-частотная характеристика звена

(3.85)

показывает (рис. 3.14,в– линия 1), что чем больше частота входного сигнала, тем больше амплитуда выходного сигнала. Эта особенность дифференцирующих звеньев вытекает непосредственно из основного уравнения (3.79): чем быстрее изменяется во времени сигналx(t), тем больше его производная в правой части и тем больше его выходной сигналy(t).

Сдвиг фаз, создаваемый идеальным дифференцирующим звеном, на всех частотах одинаков (рис. 3.14,г– линия 1)

(3.86)

ЛАЧХ звена

(3.87)

– прямая линия с наклоном +20 дБ/декаду, проходящая через точку с координатами (рис. 3.14,д– линия 1).

Р е а л ь н о е д и ф ф е р е н ц и р у ю щ е е з в е н о представляет собой последовательное соединение идеального дифференцирующего звена и инерционного звена первого порядка (рис. 3.15,а). Его уравнение

(3.88)

а передаточная функция

(3.89)

Нетрудно убедиться, что звено с передаточной функцией (3.89) можно представить в виде параллельного соединения безынерционного и инерционного звеньев (рис. 3.15,б).

Временные характеристики h(t) иw(t) реального дифференцирующего звена показаны на рис. 3.14,аиблиниями 2.

Аналитические выражения для частотных характеристик реального дифференцирующего звена можно получить по соответствующим функциям идеального дифференцирующего и инерционного звеньев первого порядка. Графики этих характеристик показаны линиями 2 на рис. 3.14,б,в,г,д.

в

Рис. 3.15. Модели реального дифференцирующего звена

Аналоговая модель реального дифференцирующего звена приведена на рис. 3.15,в. Коэффициенты модели

(3.90)

Большинство конструктивных элементов автоматики, обладающих способностью дифференцировать входной сигнал по времени, описывается уравнениями реального дифференцирующего звена. Исключением являются лишь так называемые кинематические дифференцирующие звенья, у которых дифференцирующая связь между входом и выходом образуется чисто формально. Например, если в качестве входной величины безынерционного редуктора (см. рис. 3.2,в) рассматривать угол поворота ведущего вала₁, а в качестве выходной величины – частоту вращения ведомого валаn₂, то свойства редуктора как алгоритмического звена будут, очевидно, описываться уравнением (3.79).

Реальными дифференцирующими звеньями являются электрические цепи, изображённые на рис. 3.16,аиб. Можно убедиться, что они описываются ПФ вида (3.89). Причём для цепи с емкостьюk=T=rC, а для цепи с индуктивно стьюk=T=L/r. Очевидно, что чем меньше постоянная времениТ, тем ближе свойства этих цепей к свойствам идеального дифференцирующего звена. Но при этом абсолютные значения выходного сигналаu₂становятся малыми и их

приходится дополнительно усиливать.

Рис. 3.16. Дифференцирующие звенья

Примером идеального дифференцирующего звена служит электрический тахогенератор (рис. 3.16,в), если в качестве входной переменной рассматривать не частоту вращения (как в разделе 3.2), а угол поворотаего вала. В этом случае коэффициентk(Вс/^о), входящий в ПФ (3.83), определяется также по формуле (3.13), но с учётом размерности угла поворота

(3.91)

О с о б е н н о с т и д и ф ф е р е н ц и р у ю щ и х з в е н ь е в:

1. При подаче на вход звена ступенчатого воздействия на его выходе возникает большой кратковременный импульс, а затем по окончании переходного процесса выходная переменная становится равной нулю. Если входной сигнал не изменяется во времени, то выходной равен нулю. Если же входной сигнал x(t) растёт по линейному законуx(t)=a₁t, то выходной

(3.92)

2. В передаточную функцию всегда входит сомножитель р, поэтому

(3.93)

и дифференцирующие звенья в статике не передают входные сигналы.

3. Дифференцирующие звенья являются фильтрами высокой частоты, т. е. хорошо пропускают высокочастотные сигналы и плохо – низкочастотные. Они вносят положительные фазовые сдвиги.