Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пособие по математической статистике

.pdf

Скачиваний:

207

Добавлен:

02.06.2015

Размер:

4.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

	0, x 3				0, x 3
	0, x 3
f X	(x)		FX	(x)			3
f X	(x)	x 5,6 1 , x 3	FX	(x)	1		3
	5,6 * 35,6					(		)5,6 , x 3
	5,6 * 35,6					(		)5,6 , x 3

							x
							x

P{X a} F (a) 1 ( a3 )5,6

Примечание: P{a X b} F (b) F (a) ( a3 )5,6 (b3)5,6

P{X b} 1 F (b) (b3)5,6

Вычисляем вероятности попадания в данные интервалы:

	o	p P{X 3,4} 1 (						3					)5,6		1 0,496 0,504
	o	p P{X 3,4} 1 (											)5,6		1 0,496 0,504
		1		3,4
				3,4
	o	p		P{3,4 X 3,8} (					3					)5,6		(		3				)5,6				0,496 0,266 0,23
	o	p	2	P{3,4 X 3,8} (										)5,6		(						)5,6				0,496 0,266 0,23
			2	3,4												3,8
				3,4												3,8
	o	p		P{3,8 X 4,2} (						3				)5,6		(	3						)5,6			0,266 0,15 0,116
	o	p	3	P{3,8 X 4,2} (										)5,6		(							)5,6			0,266 0,15 0,116
			3	3,8												4,2
				3,8												4,2
	o	p		P{4,2 X 4,6} (							3				)5,6	(			3					)5,6		0,15 0,09 0,06
	o	p	4	P{4,2 X 4,6} (											)5,6	(								)5,6		0,15 0,09 0,06
			4	4,2												4,6
				4,2												4,6
	o	p		P{4,6 X 5,0} (								3			)5,6	(				3					)5,6	0,09 0,057 0,033
	o	p	5	P{4,6 X 5,0} (											)5,6	(									)5,6	0,09 0,057 0,033
			5	4,6												5,0
				4,6												5,0
	o	p		P{X 5} (		3	)5,6 0,057
	o	p	6	P{X 5} (			)5,6 0,057
			6	5
				5

№	интервалы				pi										ni											n pi		(ni	npi )2
																													npi

1	[3;3,4)				0,504										20											25,2	1,07

2	[3,4;3,8)				0,23										15											11,5	1,06

3	[3,8;4,2)				0,116										8											5,8	0,83

4	[4,2;4,6)				0,06										4											3
																					7
5	[4,6;5,0)				0,033										2						7					1,65	0,03



6	[5;+∞)				0,057										1											2,85

					6										6											6		k	(ni npi )	2
					pi 1										ni 100											npi 100			(ni npi )		2,99
					pi 1										ni 100											npi 100			npi		2,99
					i 1										i 1											i 1		i 1	npi

1.	2 выб 2,99		7,
			7,
2.	Найдем число степеней свободы: r =k-1-l (k(число интервалов)=4, l(число
	неизвестных параметров)=2) r=2.		5
	неизвестных параметров)=2) r=2.
3.	Найдем порог испытания 2(r )	2(2)	5,99 (квантиль распределения 2 ).
	1	0,95
4.	Строим критическую область:
			Стр. 151

f 2 ( x)

Область

принятия

Критическая Но область

2,99

5,99

5.Правило принятия решения: Т.к. 2 выб (2,99<5,99), то нет оснований отвергнуть гипотезу о том, что величина доходов населения выше уровня 3 минимальных зарплат распределена по закону Парето.

Задача 8

Пусть СВ Х имеет следующее распределение:

a * x k , x [0;1] f (x)

0, x [o;1]

Найти:

1.Точечные оценки параметров a и k по случайной выборке по методу максимального правдоподобия

2.Точечные оценки a*и k * по данной группированной выборке

3.Проверить гипотезу : Х имеет данное распределение (при =0,05).

