Пособие по математической статистике

Задача 8.1

Номинальная стоимость косметического крема составляет 40 у.е. После проверки

нескольких магазинов n 36 выяснилось, что средняя стоимость составляет 40, 2у.е. Предполагается, что стоимость этой продукции подчиняется нормальному закону, причем

2 1у.е.2 Можно ли по результатам выборочного обследования магазинов утверждать, что стоимость крема не имеет положительного смещения по отношению к номинальной

стоимости? Принять 0, 01. Какова критическая область в этом случае?

n

2. H0 : m 40

H1 : m 40(m 40, 2)

3.

0, 5 ( X кр m) 0, 01

X

(( X кр 40)6) 0, 49

4.( X кр 40)6 1 (0, 49)1 (0, 49) 2, 33

X кр 40 0, 388

X кр 40, 388

смещения по отношению к номинальной стоимости.

Стр. 131

Задача 8.2

В условиях предыдущей задачи, партия крема, где номинальная стоимость крема H0 40у.е. , не будет заказана магазином, если выборочное среднее будет

1.H0 : m 40,1 (крем будет закупаться магазином)

H1 : m 40,3

2.Ошибка 1 рода – крем не будут закупать, т.к. выборка показала, что X 40,1у.е. , в то

время как H0 верна ( m 40,1 ).

P(H1 / H0 )

P{X /H0 40,1}

X/H0 N (40; 16)

0, 5 ( 40,1 40) 0, 5 0, 25575 0, 274

1/ 6

0, 274

3.Ошибка 2 рода – крем будет закуплен, хотя верна гипотеза H1 ( m 40,3 )

P{H0 / H1}

P{X /H1 40,1}

0, 5 ( 40,1 40, 3) 0, 5 (1, 2) 0,115

1/ 6

0,115

Ответ: 0, 274

0,115

Стр. 132

§3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

=0,05; (k)=0,78. Найти вероятности событий: 1: событие А (Но верна и должна быть принята) ; событие B (Н1 верна, но должна быть отвергнута). Изобразить схематически критические области для каждого из событий

(Ответ: Р(А)=0,95; Р(B)=0,22).

Задача 2

=0,13; (k)=0,84. Найти вероятности событий: событие А (Но неверна, но должна принята согласно критерию) ; событие B (Но неверна, и она должна быть отвергнута согласно критерию). Изобразить схематически критические области для каждого из событий

(Ответ: Р(А)=0,16; Р(B)=0,84).

Задача 3

Число ошибок в контрольной работе распределено по закону Пуассона с параметром . Объем выборки n=50, среднее количество ошибок (Х- число ошибок) равно 4,2. Предполагаем, что гипотеза Но: =4. Проверить выполнение альтернативных гипотез Н1: >4; H2: 4 на уровне значимости (задайте сами).

Задача 4

Погрузчик на складе ищет месторасположение объектов: в 3 случаях из 10 он находит не те коробки, которые были нужны (Распределение Бернулли). Вероятность найти не «ту» коробку – P(A)=p – неизвестна. Предполагаем, что

гипотеза Но: p p0 0,4; ( mn 0,3) . Альтернативные гипотезы: Н1: р0 <0,4;

H2: р0 0,4. Проверить выполнение данных гипотез на уровне значимости

(задайте сами).

Задача 5

На тренировке по баскетболу спортсмен кидает мяч в корзину. Х – число непопаданий мяча в корзину (Распределение Бернулли). Событие А – «непопадание» мяча в корзину. Р(А)=р. Всего он совершил n=40 попыток, и 25 раз промахнулся( =25/40=0,625). Предполагаем, что Но: р0 =0,5, а альтернативные

гипотезы: Н1: р0 >0,5; H2: р0 0,5. Проверить выполнение данных гипотез на уровне

значимости (задайте сами).

Задача 6

В течение года автозавод выпустил 50 крупных партий автозапчастей. Х – количество бракованных единиц в партии (распределено по закону Пуассона). Было проверено n 50 партий автозапчастей, и выявлено, что среднее количество

бракованных единиц в партии равно 1,1. Предполагаем, что Но: =1; а альтернативные гипотезы Н1: >1; H2: 1. Проверить выполнение данных гипотез на уровне значимости (задайте сами).

