Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пособие по математической статистике

.pdf

Скачиваний:

214

Добавлен:

02.06.2015

Размер:

4.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Шаг 2: Необходимое условие экстремума

ln L а а 0 50а 38,5 0 1а 3830.5 а* 0,77

Значения оценок совпадают в обоих случаях

Задача 19(нормальное распределение)

В течение года цены на акции некоторой компании подчинялись нормальному закону с неизвестными параметрами m и . Для определения вероятности прогноза,

что цена на акции будет в пределах 40-50 у.е., провели статистические исследования. (Xi — цена за 1 акцию).

	Xi					30			35			40			45		50		55		60

	ni					6			15			25			35		10		5		4
						1			( x m)2
f (x)											Решение задачи (метод моментов Пирсона)
								e	2	2	Решение задачи (метод моментов Пирсона)
									2

	Шаг 1:						2
				1		7								1	7
		X		1	xi ni			42,95					X 2	1		x2 i ni 1891,75				S 2 X 2 (X )2 47,05
		X			xi ni			42,95					X 2			x2 i ni 1891,75				S 2 X 2 (X )2 47,05
			100 i 1											100 i 1
	S = 6,86
	Шаг 2:
	M[x] m						; D[x] = 2

	Шаг 3: Составляем уравнения : M[x] x														=>		m* = 42,95;	[x] S		=>		* = 6,86

				1			( x 42,95)
f (x)				1			2
						e	2*6,86
						e
				6,86	2

Ответ	:		m* = 42,95; * = 6,86					Дополнительный вопрос:

Найти:							50 42,95			40 42,95
		P{40 X 50} Ф							Ф		Ф(1,028)	Ф(0,43)	0,348 0,166 0,51
		P{40 X 50} Ф					6,86		Ф	6,86	Ф(1,028)	Ф(0,43)	0,348 0,166 0,51
							6,86			6,86

Стр. 71

Решение задачи (метод максимального правдоподобия)

1: Составляем функцию правдоподобия

														6			(30m)2					6								15			(35m)2 15
											1															1
											1							2								1									2
L m, 2															e		2						*								e			2				*
																	2																	2

													2															2

	1					25				(40m)2				25
	1												2 2
								e								*


		2

						10					(50m)2				10										5				(55m)2		5								4
		1																		1																1
		1											2 2							1									2 2							1
*									e								*									e						*								e


			2																		2																2

	L m, 2							2 50 (2 ) 50 e												1		7								2
	L m, 2							2 50 (2 ) 50 e											2 2				(xi				m) * ni
																							i 1
	ln L(m, 2 ) 50 ln 2 50 ln 2																								1	7
																									1		(xi			m)2 * ni .
																											(xi			m)2 * ni .
																								2 2			i 1
	Находим максимум функции
Шаг 2: Необходимое условие экстремума
				2				0, (1)
ln L m,					m			0, (1)

ln L m,				2				0, (2)
ln L m,								0, (2)
							2
							2
								2			7											7								7						7
			1.					2				(xi		m) * ni				0 xi									ni m *ni							0 xi ni
			1.				2 2					(xi		m) * ni				0 xi									ni m *ni							0 xi ni
							2 2						i 1										i 1							i 1							i 1

(60m)2 4
2 2

m ni 0

i 1

			1	7
	m		1		xi ni					x
	m				xi ni					x
			100 i 1
	50			1 1						7				7
	50			1 1					* (xi x)2 * ni		0		1	7
												2		* (xi	x	)2 * ni	S 2
		2		2			2	2
		2					2	2
2.										i 1			100	i 1				2	S	2
																		2		2
S
Оценки совпадают						m* = 42,95

* 6.86

Задача 20 (Распределение Парето)

Применяется для описания величины доходов населения выше фиксированного уровня Хо. Плотность распределения и функция распределения:

Стр. 72

(x)

0, x x0

f X

* х

* x 1

f(x)

, x x

0, x x0

Хо

(x)

F(x)

(

) , x x

Хо

M[ X ] * x0

Пример:

0, x 3

f X (x) * 3 * x 1 , x 3

				По данной выборке:
				1)оценить параметр
				2)Найти P{X (3;5]}.
хi	3,2		3,5		4	4,5		5
хi
ni	3		3		2	1		1
ni

ln xi	1,16	1,25			1,39	1,5	1,6
ln xi

					Решение задачи (метод моментов Пирсона)
Шаг 1:
	1	5		1
x	1	xi * ni		1	(9,6 10,5 8 4,5 5) 3,76
x		xi * ni	10		(9,6 10,5 8 4,5 5) 3,76
	10 i 1		10

Шаг 2:

M[ X ] * 31

Шаг3: Составляем уравнение:

x M[ X ] 3,76	3		3,76 3,76 3 0,76 3,76 4,9
x M[ X ] 3,76			3,76 3,76 3 0,76 3,76 4,9
		1
Ответ: * 4,9