	Решение
1. Найдем формулу связи между параметрами,		используя основное свойство
	1		ax	k 1	1

	f (x)dx 1 a x k dx 1					1 a k 1

функции плотности:			k 1
	o					o

Используем метод максимального правдоподобия:

o (Х1,Х2,…Хn) – случайная выборка. Составим функцию правдоподобия:

L(k) ((k 1)x1k ) * ((k 1)x2k ) *...* ((k 1)xnk ) (k 1)n * (x1 * x2 *..* xn )k

ln L(k) n ln(k 1) k ln xi max

i 1

o Необходимое условие экстремума:

			n	n		1	n
(ln L(k))\|k 0			n	lnxi	0 k 1	1
(ln L(k))\|k 0			k 1	lnxi	0 k 1	1
			k 1	i 1		1	i 1
				i 1			i 1
~						n
~	~	1
k	a	1

~	1	n
lnxi a		lnx
lnxi a	1	lnx
	1	i 1
		i 1

Стр. 152

o Для дальнейших вычислений нам понадобится функция распределения

0, x 0

F(x)= f (x)dx

F (x) a

x k dx

x k 1

, x (0;1)

k 1

1, x 1

2. Пусть дана группированная выборка:

№	Границы	z	i	- середины	lnzi	n	i	(
			i				i
	интервалов	интервалов						n
		интервалов				n ni			30
						n ni			30
								i 1
						)

1	[0;0,2)	0,1			-2,3	12

2	[0,2;0,4)	0,3			-1,2	8

3	[0,4;0,6)	0,5			-0,7	5

4	[0,6;0,8)	0,7			-0,36	3

6	[0,8;1)	0,9			-0,1	2

	1		5
a* (	1	ln xi * ni ) 1				0,7
a* (		ln xi * ni ) 1				0,7
	30 i 1
k * a*	1 0,3
									f(x)

	0,7 * x 0,3 , x [0;1]						0,


f (x)								1
	0, x [0;1]							1
	0, x [0;1]
	0, x 0						1
	0, x 0						1
			0,7	,0 x	1	F(x)
F (x) x				,0 x	1
	1, x 1

								1
								1

3.Вычислим теоретические вероятности попадания значений Х в данные интервалы, используя функцию распределения:

o p1 P{X 0,2} F(0,2) 0,20,7 0,324

o	p	2	P{0,2 X 0,4} F(0,4) F(0,2) 0,40,7	0,20,7	0,202
		2
o	p	3	P{0,4 X 0,6} F(0,6) F(0,4) 0,60,7	0,40,7	0,173
		3

Стр. 153

o p4 P{0,6 X 0,8} F(0,8) F(0,6) 0,80,7 0,60,7 0,156 o p5 P{0,8 X 1} 1 F(0,8) 1 0,80,7 0,145

Для проверки гипотезу Но о данном распределении, используем критерий 2 и

заполним таблицу ( =0,05):

№	Границы	pi		ni		n pi			(ni	npi )2
	интервалов									npi
										npi

1	[-∞;0,2]	0,324		12		9,72		0,53

2	[0,2;0,4)	0,202		8		6,06		0,62

3	[0,4;0,6)	0,173		5		5,19		0,006

4	[0,6;0,8)	0,156		3		4,68		0,6

5	[1;∞]	0,145		2		4,35		1,27

		5		5		5			k	(ni npi )	2
		pi	1	ni	30	npi	30			(ni npi )		3,026
		pi	1	ni	30	npi	30			npi		3,026
		i 1		i 1		i 1			i 1	npi

1. 2 выб 3,026

2. Найдем число степеней свободы: r =k-1-l (k(число интервалов)=5, l(число неизвестных параметров)=1, хотя в условии и было два параметра a и k, они зависят друг от друга, поэтому мы берем только 1 параметр) r=3.

3.	Найдем порог испытания	2(r )	2(3)	7,81		(квантиль распределения 2 ).
		1	0,95
4.	Строим критическую область:
		f 2 ( x)
		f 2 ( x)		Область
				Область
				принятия			Критическая
				принятия

				Но			область


				3,026

					7,81
					7,81

Правило принятия решения: Т.к. 2 выб (3,026<7,81), то нет оснований отвергнуть

гипотезу .