Стр. 133

Задача 7

В студии по обработке драгоценных камней считают, что Х – вес алмаза подчиняется нормальному закону: X N(m; ) . Подсчитано, что средний вес алмаза

(в каратах) равен 0,53. Работники решили проверить 6 алмазов, с целью выяснить, подойдут ли они для новой серии украшений, и подсчитали, что выборочное

ювелиры выдвинули гипотезу Но: m =0,5; а также две альтернативные гипотезы: Н1: m >0,5; H2: m 0,5. Чтобы помочь ювелирам определиться с новой линией украшений, проверьте выполнение данных гипотез на уровне значимости (задайте

сами).

Задача 8

Менеджер ресторана анализирует счета посетителей (Х – сумма счета посетителя, в рубля – распределена по нормальному закону). Случайным образом были выбраны 50 счетов из общего количества, подсчитано отклонение (исправленная дисперсия) по сумме счета: S 2 36 рублей ( mген неизвестно). Менеджер

выдвинул гипотезу Но, что обычно вариация счетов не меньше 40 рублей, однако руководитель, который хочет ввести новую систему скидок не поверил менеджеру и выдвинул альтернативную гипотезу: вариация суммы счета меньше 40 рублей:

2 40 . Проверьте, кто из них прав (чья гипотеза выполняется) на уровне значимости (задайте сами).

Задача 9

Комиссия по проверке качества на заводе по сборке швейных машинок должна проверить 50 машинок. Х – число возможных неисправностей в одной швейной машинке (распределено на закону Пуассона). Проверка показала, что среднее число ошибок равно 1,64. Выдвинута гипотеза Но: =2. Главный техник завода выдвигает альтернативную гипотезу Н1: 2. Проанализируйте, чья гипотеза выполняется на уровне значимости (задайте сами).

Задача 10

В налоговой инспекции было проанализировано 100 налоговых деклараций на наличие в них ошибок. Х – число ошибок в декларации, распределенное по закону Пуассона с параметром . Подсчитали, что среднее число ошибок в декларации равно 1,23. Выдвигают нулевую гипотезу Но: =1,5, а также две альтернативные : Н1: 1,5; Н2: >1,5. Проверьте выполнение данных гипотез на уровне значимости(задайте сами).

Задача 11

На чемпионате по покеру проводилось 29 игр, в четырех из которых победил новичок. Событие А – победу одержал новичок, Р(А)= р0 . СВ Х – число выигрышей

Стр. 134

«новичка». Судья соревнований выдвинул гипотезу Но: р0 =0,57, а конкуренты –

выполнение данных гипотез на уровне значимости =0,01( =0,1; =0,05).

Задача 12

Игроки кидают карты в шляпу, событие А – карта попала в шляпу (Р(А)= р0 ),

СВ Х – число попаданий карты в шляпу – распределена по биномиальному закону. Из 20 попыток карта попала в шляпу только 15 раз. Игроком была выдвинута гипотеза Но: р0 =0,45, ей противостоят две альтернативные гипотезы Н1: р0 >0,45(

mn 0,75 0,45 ); H2: р0 0,45. Проверьте выполнение данных гипотез на уровне

значимости (задайте сами).

Задача 13

Три игрока играют в «наперстки» (3 наперстка и 1 шарик). В каждом раунде они по очереди угадывают под каким наперстком шарик. Событие А –шарик найден. Р(А)= р0 . За 120 игр игроки 40 раз нашли шарик. Предположим, что СВ Х – число

найденных шариков подчиняется биномиальному закону. Тогда необходимо проверить гипотезу Но: р0 =0,4, которой противостоят две альтернативные гипотезы

Н1: р0 <0,4 ( mn 0,33 0,4 ); H2: р0 0,4 на уровне значимости (задайте сами).

Задача 14

Студент живет в съемной комнате и каждый месяц платит ренту 6000р. В период кризиса происходит рост цен, поэтому он предположил, что в следующем месяце цена изменится (увеличится до 9000), в том время, как ему необходимо потратить отложенные деньги на покупку ноутбука (студент не работает, и других источников дохода кроме родителей у него нет). Он знает, по крайней мере, 5 квартир, где плата на съемную комнату в среднем стала 9500р. α=0,1, с.к.о. σ=0,09. Сформулируйте задачу в терминах проверяемой и альтернативной гипотезы. Постройте критическую область.

