Пособие по математической статистике

S=∑ ∆ ∆=1

С помощью гистограммы оценивается кривая функции плотности .

f*(x)

Группированный статистический ряд удобно оформить в виде таблицы.

Выборочные характеристики

Пусть имеем выборку объёма «n» x1;x2;…;xn

1. Оценкой генерального математического ожидания является выборочное

2. Оценкой генерального начального момента порядка «к» является выборочный начальный момент порядка «к», который вычисляется по

Стр. 11

3. Оценкой генерального центрального момента порядка «к» является выборочный начальный момент порядка «к», который вычисляется по

Для выборочной дисперсии справедлива формула, аналогичная формуле для генеральной дисперсии

Dx*=̅̅̅̅-(̅)2, где ̅̅̅= ∑

5. Оценкой генерального cреднего квадратического отклонения является выборочное среднее квадратическое отклонение, которое вычисляется по

формуле: *=√

Внимание!

Приведённые выше формулы обычно используются при вычислении на компьютере.

Если Вы составили статистический ряд, то используйте формулы, которые аналогичны формулам числовых характеристик дискретной случайной величины.

1.Выборочное среднее

Примечание

В дальнейшем будет рассмотрена ещё одна оценка для дисперсии исправленная дисперсия.

Ниже приводятся формулы для вычисления и связь с выборочной дисперсией.

= ∑( ̅)

Стр. 12

S2=*DX*

Аналогично выборочному среднему среднему квадратичному отклонению получаем исправленное среднее квадратичное отклонение

S=√

Замечание.

Если мы будем рассматривать выборочную совокупность,т.е. «n» мерную случайную величину Y=(X1;X2;…;Xn), то функции от этой величины будут

одномерными случайными величинами. В частности выборочное среднее и дисперсия будут случайными величинами.

Полезная информация

Можно доказать, что ̅ распределена асимптотически нормально с параметрами ( m;√ ); где m генеральное математическое ожидание, а 2 генеральная дисперсия

На практике m=̅; 2=DX*

Отметим основные свойства выборочного среднего выборочной дисперсии, которые аналогичны свойствам математического ожидания и дисперсии.

Свойства выборочного среднего

Стр. 13

Линейное преобразование группированной выборки для упрощения вычислений.

Пусть имеем статистический ряд группированной выборки.

∆ длина интервала; mod выборочная мода (элемент выборки с наибольшей

частотой)

Преобразуем данную выборку по формуле:

ui=∆(zi-mod)(zi середины интервалов выборки из генеральной совокупности Х)

Рассмотрим случайную величину U=(X-mod)

Найдём выборочное среднее этой случайной величины, используя свойства выборочного среднего.

̅=∆(̅-mod) ̅=∆*̅+mod

Найдём выборочную дисперсию этой случайной величины

* выборочное среднее квадратическое отклонение это абсолютная мера

рассеяния вариантов ряда.

Существует и относительная мера рассеяния коэффициент вариации, который представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к выборочному среднему.

V= ̅*100% (̅≠0)

Обычно, если V 35%, то можно сделать вывод об однородности выборки.

Стр. 14

Коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Вариационный ряд, в котором частоты вариантов, равноотстоящие от выборочного среднего равны между собой, называется симметричным, в противном случае

асимметричным или скошенным.

Необходимое (но не достаточное) условие симметричности: ̅=mod=med

Коэффициентом асимметрии вариационного ряда называется число:

При Кас=0 распределение симметрично при этом mod=0.

Kac>0 mod ̅ правосторонняя скошенность

Kac 0 mod>̅ левосторонняя скошенность

Коэффициентом эксцесса называют величину

Кэкс= -3, которая является мерой крутости распределения (высоковершинности

или низковершинности)

Кэкс [-3;+∞)

Кэкс>0 островершинность; -3 Кэкс 0 плоская вершина

Стр. 15

§2. Решение типовых задач.

Задача 1.

Имеем выборку объёма n=200.Известно, что выборочное среднее ̅=4,3.