Стр. 154

§3. Задачи для самостоятельного решения


								Задача 1
																и 2 .
	Х имеет распределение, заданное таблицей. Неизвестные параметры 1															и 2 .
Точечные оценки: 1* 0,04					2	* 0,238 (n=17).
хi		-1					0			2			5
pi			1	2			0,38				1	2		2	1
pi			1								1		5
		5
		5								2
		0,1					0,38			0,28			0,24

ni		3					2			7			5
	Но: Х – имеет данное распределение. Проверить данную гипотезу на уровне
значимости =0,05, используя критерий согласия 2									Пирсона

(Ответ: гипотезу отвергаем).

Задача 2

Покупатель предположил, что время пополнения баланса через терминал на телефон распределено в интервале [a;b] равномерно. В течение 85 дней он вел записи о пополнении баланса и составил следующую таблицу.

Интервал в минутах	Число пополнений (ni)
[0;1)	23
[1;2)	21
[2;3)	22
[3;4)	19

Проверить гипотезу о равномерном распределении (при =0,05)

	1
	f (x)			, x (0;4)		f(x)
		4			1/4

	0, x (0;4)
:	0, x 0					4



	F (x)		x	,0 x 4		F(x)
					1
	4

	1, x 4
							4

(Ответ: нет оснований отвергнуть гипотезу ).

Задача 3

Срок работы вычислительной техники подчиняется показательному закону распределения с параметром а. Для нахождения точечной оценки параметра а была составлена группированная выборка ( ni - число работающих приборов в течении 15

месяцев). N=105.

Стр. 155

№Границы zi - середины ni интервалов интервалов

1	[0;3)	1,5	40

2	[3;6)	4,5	35

3	[6;9)	7,5	15

4	[9;12)	10,5	10

5	[12;15]	13,5	5

Используйте метод моментов для нахождения точечной оценки а. Затем проверьте гипотезу о показательном распределении СВ Х при доверительной вероятности=0,05 (Ответ: а* 0,21, нет оснований отвергнуть гипотезу Но).

Задача 4

В турфирме должны проверить документы 50 человек для подачи их в консульство. Х – число возможных ошибок в документе имеет распределение Пуассона с неизвестным параметром . После проверки была составлена сводная

статистическая таблица ( x

- количество ошибок в одном пакете).

P{X k}

e ,

для n=50.

* е

2 е

3 е

4 е

Была получена точечная оценка параметра :

1,36 ( хi

- количество ошибок в

одном пакете) при n=100 (неизвестен один параметр, т.е. l=1).

: на уровне значимости =0,01 проверить гипотезу о том, что Х – имеет

распределение Пуассона

(Ответ: нет оснований отвергнуть гипотезу

Задача 5

Проводилось исследование величины доходов Х в металлургической промышленности выше фиксированного уровня xo =1,5(минимальная заработная плата).

Была сделана выборка объема n=20 и составлена группированная выборка. Выдвигается гипотеза : Х – имеет распределение Парето.

Т.к. параметр неизвестен, то необходимо найти точечную оценку, используя метод моментов. На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу .

	(Ответ: * 1,7 , гипотезу			не принимаем).
zi		2	3		4	5	6	7

ni		12	8		8	6	4	2

Стр. 156

Задача 6

Три игрока играют в «наперстки» (3 наперстка и 1 шарик). В каждом раунде они по очереди угадывают под каким наперстком шарик. Событие А –шарик найден. Р(А)=р.

Была получена оценка р* 1/ 3 (n=40). Но: проверить гипотезу о биномиальном распределении на уровне значимости =0,05 (неизвестен один параметр, т.е. l=1)

(Ответ: нет оснований отвергнуть гипотезу ).

xi	0	1	2	3

ni	12	18	8	2

pi	(1 р)3	3 р(1 р)2	3р2 (1 р)	р3

Задача 7

Найти параметры a и b и заполнить таблицу (n=20). Провести проверку гипотезы :

Х имеет данное распределение при =0,1 – уровень значимости.

