Пособие по математической статистике

Задача 18

Известно, что заработная плата некоторого работника подчиняется закону распределения Парето. Минимальная заработная плата составляет 4 тысячи рублей. Для определения попадания заработной платы в интервал от 4 до 12 тысяч была составлена статистическая таблица, по которой найдена точечная оценка параметра распределения*=1,76. Необходимо проверить выполнение гипотезы на уровне значимости =0,05:

Х – заработная плата подчиняется закону Парето.

(Ответ: гипотезу отвергаем на данном уровне значимости).

Задача 19

Наблюдалось следующее распределение по минутам числа появлений охранника в дверях ювелирного магазина, имеющего по должностной инструкции 6-минутный интервал

появления. Проверить гипотезу о равномерном распределении на основании данной выборки, уровень значимости =0,05.

(Ответ: нет оснований отвергнуть гипотезу ).

Задача 20

Время обслуживания продавцом покупателя в бакалейной лавке – это случайная величина Х. Выдвигается гипотеза : Х exp(а) . Для нахождения точечной оценки

параметра была составлена группированная выборка ( ni - число продавцов). N=30.

Стр. 161

№Границы zi - середины ni интервалов интервалов

Используйте метод моментов для нахождения точечной оценки . Затем проверьте

гипотезу о показательном распределении СВ Х при доверительной вероятности

=0,05

: Х – имеет данное распределение. Проверить данную гипотезу на уровне значимости =0,1, используя критерий согласия 2 Пирсона

(Ответ: нет оснований отвергнуть гипотезу ).

Задача 22

В мешке 60 шаров трех цветов (синий/белый/красный). Фокусник может вытащить только 1 шар. Можно ли утверждать, что фокусник с равной вероятностью вытащит шар любого цвета, т.е. необходимо проверить гипотезу : СВ Х (тип шара) – распределена по дискретному равномерному закону на уровне значимости =0,1 (Ответ: гипотезу

принимаем на данном уровне значимости).

Стр. 162

Задача 23

Время ожидания своей очереди на подключение к Интернету – это СВ Х. В течение нескольких месяцев работники компании, предоставляющей услуги по подключению, составляли статистику по клиентам. Была составлена следующая группированная выборка:

Выдвигается гипотеза: : Х Ехр(а).

Т.к. параметр неизвестен, то необходимо найти его точечную оценку по методу моментов, а затем проверить выполнение гипотезы на уровне значимости =0,05

(Ответ: а*=4,67, гипотезу принимаем).

Задача 24

Комиссия по проверке качества на заводе по сборке швейных машинок должна проверить 50 машинок. Х – число возможных неисправностей а одной швейной машинке имеет распределение Пуассона с неизвестным параметром . После проверки была составлена сводная статистическая таблица ( xi - количество неисправностей в одной

Стр. 163

Краткий обзор.

Определение. Генеральной совокупностью называется множество возможных значений изучаемой случайной величины Х с приписанным этому множеству законом распределения F(x).

Числа, составляющие генеральную совокупность, называются её элементами. Закон распределения F(x) называется генеральным законом распределения, а числовые характеристики случайной величины Х называются генеральными характеристиками.

Выборкой называется множество измеренных значений x1;x2;…;xn случайной величины Х.

Пусть проводится серия из «n» опытов. Наблюдающиеся значения хi случайной величины Х называют так же вариантами.

Выборочной совокупностью или случайной выборкой называют

«n» мерную случайную величину Y=(X1;X2;…;Xn)

Выборка объёма «n» -это значение выборочной совокупности или «n»-мерная точка y=(x1;x2;…;xn)

Определение1. Вариационным рядом называется последовательность всех элементов выборки, расположенных в неубывающем порядке. Одинаковые элементы повторяются.

Запись вариационного ряда: х(1);х(2);…;х(n); xmin=x(1); xmax=x(n)

Разность между максимальным и минимальным элементами называется размахом или широтой выборки: R=xmax-xmin

Определение 2. Средний элемент вариационного ряда, если «n» нечётное, или полусумма двух средних элементов , если «n» чётное, называется медианой выборки

и обозначается med:

( )

med=[ ( ) ( )

Определение3 Статистическим рядом называется последовательность различных элементов zi вариационного ряда

(z1 z2 .. zk) с указанием частот ni повторения элементов.

Стр. 164

n1+n2+…+nk=n

удобно называть такой ряд статистическим рядом.

Определение 4. Полигон частот (относительных частот) это ломаная с вершинами в точках (zi;ni) или (zi; )

Определение 5. Выборочная мода это наиболее часто встречающийся

элемент статистического ряда, который обозначается mod.

Выборочная (эмпирическая) функция распределения

F*(x)=

[

x

.Гистограмма выборки

Стр. 165

Определение: Гистограмма выборки это кусочно-постоянная функция

( ) = ∆ x ∆I (pi*=.)

Определение: Статистикой называется любая функция выборочной совокупности, которая является случайной величиной.

Определение: Точечной статистической оценкой неизвестной числовой характеристики или параметра распределения называется функция выборочной

совокупности

̃= ( X1;X2:…;Xn); значение этой случайной величины для конкретной выборки

*= (х1;x2;…;xn) принимается за приближённое значение параметра .( *≈)

Критерии качества точечных оценок.

 Состоятельность

Оценка ̃n=̃n(X1;X2;…;Xn) называется состоятельной оценкой , если она стремится

p

по вероятности к с ростом n: ̃n . Это означает, что для любого >0 n ∞

 Несмещённость

Оценка n называется несмещённой оценкой параметра , если математическое

ожидание оценки равно : M[̃n]=

В противном случае оценка называется смещённой.

Разность =M[̃n]- называется смещением оценки.

>0 смещение вправо

0 с щ в в

Для несмещённых оценок систематическая ошибка равна нулю ( =0)

 Эффективность

Оценка ̃n*числовой характеристики или параметра распределения

называется эффективной в рассматриваемом классе Т состоятельных и несмещённых оценок, если она имеет в этом классе минимальную дисперсию.

D̃n*=minD̃n

T

Стр. 166

Свойства выборочного среднего

Стр. 168

m

Интервальные оценки.

Опрелеление.1. Если выполняется соотношение : p{ 1< < 2}= , то интервал

( 1; 2)называется доверительным интервалом., который покрывает неизвестную

генеральную характеристику с доверительной вероятностью . Замечание. 1= 1(х1;х2; .;xn) и 2= 2(х1;х2; .;xn)—известные функции выборочной

совокупности, т.е. статистики. В данной выборке это числовые значения.

Статистики 1 и 2 являются точечными оценками . Одна даёт левую, а другая —правую границы, между которыми содержится с вероятностью .

Число называется также надёжностью, с которой доверительный интервал накрывает

.

Число =1- называется уровнем значимости.

Половину длины доверительного интервала = ( 2- 1) называют точностью

доверительного оценивания.

Определение 2.Пусть известна одна точечная оценка ̂ генеральной числовой характеристики или параметра распределения .

Если выполняется соотношение: P{| -̂|< }= , то число называется точностью, а число—надёжностью оценки ̂ генеральной числовой характеристики .

Задача 1

(Доверительный интервал для математического ожидания при известном )

Дано:

o Генеральная совокупность X имеет нормальное распределение, причем известна:

N (m, )

Стр. 169

o (X1, X2 , X3 ,.., Xu ) - выборка

Задача 2

(Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестном σ)

Дано:

X ;

По доверительной вероятности построить доверительный интервал для математического ожидания P{m ( 1; 2 )} 1

Задача 3

(Построение доверительного интервала σ2 при известном параметре m) Дано:

o X N(m, )