Пособие по математической статистике

§3 Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Имеем выборку объёма n=100. Сумма квадратов всех элементов выборки равна 600. Сумма всех элементов выборки равна 200. Как изменится выборочное среднее и выборочная дисперсия, если все члены выборки уменьшить в5 раз? /Ответ обосновать/.

Задача 2

Имеем выборку объёма n=500. Выборочное среднее равно 5. Сумма квадратов всех

элементов выборки равна15000. Как изменится выборочное среднее и выборочная дисперсия, если все члены выборки умножить на -0,5, а затем ко всем элементам прибавить50? /Ответ обосновать/

Задача 3.

Ежегодно американский журнал «Fortune» публикует список наиболее богатых людей в мире с оценками их состояний в миллиардах US$. Ниже приведены результаты одной из публикаций за 1989 год:

9,05; 9,02; 8,7; 7,5; 7,4; 6,0; 5,7; 5,5; 5,0; 5,0; 4,4; 4,0; 3,6; 3,4; 3,1;3,0; 3,0; 2,9; 2,8; 2,8; 2,5; 2,5; 2,5; 2,4; 2;4; 2,4; 2,2; 2,0; 2,0; 2,0; 1,9; 1,8; 1,7;1,6; 1,5; 1,5;1,5; 1,5; 1,4; 1,3; 1,3;1,3; 1,2; 1,2; 1,2; 1,2; 1,1; 1,1; 1,1;1,0; 1,0; 1,0; 1,0; 1,0; 1,0; 1,0; 1,0.

1.По данному вариационному ряду найдите : R=xmax-xmin; med; квартили и постройте «ящик с усами».

2.Постройте статистический ряд.

3. Найдите выборочное среднее и выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

4.Постройте группированный статистический ряд.

5 Постройте полигон частот

6.Найдите статистическую функцию распределения и постройте график.

7.Найдите основные выборочные характеристики: mod; ̅;D*X; *X; S2; S,

используя линейное преобразование выборки.

8.Постройте гистограмму

Стр. 31

Задача 4.

Х генеральная совокупность (результаты ежедневной прибыли по 50 фирмам)

Группированная выборка

1)Статистический ряд

2)Полигон частот

3)Статистическую функцию распределения F*X

4)Гистограмму

5)Используя линейное преобразование ui=∆(zi-mod)(zi середины интервалов

выборки из генеральной совокупности Х), вычислить выборочные характеристики (выборочное среднее, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную дисперсию и среднее квадратическое отклонение).

6)Найти приближённый закон распределения статистики У=3*̅

Задача 5.

Администрацию универсама интересует оптимальный уровень запасов продуктов в торговом зале, а также среднемесячный объём покупок товаров, которые не являются предметами ежедневного потребления в семье (например, как сода). Для выяснения этого вопроса менеджер универсама регистрировал частоту покупок 100-граммовых пакетов с содой и собрал следующие данные (хi) :

8; 4; 4; 9; 3; 3; 1; 2; 0; 4; 2; 3; 5; 7; 10; 6; 5; 7; 3; 2; 9; 8; 1; 4; 6; 5; 4; 2; 1; 0; 8

1.Постройте вариационный ряд

2.По данному вариационному ряду найдите : R=xmax-xmin; med; квартили и постройте «ящик с усами».

3.Постройте статистический ряд

4.Постройте полигон частот

5.Найдите выборочные характеристики(выборочное среднее, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение)

6.Вычислите коэффициент вариации и сделайте вывод об однородности выборки

Задача 6

Х генеральная совокупность (дискретная случайная величина)

Стр. 32

Получено следующее статистическое распределение

3.Найти предельное значение ̅ при неограниченном увеличении объёма

выборки.

Может ли при большом объёме выборки а) ̅=-1; б) ̅=10?

4.Пусть ̅ . Найти значение параметра n.

5.Для найденного n найти 1)статистический ряд; 2)полигон относительных частот;3)выборочную функцию распределения F*(x); 4)выборочную

дисперсию D*x и выборочное среднее квадратичное отклонение *х;

5)исправленную дисперсию S2и S; 6) p{1,5≤X≤4,5}

Творческое задание

Составьте и решите четыре задачи аналогичные задачам в §2:

задачи 5; 6; 7; 8

Если Вы выполните это задание успешно, то с большой вероятностью Вы также успешно выполните в экзаменационном тесте аналогичные задачи.

Желаю успеха!

Стр. 33

Ответы и указания к задачам §3

Задача 1

Ответ: выборочное среднее уменьшится в 5 раз и получим 0,4; выборочная дисперсия уменьшится в 25 раз и получим 0,08

Задача 2

Ответ: выборочное среднее будет равно 47,5; выборочная дисперсия будет равна

1,25.