[Ответ: (9000,052; ]

Задача 15

В некотором отделе компании работает группа специалистов. В период финансового кризиса в этом месяце уволили 1 сотрудника (осталось 10), и внутри отдела появилась паника. Сотрудник 1 полагает с вероятностью 0,4, что в следующем месяце будет уволено не менее 4-х сотрудников, а сотрудник 2 полагает с вероятностью 0,5, что будет уволено не более 3-х.

Х – число уволенных сотрудников; - утверждение 1; -утверждение 2. Сформулируйте задачу в терминах проверяемой и альтернативной гипотезы. Найдите вероятности ошибок первого и второго рода.

Стр. 135

Задача 16

Студенты на паре пишут контрольный тест из 5 заданий. Студент 1, который раньше написал тест, передал вариант с ответами (к тесту) другому, убедив последнего в том, что вероятность ошибки каждой задачи составляет 10% и зачет обеспечен. Студент 2, пользуясь ответами, предположил, что вероятность ошибки больше, а именно 20% и зачета не будет, поэтому в случае, если он окажется прав – они договорились, что студент 1 напишет товарищу реферат. Для получения зачета необходимо решить не менее 3-х задач. Сформулируйте эту задачу в терминах теории проверки статистических гипотез. Каковы проверяемая и альтернативная гипотезы? Найдите вероятности ошибок 1-го и 2-го рода.

Задача 17

Девушка-студентка решила заказать стиральную машину через Интернет. На сайте одной фирмы она выбрала модель стоимостью 11000р. Подруга девушки полагает, что на сайте указана не точная цена - на самом деле она выше, т.к. средняя стоимость стиральной машины этой модели по городу (было проверено 5 магазинов) = 12200р. Х – стоимость стиральной машины (распределена нормально). α=0,05, выборочное с.к.о. S=0,06. Сформулируйте задачу в терминах проверяемой и альтернативной гипотезы. Найдите вероятности ошибок 1 и 2 рода.

Стр. 136

2.Для непрерывной случайной величины Х множество значений разбиваем на «k» непересекающихся интервалов и вычисляем вероятности попадания Х в каждый интервал

О числе степеней свободы r

Аргументами статистики 2 являются частоты n1,n2,…nk (n1+n2+…+nk=n). По

теореме Пирсона число степеней свободы (в случае, когда все параметры распределения известны) равно r=k-1. Однако Фишер в своей теореме доказал, что если l - это число

неизвестных параметров, то случайная величина 2 имеет число степеней свободы

r=k-1-l (число степеней свободы уменьшается, т.к. на частоты накладываются дополнительные условия).

Стр. 138

§2. Решение типовых задач (проверка гипотезы о виде распределения)

Постановка задачи

Пусть x1,x2,…xn – выборка наблюдений случайной величины Х. Проверяется гипотеза : Х имеет распределение F(x).

Проверка гипотезы при помощи критерия 2 осуществляется по следующей

схеме:

1.Если есть неизвестные параметры, то по выборке находят точечные оценки этих параметров (метод моментов, метод максимального правдоподобия или другие известные методы).

2.Область возможных значений Х разбивают на “k” множеств (если Х – дискретная СВ – то это значения СВ, если Х – непрерывная СВ – то это интервалы).

3.Пусть ni - число элементов выборки, принадлежащих множеству i

k

( ni n ).

i 1

4.Используя предполагаемый закон распределения Х находят вероятности

k

pi . pi =P{X i} i=1,2,…,k. ( pi 1). Все данные заносятся в таблицу.

i 1

Выборочное значение статистики критерия 2 вычисляется по формуле

где r (число степеней свободы)=k-1-l (k – число интервалов, l – число неизвестных параметров).

6. Строим критическую область

2(r )

1

Правило принятия решения:

Если 2 выб 12(r ) , то гипотезу Но о виде распределения СВ Х принимаем на уровне

значимости , а в противном случае – отвергаем.

Стр. 140