Как изменится выборочное среднее, если все члены выборки уменьшить на 1,3? Найдите сумму всех элементов выборки после этого преобразования./Ответ обосновать/

Решение:

Если все члены выборки уменьшить на 1,3, то получим новую случайную величину У=Х-1,3.

По свойству выборочного среднего имеем:

̅=̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, =̅-1,3=4,3-1.3=3.

̅= ∑ =3 ∑ =600

Ответ: ̅=3; ∑=600

Задача 2.

Имеем выборку объёма n=300. Сумма квадратов всех элементов выборки равна 600. Сумма всех элементов выборки равна 0. Как изменится выборочная дисперсия, если все члены выборки увеличить в 3 раза? /Ответ обосновать/.

Решение

Dx*=̅̅̅̅-(̅)2 Dx*=2

Если все члены выборки увеличить в 3 раза, то получим новую случайную величину У=3Х.

По свойству выборочной дисперсии имеем:

D*[Y]=D*[3X]=9D*X=9*2=18

Ответ: 18

Задача 3.

Имеем выборку объёма n=200. Выборочное среднее равно 1. Сумма квадратов всех

элементов выборки равна 800. Как изменится выборочное среднее и выборочная дисперсия,

если все члены выборки умножить на -2, а затем ко всем элементам прибавить7? /Ответ обосновать/

Стр. 16

Решение

Dx*=̅̅̅̅-(̅)2 Dx*=4-12=3

Если с элементами выборки выполнить преобразования указанные в условии задачи, то получим новую случайную величину:

У=-2*Х+7.

По свойствам выборочного среднего и выборочной дисперсии имеем:

̅=̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=-2*̅ =-2*1+7=5

D*[Y]=D*[-2*X+7]=4*D*X=4*3=12.

Ответ: 5; 12.

Задача 4.

Х генеральная совокупность (результаты ежедневной прибыли по 50 фирмам)

Группированная выборка

1)Статистический ряд

2)Полигон частот

3)Статистическую функцию распределения F*X

4)Гистограмму

5)Используя линейное преобразование ui=∆(zi-mod)(zi середины интервалов

выборки из генеральной совокупности Х), вычислить выборочные характеристики (выборочное среднее, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную дисперсию и среднее квадратическое отклонение).

6)Найти приближённый закон распределения статистики У=2*̅

Решение:

1)Статистический ряд

Из условия задачи следует, что длина каждого интервала группированной выборки ∆=4

Стр. 17

Найдём середины интервалов и относительную частоту попадания в каждый интервал

(n=50)

Контроль:∑=1

2) Полигон относительных частот

Заметим, что mod=24,3

1) Статистическая функция распределения

4)Гистограмма.

Для построения гистограммы построим вспомогательную таблицу

f*(x)

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

5)Вычисление числовых характеристик

Линейное преобразование выборки по формуле:

ui=∆(zi-mod); mod=24,3; ∆=4

Построим новый статистический ряд для случайной величины U=(X-mod)

Стр. 19

Вычислим выборочное среднее случайной величины U

̅=∑ =2,04̅=∆*̅+mod̅=4*2,04+24,3=32,46

̅=32,46 выборочное среднее генеральной совокупности

Вычислим выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение случайной величины U

совокупности

Вычислим исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение

S2=*DX* S2= *42,2144≈43,076 S=√ ≈6,56

7) Приближённый закон распределения статистики У=2*̅

Как было отмечено, статистика ̅ имеет приближённо нормальное распределение.

Параметры этого распределения соответственно равны m=̅; =√ m=32,46;

=√ , ≈0,9

Так как статистика У является линейной функцией, то она так же имеет нормальное распределение с параметрами mY и У

M[Y]=M[2*̅ ]=2*m-7=2*32,46-7=57,92 my=57,92

[Y]= [2̅ =2* =2*0,9=1,8 y=1,8

( , )

fy(x)= , √( , )

Стр. 20