3.̅=2,62; D*x=5,431; *x≈2,33

4.n=57 k=1+3,3lg57≈7 (число интервалов) ∆==1,15

,, 75

7. ui=1/∆(xi- mod); mod=1,575

Стр. 34

8.

0,4

0,35

0,3

hi= ∆ h1≈0,46; h2≈0,2; h3≈0,06; h4≈0,046; h5≈0,03; h6≈0,03; h7≈ ,

Задача 4

1)

6)Y N(57,6; 3)

Стр. 35

Задача 5.

Ответ:

̅=4,3871; D*X=7,6566; *X≈2,7671; V= ̅*100%=63%(недостаточная однородность

выборки)

Задача 6.

Ответ:

1)n {2;3;4;…}

D*X=3,3056; *X≈1,82; S2=3,4413; S≈1,85

p{1,5≤X≤4,5}=0,2

Стр. 36

Глава 2 Точечное оценивание числовых характеристик и параметров распределения генеральной совокупности.

§1.Основные понятия и формулы.

Постановка задачи

Пусть вид распределения генеральной совокупности Х известен.

Требуется найти приближённое значение неизвестных параметров распределения по данной выборке.

Например, функция распределения генеральной совокупности Х FХ(x; ) содержит неизвестный параметр .

Определение: Статистикой называется любая функция выборочной совокупности, которая является случайной величиной.

Определение: Точечной статистической оценкой неизвестной числовой характеристики или параметра распределения называется функция выборочной

совокупности

̃= ( X1;X2:…;Xn); значение этой случайной величины для конкретной выборки

*= (х1;x2;…;xn) принимается за приближённое значение параметра .( *≈)

Замечание:

Распределение случайной величины ̃ содержит параметр , т.к. все компоненты выборочной совокупности Хi имеют распределение FХ(x; )

Критерии качества точечных оценок.

 Состоятельность

Оценка ̃n=̃n(X1;X2;…;Xn) называется состоятельной оценкой , если она стремится

p

по вероятности к с ростом n: ̃n . Это означает, что для любого >0 n ∞

Примечание.

Это требование означает сближение ̃n к с ростом n в вероятностном смысле.

Стр. 37

В математической статистике, как правило, применяются только состоятельные оценки.

Заметим, что из предельной теоремы Бернулли теории вероятностей следует, что относительная частота Р*(А) события А является состоятельной оценкой

Р

вероятности Р(А) этого события Р*(А) Р(А) n ∞

 Несмещённость

Оценка ̃n называется несмещённой оценкой параметра , если математическое

ожидание оценки равно : M[̃n]=

В противном случае оценка называется смещённой.

Разность =M[̃n]- называется смещением оценки.

>0 смещение вправо

0 с щ в в

Для несмещённых оценок систематическая ошибка равна нулю ( =0)

Примечание:

Требование несмещённости означает, что выборочные значения ̃n,j оценок,

полученные в результате повторения выборок, группируются не только около их математического ожидания, но и около оцениваемой величины , а в случае

смещённости выборочные значения группируются только около своего математического ожидания, а не около оцениваемой величины .

ε 0

Стр. 38

 Эффективность

Оценка ̃n*числовой характеристики или параметра распределения

называется эффективной в рассматриваемом классе Т состоятельных и несмещённых оценок, если она имеет в этом классе минимальную дисперсию.

D̃n*=minD̃n

T

Из двух оценок ̃1n и ̃2n одной и той же числовой характеристики или параметрараспределения в классе Т состоятельных и несмещённых оценок более

эффективной считается та, дисперсия которой меньше.

Если имеет место неравенство: D̃1n D̃2n ,то оценка ̃1n более эффективная

оценка , чем оценка ̃2n.

Отношение D̃1n /D̃2n называется относительной эффективностью оценки ̃2n относительно оценки ̃1n

Свойства основных выборочных характеристик.

Выборочное среднее.

̅= ∑

Свойство 1. Выборочное среднее является состоятельной оценкой генерального математического ожидания, что следует из предельной теоремы Чебышева.

Свойство 2. . Выборочное среднее является несмещённой оценкой генерального математического ожидания: M[̅ =m

n

С ростом n рассеяние ̅ уменьшается обратно пропорционально n

Стр. 39

Выборочный момент «к-го» порядка.

Свойство 1.Выборочный момент «к-го» порядка является состоятельной оценкой генерального начального момента «к-го» порядка к:

р

к* к

n ∞

Свойство 2.Выборочный момент «к-го» порядка является несмещённой оценкой генерального начального момента «к-го» порядка к:

M[αk*]=αk

Выборочная дисперсия.

̃X= ∑( ̅)

Свойство 1.Выборочная дисперсия является состоятельной оценкой генеральной

дисперсии: p

̃X D[X] n ∞

Стр. 40