Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пособие по математической статистике

.pdf

Скачиваний:

207

Добавлен:

02.06.2015

Размер:

4.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1911 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

fz (x)		Fz (x)
	1
			1
				2

			1
										2
			a		b	x				a	b	x
			a		b	x				a	b
					Заметим, что P{ ( 1; 2 )} равносильно P{Z (a;b)}
a Z
Пусть	2		, где Z	p	- квантиль распределения Z порядка p
b Z				p
b Z
	1	2
		2
Напомним:
Если Fz (x) - функция распределения Z , то F(Z p ) P (Zp									квантиль порядка p )
Тогда P{Z (Z	; Z		)} F (Z ) F (Z ) 1					1
2	1		2		1	2	2	2
2			2		2	2
Вывод: для нахождения границ интервала удобно a Z									;b Z
								2	1	2
								2		2

Эти квантили основных распределений даны в таблицах.

В общем случае, если известна формула распределения, то для нахождения

квантили Z p решаем уравнение:
	Fz (x) P
	x F 1	(P)
	z	(обратная функция)
	x Z p	(обратная функция)
	x Z p
Итак: находим квантили распределения Z : Z			, Z
		2	1	2
		2		2
Если функция плотности – четная (график симметричен относительно оси Y),
то Z	Z
2	1	2
2		2

4.Составляем неравенство Z		Z ( , ) Z	и решаем относительно
	2	1	2

( 1 2 );	P{ ( 1; 2 )} 1

Стр. 101

§2. Решение типовых задач

Задача 1

(Доверительный интервал для математического ожидания при известном )

Дано:

o Генеральная совокупность X имеет нормальное распределение, причем известна:

N (m, )

o (X1, X2 , X3 ,.., Xu ) - выборка

По доверительной вероятности построить доверительный интервал для

математического ожидания P{m (1; 2 )} 1

Решение:

1.Точечная оценка для математического ожидания – это выборочное среднее.

X1 n X i

n i 1

X N (m,

2. Известно, что

n )

3. Рассмотрим статистику

fu (x)

-U1-α/2 U

	1
	1	2
		2

)

( X распределена нормально с параметрами

, U N(0,1)

(x)

Fu (x) 0,5 (x)

-U1-α/2

	P{	U		U			} 1
	P{	U		U			} 1
4.						1		2
5.

	U				X		m			U				U			1			F (U	) 1
																						2
							/		n
6.		1	2				/		n		1	2	, где	1	2	- квантиль порядка		2	,	1	2
6.			2									2	, где		2	- квантиль порядка		2	,		2

Стр. 102

m X

n 1

Решение неравенства:

, где

P{m (X

; X )} 1

Ответ: P{m (X

; X )} 1

Замечание: Если длина доверительного интервала 2

известна,

, то

возможно 2 варианта прикладных задач.

Задача 1.1

Дано:

o , ,

Найти:
o	объем выборки n
Решение:
		2U 2
1.	n		1	2	(выражаем n из		U			)
1.	n		2		(выражаем n из		U			)
			2			n		1
						n		1	2

Задача 1.2

Найти:

o уровень значимости

Решение:

1.	F (U			) 1
		1			2
			2

	U				n					U					U

														n
2.	1						(выражаем			1		из		n	1
2.		2					(выражаем				2	из				2 )
	0,5 (
3.	0,5 (					n ) 1			(		n ) 0,5
								2					2

4. По таблице значений функции Лапласа находим соответствующее значение: 1 ( n )

Задача 2

(Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестном σ)

Дано:

X ;

Стр. 103

По доверительной вероятности построить доверительный интервал для математического ожидания P{m ( 1; 2 )} 1

Решение:

		1	n
	X		X i	X	N (m,		)


1. В качестве точечной оценки для МО:		n i 1 , где				n , т.к.

неизвестна, то для оценки 2 используем исправленную дисперсию:

̃= ∑( ̅)

			m)	n 1
2.	Рассмотрим статистику: T (k)	( X			; СВ Т имеет распределение
			S

	Стьюдента с n 1 степенями свободы			k n 1 ; (Функция распределения не
	зависит от m )
3.	График функции плотности:
				1-α

t	(k)	t	(k)	x
1	2	1	2
	2		2

													t		(k)
4.	P{	T (k)				t		} 1	, где				1		2			- квантиль порядка
4.	P{	T (k)				t		} 1	, где									- квантиль порядка

						1		2
						1

	Стьюдента с k степенями свободы
										t				T (k) t
											1		2						1	2
													2							2
5.	Решаем неравенство:
5.	Решаем неравенство:									t				(k)			( X m)				n 1	t		(k)
																	( X m)				n 1

											1									S		1
											1		2							S		1	2
			t		(k)					t		(k)
			1							1
6.	X				2		S m X					2				S
6.	X						S m X									S
				n 1							n		1

t1 (k)

Ответ: P{m (X ; X )} 1 , где 2 S

n 1

Задача 3

2; распределение

,где k n 1

(Построение доверительного интервала σ2 при известном параметре m) Дано:

o X N(m, )

o	m (математическое ожидание)- известно;
o	( X1, X 2 , X u ,...)	- выборка;

o	– уровень значимости.