Дополнительный вопрос: Найти:

P{3 x 5} F (5) F(3) 1 (53)4,9 0 0,92

Решение задачи (метод максимального правдоподобия)

Стр. 73

Решение задачи (метод максимального правдоподобия)

Шаг 1: Составляем функцию правдоподобия

L( )

( * 3 * (3,2) 1 )3

* ( * 3 * (3,5) 1 )3

* ( * 3 * 4 1 )2 * ( * 3 * (4,5) 1 ) * ( * 3 * (5) 1 )

10 * 310 * ((3,2)3

* (3,5)

3 * 42 * (4,5) * 5) 1

ln L( ) 10 ln 10 ln 3

( 1)(3ln 3,2 3ln 3,5 2 ln 4 ln 4,5 ln 5) ищем

максимум

Шаг 2: Необходимое условие экстремума

(ln L( ))| 0

10 ln 3 13,11 0

13,11 10 ln 3

4,7

* 4,7

13,11 10 ln 3

Значения оценок практически совпали.

Примечание: по методу максимального правдоподобия оценка немного отличается от метода Пирсона и в общем виде ее можно было бы найти по формуле:

*		1
*	1	k
	1	* ln xi * ni	n * ln x0
	n	* ln xi * ni	n * ln x0
	n	i 1
		i 1

Задача 21

f(x)

Хо

a * e a( x x0 ) , x x	0
f (x)	0
f (x)
0, x xo
0, x x0	F(x)	1


F (x) 1 e a( x x0 ) , x x	0
	0

Хо

Найдем математическое ожидание:

Стр. 74

du dx

Udv UV

VdU

U x

M [ X ] x * f (x) * dx x * a * e a( x x0 ) dx

a * e a( x xo ) dx dv

v e a( x xo )

а( x x0 )

* x

a( x x0 )

dx (e

a( x x0 )

* x

a( x xo )

)

a( x x0 )

)

lim

x 1/ a

1/ a x

1/ a

ea( x x0 )

x 1/ a

lim

(правило Лопиталя)

lim

a( x x0 )

a * e

a( x x0 )

M [ X ] x0 1/ a

0, x 1

Пример

f X (x)

a( x 1) , x 1

a * e

По данной выборке: оценить параметр a и найти P{X<1}

хi

-0,8

-0,5

0,2

0,5

Решение задачи (метод моментов Пирсона)

Шаг 1 :

xi * ni

( 3,2 1,5 0,2 0,5) 0,4

30 i 1

Шаг 2:

M[ X ] 1

Шаг3:

Составляем уравнение : x M[X ] 0,4 1 1/ a 1/ a 0,6 a 1,6(6) a*

1,7

Ответ:

1,7

Дополнительный вопрос:

Найти:

P{X 1} F(1) 1 e 1,7(1 1) 0,96

Стр. 75

Решение задачи (метод максимального правдоподобия)

Шаг 1: Составляем функцию правдоподобия по данной выборке

L(a)

(a * e 0,2 )4 (a * e 0,5 )3 * a * e a * a 1,2a * a 1,5a						10 * e (0,8 1,5 1 1,2 1,5)	a10 * e 6a
ln L(a) 10 ln 6a ищем			максимум
Шаг 2: Необходимое условие экстремума
(ln L(a))\| 0	10	6 0	a	10	1, (6)

a			6

Результаты оценок совпадают.

Задача 22

f(x)

Хо

a * ea( x x0 ) , x x

f (x)

0, x

1, x x0

F(x)

F (x)

x0 ) , x

ea( x

Хо

Найдем математическое ожидание:

du dx

Udv UV

VdU

U x

M [ X ] x * f (x) * dx x * a * ea( x x0 ) dx

a * ea( x xo ) dx dv

v ea( x xo )

а( x x0 )

a( x x0 )

a( x xo )

a( x x0 )

* x

)

lim

x 1/ a

1/ a x

1/ a

e a( x x0 )

x 1/ a

lim

(правило

Лопиталя) lim

a( x x0 )

a * e

a( x x0 )

M [ X ] x0 1/ a

Пример

Стр. 76

0, x 4

f X (x) a * ea( x 4) , x 4

По данной выборке: оценить параметр a и найти P{X>-6}

хi	-5		-4,5	-4,2		-4,2
хi

ni	1	2		3	4

Решение задачи (метод моментов Пирсона)

Шаг 1:

	1	4			1
x	1	xi * ni			1	( 5 9 12,6 16,4) 4,3
x		xi * ni		10		( 5 9 12,6 16,4) 4,3
10 i 1				10
Шаг 2:
M[ X ] 4			1
M[ X ] 4			a
			a
Шаг3:						Составляем	уравнение	:

x M[X ] 4 4 1/ a 1/ a 0,3 a 3,3(3) a* 3, (3)

Ответ: * 1,7

Дополнительный вопрос:

Найти:

o P{X 6} 1 P{X 6} 1 F( 6) 1 e 3,3( 6 4) 0,9987

Стр. 77

Решение задачи (метод максимального правдоподобия)

Шаг 1: Составляем функцию правдоподобия по данной выборке

L(a) (a * e a ) * (a * e 0,5a )2			* (a * e 0,2a )3 * (a * e 0,1a )4			10 * e 3a
ln L(a) 10 ln 3a ищем			максимум
Шаг 2: Необходимое условие экстремума
(ln L(a))\| 0	10	3 0	a	10	3, (3)

a			3

Результаты оценок совпадают.