(Ответ: a=0,15; b=0,2; гипотезу принимаем).

xi	-1	0	1	3

pi	а+b/2	1/5	2а	4/5-3a-b/2
ni	5	4	6	5

Задача 8

Каждую тренировку 3 мальчика (m=3) соревновались в меткости попадания мяча в корзину с 1 раза. Четвертый мальчик вел статистические записи 40 игр (n=40). Событие А

– попадание мяча в корзину: Р(А)=р. Х – число попаданий в одной игре. Определите вероятность р и заполните таблицу (используя метод моментов), проверьте гипотезу : Х

распределена по закону Бернулли при уровне значимости =0,1 (Ответ: р=0,51; принимаем на уровне значимости =0,1).

xi	0	1	2	3

ni	5	14	16	5
pi	(1 р)3	3 р(1 р)2	3р2 (1 р)	р3

Задача 9

В течение года автозавод выпустил 50 крупных партий автозапчастей. Служба проверки качества на этом заводе в течение всего года фиксировала данные о бракованных партиях в статистической таблице. Х – количество бракованных единиц в партии. Определите (распределение Пуассона), проверьте выполнение гипотезы : СВ

Х распределена по закону Пуассона на уровне значимости =0,1 (Ответ: =1,1; гипотезу принимаем на уровне значимости =0,1).

Стр. 157

xi	0	1	2	3	4	5

ni	20	17	6	3	3	1

pi	е	* е	2	3	4	5
pi	е	* е	е	е	е	е
			2!	3!	4!	5!

Задача 10

Мальчик предположил, что время ожидания автобуса распределено равномерно. В течение 150 дней он вел статистические записи и составил статистический ряд. Х – время

ожидания автобуса (в часах). Определите неизвестные параметры a* ,b* СВ Х, показать схемы графиков функции плотности и функции распределения этой СВ. Проверить

гипотезу : Х имеет данное распределение на уровне значимости =0,1

(Ответ: a* 0,08;b*		0,9 , гипотезу		принимаем).

xi	1/6		2/6	3/6	4/6	5/6
ni	32		29	31	30	28

Задача 11

В течение некоторого периода организацией N (сфера обслуживания) было нанято 125 студентов на работу. Время (период) работы студентов подчиняется показательному закону с параметром а. По итогам года HR – специалист составил на основе собранных данных статистический ряд, где Х – количество отработанных студентами месяцев (zi – середины интервалов статистического ряда). Необходимо оценить параметра по методу моментов, а также проверить гипотезу : Х имеет данное распределение на уровне

значимости =0,1 (Ответ: =0,4; гипотезу принимаем на данном уровне значимости).

zi	1	3	5	7	9

ni	66	33	14	7	5

Задача 12

Известно, что доход некоторого собственника-предпринимателя, занимающегося довольно рискованным бизнесом подчиняется закону распределения Парето, минимальный (обязательный) доход составляет 5 усл.ед. Чтобы спрогнозировать будущий доход, он обратился к статистической таблице, которую вел в предыдущие последовательные периоды своей деятельности (n=55). X – доход предпринимателя. Определите параметр и изобразите схемы графиков f(x) и F(x), проверьте гипотезу : Х имеет данное распределение на уровне значимости =0,1 (Ответ: *=13,5, гипотезу принимаем на данном уровне значимости).

xi	5	5,4	5,8	6,2	6,6	7
ni	35	14	3	2	1	1

Задача 13

Стр. 158

Было проведено исследование величины стоимости товара по стране, цена которого выше 10 тысяч рублей. Была сделана выборка из 30 городов. Х – стоимость товара в определенном городе. Выдвигается гипотеза : СВ Х распределена по закону Парето с параметром . По данной выборке необходимо оценить параметр (метод моментов), и проверить выполнение гипотезы на уровне значимости =0,05 (Ответ: *=3, гипотезу принимаем на уровне значимости =0,05).