Стр. 104

Найти:

o доверительный интервал для 2 ( и для ): P{ 2 ( 1, 2 )} 1

P{ ( 1, 2 )} 1

Решение:

1. Т.к. математическое ожидание нам известно, то в качестве точечной

																																						1	n
																																		S02				1	( X i m)2
																																		S02					( X i m)2
	оценки для 2 возьмем центрированную дисперсию:																																					n i 1
	(несмещенная оценка дисперсии)
2.	Рассмотрим статистику									2 (n)					nS02	- имеет распределение 2																		с n степенями
2.	Рассмотрим статистику									2 (n)					2	- имеет распределение 2																		с n степенями
															2
	свободы. Функция распределения не зависит от 2 .
3.	График функции плотности:																f 2 (x)
																	f 2 (x)
																				1
																	2					2	(n)											x
																		(n)				1	(n)
																	2					1	2
																	2						2
																					2
		2	(n)	2	(n)		2		(n)} 1 ,												(n)																			2
4.		2		2			2											где			2	–			квантиль												порядка			2
4.	P{																	где				–			квантиль												порядка
		2				1			2
		2							2
	распределения					2	n степенями															2					(n)
						2																	1
						с												свободы;					1		2					–			квантиль порядка
	1
	1	2	распределения 2 с n степенями свободы
								2		(n) 2 (n) 2											(n)
																			1
									2										1	2
									2											2
5.	Решаем неравенство: 2									(n)				nS02		2				(n)
5.	Решаем неравенство: 2									(n)				2		2				(n)
														2				1
									2										2
									nS02				2					nS02
									2			(n)	2					2 (n)
									2			(n)						2 (n)
									1
									1		2						2
											2						2

																					P{ 2 (				nS02						,			nS02			)} 1
																					P{ 2 (										,						)} 1
																									2				(n)				2 (n)
																									1
																									1		2							2
Ответ:		доверительный интервал для 2															( ):										2							2

																					P{ (					nS0						,			nS0				)} 1
																					P{ (					nS0						,			nS0				)} 1
																								2						(n)					2	(n)
																									1
																									1			2						2
																												2						2

Задача 4

(Построение доверительного интервала для σ при неизвестном m)

Стр. 105

Дано:

o X N(m, )

o m - неизвестно;

o - уровень значимости;

o ( X1, X2 , Xu ,...) -случайная выборка

Найти:

o доверительный интервал для 2 (для ): P{ 2 ( 1, 2 )} 1

P{ ( 1, 2 )} 1

																	Решение:
1. Т.к.				математическое ожидание																неизвестно,								то	в			качестве		точечной
	оценки					для		2		возьмем									исправленную									выборочную дисперсию:
																1			n
		2		1		n							X			1			X i
		2				n							X						X i
	S					( Xi X )			2	, где						n i 1				(несмещенная оценка дисперсии)
			1 n			i 1
						i 1
															2 (n 1)								S 2 (n 1)
															2 (n 1)								2					распределение							2
2.	Рассмотрим						статистику:																2			-		распределение							с n 1
	степенями свободы; Функция распределения не зависит от 2
3.	График функции плотности:																						f 2 (x)
																							f 2 (x)
																											1
																						2		(n 1)						2	(n 1)			x
																								(n 1)							(n 1)
																						2							1		2
																						2									2
																										2		(n 1)
			2		1)		2	(n 1)					2			1)} 1 , где
4.			2	(n			2						2	(n																-			квантиль порядка
4.	P{			(n										(n												2				-			квантиль порядка
																										2
			2									1		2
			2											2

	2 распределения 2									с n 1 степенями													свободы;						2				(n 1) -	квантиль
																														1
																														1		2
																																2
	порядка1						распределения 2 с n 1 степенями свободы.
						2
										2	(n 1) 2 (n 1) 2														(n 1)
																							1
										2													1	2
										2														2
5.	Решаем неравенство:									2	(n 1)							S 2 (n 1)					2		(n 1)
5.	Решаем неравенство:									2	(n 1)								2				2		(n 1)
																			2				1
										2														2
										(n 1)S 2										2	(n 1)S 2
										2										2
										2			(n 1)									2 (n 1)
										1
										1		2										2
												2										2

Стр. 106

Ответ: доверительный интервал для 2 ( )

P{ 2 (		(n 1)S 2				,		(n 1)S 2			)} 1
P{ 2 (	2			(n 1)		,		2	(n 1)		)} 1
	2			(n 1)				2	(n 1)
		1
		1	2				2
			2				2

			n 1S							n 1S
P{ (							,					)} 1
P{ (		2			(n 1)		,		2 (n 1)			)} 1
		1
		1		2					2
				2					2

Задача 5 (Доверительный интервал для вероятности успеха в распределении Бернулли) Дано:

o Проведено n испытаний. Успех А произошел ровно m раз. o P( A) P* ( P* неизвестно);

o – уровень значимости;

o P* - вероятность успеха в одном испытании.