Задача 23

f(x)

a * x k , x [0; b]

f (x)

(k 1,2,3)

0, x [o; b]

0, x 0

k 1

F(x)

F (x)

a * k 1 ,0 x

1, x b

Используем основное свойство функции плотности и покажем связь между

параметрами a и b (k известно):

axk 1

a * bk 1

k 1

f (x)dx 1 axk dx 1

1 a

k 1

k 1 a	2	k 2 a	3	k 3 a	4
	b2		b3		b4

Найдем математическое ожидание:

	b	x	k 2	b0		b	k 2
M[ X ] x * f (x) * dx a * x * xk dx a *		x			M[ X ] a *	b
		k 2			M[ X ] a *	k 2

	0
	0

Стр. 78

K=1

M [ X ]

M[x]

a *

K=2

M [ X ]

M[x]

a *

K=3

M [ X ]

M[x]

a *

0, x [0;b]

Пример

f X

(x)

1 3

2a x , x [o;b]

По данной выборке: оценить параметры a и b и найти P{2<X<4}(k=3 и a→1/2a

хi

Замечание: Попробуйте самостоятельно для данного примера вывести все необходимые формулы, т.е. связь между a и b, а также M[X].

Решение задачи (метод моментов Пирсона)

		1		5			1			59
Шаг 1:	x			xi * ni					(1 2 6 20 30)
										15
		15 i 1				15
Шаг 2:	1			4	M[ X ]			4b
	2а		b4				5

Шаг3: Составляем уравнение :

																	f(x)


												2		4
												2		4	5



							F(x)	1
								1



												4
											2	4	5


												f (x)				0,007 * x3				, x [0;5]
																0,007 * x3				, x [0;5]

																0, x [o;5]
x M[ X ]	4b	59	b		59	4,9 5 a			b4	72						0, x 0
x M[ X ]			b			4,9 5 a				72						0, x 0
	5	15		12		8												x	4
												F (x)				0,007 *		x			,0 x 5
												F (x)				0,007 *					,0 x 5
																		4
																1, x 5


P{x (2;4)} F (4) F(2)				0,007		(44 24 ) 0,42
P{x (2;4)} F (4) F(2)				4		(44 24 ) 0,42																Стр. 79
				4

Задача 24 (Распределение Релея с параметром σ (σ>0))

Функция плотности:

	0, x 0
f (x)	x			x2
f (x)	x
		2	e
				2	2
				2

, x 0

Функция распределения:

	0, x 0
F (x)		x2
	1 e		, x 0
	1 e	2 2	, x 0


Математическое ожидание равно: M[X]=					1,253
Математическое ожидание равно: M[X]=				2	1,253

Опыт: Проводится стрельба по плоской мишени в неизменных условиях. Х – расстояние от точки попадания до центра мишени подчиняется закону Релея

σ>0 – параметр распределения

	0, x 0
	x		x2
Пример: f (x)			x2
Пример: f (x)
		e 4a , x 0, a 0
	2a	e 4a , x 0, a 0

Найти по данной выборке оценить параметр a и найти P{X<1}

	xi				1	1,5	2
	0,1		0,5
хi
хi
	ni	1	2	3		2	2
	ni

Заметим, что имеем распределение Релея

2 2a метод моментов.

Стр. 80

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.06.2015173.57 Кб48Попова Е.П. Теория организации для логистики.doc
#
01.05.2025116.69 Кб0ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ КР ЭО.docx
#
02.06.2015708.1 Кб9Пособие Political Phenomena and Issues.doc
#
02.06.2015735.61 Кб25Пособие Защита населения и тер от ЧС.docx
#
02.06.2015730.7 Кб19Пособие по БЖД.docx
#
02.06.20154.37 Mб214Пособие по математической статистике.pdf
#
02.06.20151.22 Mб166Пособие по теории вероятности.docx
#
02.06.2015119.41 Кб73пособие(финал).docx
#
26.03.20161.99 Mб15Пособие.doc
#
26.03.2016314.88 Кб24пособие_СМИ_latest.doc
#
26.03.2016852.83 Кб11Пост Пр РФ №1085 от Оценка КЗ.rtf