№	Границы	zi - середины	ni
	интервалов	интервалов
		интервалов

1	[10;12,5)	11,25	10

2	[12,5;15)	13,75	5

3	[15;17,5)	16,25	9

4	[17,5;20)	18,75	3

5	[20;22,5]	21,25	2

6	[22,5;25]	23,75	1

Задача 14

Х имеет распределение, заданное таблицей. Неизвестные параметры 1 и 2 .

	Точечные оценки: * 0,4				* 0,3(n=20).
			1	2
хi		0			4	6	10

pi		1	2		0,1	1		9	2	3	1
								9		3
							10			4
		4				2	10			4
		0,4			0,1	0,2	0,3
ni		8			2	4	6

: Х – имеет данное распределение. Проверить данную гипотезу на уровне значимости =0,05, используя критерий согласия 2 Пирсона

(Ответ: гипотезу принимаем).

Задача 15

Абитуриент сдает экзамены в 10 ВУЗов. В каждый ВУЗ он сдает по 3 экзамена. Событие А – сданный экзамен (р(А)=0,5=р), Х – число сданных экзаменов. Необходимо проверить выполнение следующую гипотезу : СВ Х распределена по биномиальному закону на уровне значимости =0,05 (Ответ: нет оснований отвергнуть гипотезу на данном уровне значимости).

Стр. 159

xi	0	1	2	3

ni	3	2	2	3

Задача 16

Секретарь проверяет 200 пакетов документов от поставщиков. Х – число возможных ошибок в пакете имеет распределение Пуассона с неизвестным параметром . После проверки была составлена сводная статистическая таблица ( xi - количество ошибок в

одном пакете). P{X k}			k	e , для n=200.
одном пакете). P{X k}			k!	e , для n=200.
			k!
	xi	0			1	2		3			4

	ni	50			75	50		15			10

	pi	е			* е	2	е	3	е		4	е
						2!		3!			4!
Была получена точечная оценка параметра :							* 1,3 ( хi		-	количество ошибок в

одном пакете) при n=200 (неизвестен один параметр, т.е. l=1).

: на уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что Х – имеет распределение Пуассона.

(Ответ: нет оснований отвергнуть гипотезу ).

Задача 17

Время, в течение которого работники организации досконально помнят содержание должностной инструкции, подчиняется показательному закону с параметром а. В течение нескольких месяцев тестировали 30 работников. Для нахождения точечной оценки параметра а была составлена статистическая таблица ( ni - число работников, которые

помнят содержание должностной инструкции). N=30.

№Границы ni интервалов

1	[0;0,2)	5

2	[0,2;0,4)	6

3	[0,4;0,6)	10

4	[0,6;0,8)	2

5	[0,8;1,0]	1

6	[1,0;1,2]	4

7	[1,2;1,4]	2

Точечная оценка параметра а=0,79. Необходимо проверить гипотезу	о
показательном распределении СВ Х при доверительной вероятности =0,05.

Стр. 160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.03.2016167.42 Кб41Положение об организации контроля знаний.doc
#
02.06.2015173.57 Кб44Попова Е.П. Теория организации для логистики.doc
#
02.06.2015708.1 Кб8Пособие Political Phenomena and Issues.doc
#
02.06.2015735.61 Кб21Пособие Защита населения и тер от ЧС.docx
#
02.06.2015730.7 Кб19Пособие по БЖД.docx
#
02.06.20154.37 Mб207Пособие по математической статистике.pdf
#
02.06.20151.22 Mб151Пособие по теории вероятности.docx
#
02.06.2015119.41 Кб62пособие(финал).docx
#
26.03.20161.99 Mб13Пособие.doc
#
26.03.2016314.88 Кб21пособие_СМИ_latest.doc
#
26.03.2016852.83 Кб7Пост Пр РФ №1085 от Оценка КЗ.rtf