Найти:

o доверительный интервал для P* : P{P* ( 1, 2 )} 1

Решение:

Точечной

оценкой

для P* является

относительная

частота

( –

эффективная

состоятельная

оценка P* );

Известно,

что

N (P* ,

(1 ) )

U N (0,1) – стандартное

Рассмотрим

статистику:

где

(1 )

f (x)

нормальное распределение

; Распределение не зависит

от P*

График функции плотности:

f (x)

1-α

} 1 ;

2 -

квантиль

порядка

2 стандартного

нормального распределения

Стр. 107

U		U U	1
1	2		1	2
	2			2

5. Решаем неравенство: U
1	2
	2

(1 )

(1 ) n

U1 2

P* U		(1 )
		n
1
	2


Ответ: P{P* ( , )} 1 , где U		(1 )	,	m
Ответ: P{P* ( , )} 1 , где U		n	,	n
1	2	n		n
	2

Задача 6

(Доверительный интервал для параметра λ распределения Пуассона)

Дано:
o	X распределена по закону Пуассона с параметром ;						неизвестно.
		P{X	k}	k
		P{X	k}			e , k 0,1, 2,..
				k !
o				k !		- определение закона Пуассона
o						- определение закона Пуассона
o	Проведено n испытаний;
o	( X1, X		2 , X u ,...)		- выборка
o					- выборка
o	- уровень значимости.

Найти:

o доверительный интервал для параметра : P{ ( 1, 2 )} 1

Решение:

1. Эффективной точечной оценкой параметра в распределении Пуассона X

X i

N (m,

)

m , X , n

n i 1

, где

; Полагаем:

Рассмотрим статистику:

где

U N(0,1)

f (x)

нормальное распределение;

Функция плотности:

1-α

(x)

не зависит от

		X
		n
		n

- стандартное

5. P{

} 1 ;

–

квантиль

порядка

2 стандартного

распределения

Стр. 108

U		U U	1
1	2		1	2
	2			2


6. Решаем неравенство: U		X		U


1			X		1
	2					2

Ответ: P{ ( X , X )} 1 , где

Задача 7

(Доверительный интервал генеральной доли p* , нормально распределенной

генеральной совокупности при большом объеме выборки (собственно – случайный повторный отбор)

Дано:

o	n - объем выборки
		m
o		n - выборочная доля

o	1
o	p* - генеральная доля
Найти:
o	доверительный интервал для p* : P{p* ( 1, 1)} 1

Решение:

1.Точечной оценкой для p* является выборочная доля:,

=; M[ ]=p*

[

]=√

∙(

)

2.где N(p*;√

∙(

)

; U (0’1)

Рассмотрим статистику

√

∙( )

График функции плотности:

fu (x)

1-α

} 1 ;

- квантиль

порядка

стандартного

нормального распределения

Решаем неравенство:

Стр. 109

-U1- /2<

<U1- /2

↔ - U1- ∙√

∙(

)

<P*< + U1-

∙√

∙(

)

∙(

)

√

Ответ: P{P* ( , )} 1 , где = U1-

∙

√

∙(

)

Задача 8

(Доверительный интервал генеральной доли

нормально

распределенной

генеральной совокупности

по выборочной

доле

при

большом

объеме выборки

(собственно – случайный бесповторный отбор)

Дано:

o X N(mx , x )

n - объем выборки

N - число элементов из которых производится выборка

Найти:

o P{p* ( 1, 1)} 1

Решение:

Статистика для доверительного интервала p* :

; U N(0;1)

√

∙(

)

∙(

)

2. Аналогично решению задачи №7

Ответ: P{ p* ( , )} 1 , где

=U1- /2∙

√

∙(

)

∙(

)

Замечание:

o Если объем выборки маленький ( n 30 ), то для решения Задачи 7 имеем

t(n 1)

(1 )

следующий интервал:

P{P* ( , )} 1

, где

n 1

(n 1)

1 2 -

квантиль распределения

Стьюдента порядка

2 с

числом

степеней свободы k n 1

o Для решения Задачи 8 при n 30 имеем следующий интервал:

t(n 1)

(1 ) (1

)

P{P

( , )} 1

n 1

, где

1 2

Задача 9

Бюро по найму рабочих желает оценить средние ставки рабочих вакансий в определенной отрасли промышленности. Случайная выборка 61 вакансии дала =

Стр. 110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1911 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.03.2016167.42 Кб41Положение об организации контроля знаний.doc
#
02.06.2015173.57 Кб44Попова Е.П. Теория организации для логистики.doc
#
02.06.2015708.1 Кб8Пособие Political Phenomena and Issues.doc
#
02.06.2015735.61 Кб21Пособие Защита населения и тер от ЧС.docx
#
02.06.2015730.7 Кб19Пособие по БЖД.docx
#
02.06.20154.37 Mб207Пособие по математической статистике.pdf
#
02.06.20151.22 Mб151Пособие по теории вероятности.docx
#
02.06.2015119.41 Кб62пособие(финал).docx
#
26.03.20161.99 Mб13Пособие.doc
#
26.03.2016314.88 Кб21пособие_СМИ_latest.doc
#
26.03.2016852.83 Кб7Пост Пр РФ №1085 от Оценка КЗ.rtf