Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пособие по математической статистике

.pdf

Скачиваний:

207

Добавлен:

02.06.2015

Размер:

4.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1915 16 17 18 19 > Следующая >>>

Задача 1 (см. задача №13 «Точечные оценки»)

Х имеет распределение, заданное таблицей. Неизвестные параметры a и b. Точечные

оценки:	a* 0,16	b* 0,43	(n=50).
хi		-1		0	2	4

pi		2a		a	b	1-3a-b

		0,32		0,16	0,43	0,09

ni		15		10	20	5

: Х – имеет данное распределение. Проверить данную гипотезу на уровне значимости =0,1, используя критерий согласия 2 Пирсона.

Заполним следующую таблицу:

№	хi	pi		ni		n pi			(ni npi )2
										npi

1	-1	0,32		15		16		0,0625

2	0	0,16		10		8		0,5

3	2	0,43		20		21,5		0,07

4	4	0,09		5		4,5		0,05

		4		4		4			k		npi )	2
		pi	1	ni	50	npi	50			(ni	npi )		0,68
		pi	1	ni	50	npi	50				npi		0,68
		i 1		i 1		i 1			i 1		npi

1. 2 выб 0,68

2. Найдем число степеней свободы: r =k-1-l (k(число интервалов)=4, l(число неизвестных параметров)=2) r=1.

3.	Найдем порог испытания 2(r )	2(1) 2,71(квантиль распределения 2 .
	1	0,9
4.	Строим критическую область:	Область	f 2 (x)
		Область	f 2 (x)
		принятия	Критическая
			Критическая
		Но	область
		Но

0,68

2,71

Правило принятия решения: Т.к. 2 выб (0,68<2,71), то гипотезу на уровне значимости =0,1 принимаем.

Стр. 141

Задача 2 (Биномиальное распределение см. задачу №14 «Точечные оценки»)

А – шкатулка с деньгами была отгадана. Р(А)=р. Была получена оценка р* 1/ 3 (n=20). Но: проверить гипотезу о биномиальном распределении на уровне значимости=0,1 (неизвестен один параметр, т.е. l=1).

Составим таблицу:

№	хi	pi		ni			n pi			(ni npi )2
											npi

1	0	(1 р)3 0,343		6			6,86		0,1

2	1	3p(1 p)2	0,441	9			8,82		0,0037

3	2	3p2 (1 p)	0,189	4			3,78		0,1
								4,32
						5		4,32

4	3	p3 0,027		1			0,54



		4		4			4			k	(ni	npi )	2
		pi 1		ni	20		npi	20			(ni	npi )		0,2
		pi 1		ni	20		npi	20				npi		0,2
		i 1		i 1			i 1			i 1		npi

1. 2 выб 0,2

2. Найдем число степеней свободы: r =k-1-l (k(число интервалов)=3, l(число неизвестных параметров)=1) r=1.

3.	Найдем порог испытания 2(r )	2(1) 2,71(квантиль распределения 2 .
	1	0,9
4.	Строим критическую область:	Область	f 2 (x)
		Область	f 2 (x)
		принятия	Критическая
			Критическая
			область

0,2

2,71

5.Правило принятия решения: Т.к. 2 выб (0,2<2,71), то гипотезу о биномиальном распределении на уровне значимости =0,1 принимаем.

Стр. 142

Задача 3 (Распределение Пуассона см. задачу №15 «Точечные оценки»)

Была получена точечная оценка параметра : * 1,61( хi - количество ошибок в одном пакете) при n=100 (неизвестен один параметр, т.е. l=1).

: на уровне значимости =0,1 проверить гипотезу о том, что Х – имеет распределение Пуассона.

Составим таблицу:

№	хi	pi					ni		n pi				(ni npi )2
														npi

1	0	е		0,2			22		20			0,2

2	1	е 0,32					30		32			0,125

3	2		2				25		26			0,038
3	2			е		0,26	25		26			0,038
				е		0,26
		2!

4	3		3				15		14			0,07
4	3			е		0,14	15		14			0,07
				е		0,14
		3!

5	4		4				5		5,6			1,125
5	4			е		0,056	5		5,6			1,125
				е		0,056
		4!

								8			8
6	5		5				2	8	1,8		8
				е	0,018
				е	0,018
		5!

7	6		6				1		0,6
7	6			е		0,006	1		0,6
				е		0,006
		6!

		7					7		7				k		npi )	2
		pi 1					ni	100	npi	100				(ni	npi )		1,558
		pi 1					ni	100	npi	100					npi		1,558
		i 1					i 1		i 1				i 1		npi

1. 2 выб 1,558

2. Найдем число степеней свободы: r =k-1-l (k(число интервалов)=5, l(число неизвестных параметров)=1) r=3.

3.	Найдем порог испытания 2(r )	2(3) 6,25 (квантиль распределения 2 .
	1	0,9
4.	Строим критическую область:	Область	f 2 (x)
		Область	f 2 (x)
		принятия	Критическая
			Критическая
			область

1,558

6,25

Стр. 143

5.Правило принятия решения: Т.к. 2 выб (1,558<6,25), то гипотезу Но о распределении

Пуассона на уровне значимости =0,1 принимаем.

Задача 4 (дискретное равномерное распределение)

На экзамене студент отвечает только на один вопрос по одной из трех частей курса «Теории вероятности». Экзамен сдавали 60 студентов, при этом : 23 студента получили вопрос из I части, 15 студентов получили вопрос из II части, 22 студента получили вопрос из III части. Можно ли утверждать, что студент, идущий на экзамен, с равной вероятностью получит вопрос из любой части.

Проверяем гипотезу : равномерное распределение (дискретное). Пусть уровень значимости =0,1. Используем критерий 2 .

Составим таблицу:

№	хi	pi		ni		n pi			(ni npi )2
										npi

1	I	1/3		23		20		0,45
	часть

2	II	1/3		15		20		1,25
	часть

3	III	1/3		22		20		0,2
	часть

		3		3		3			k		npi )	2
		pi	1	ni	60	npi	60			(ni	npi )		1,9
		pi	1	ni	60	npi	60				npi		1,9
		i 1		i 1		i 1			i 1		npi

1. 2 выб 1,9

2. Найдем число степеней свободы: r =k-1-l (k(число интервалов)=3, l(число неизвестных параметров)=0) r=2.

3. Найдем порог испытания 2(r ) 2(2) 4,61(квантиль распределения 2 ).

1 0,9

4. Строим критическую область:

f 2 ( x)

Область

принятия

Критическая

область

1,9

4,61

5.Правило принятия решения: Т.к. 2 выб (1,9<4,61), то гипотезу Но на уровне значимости =0,1 принимаем.

Задача 5 (равномерное распределение на отрезке)

Стр. 144

Наблюдалось следующее распределение по минутам числа появлений на остановке автобуса, имеющего пятиминутный интервал движения.

Интервал в минутах	Число появлений автобуса
[0;1)	35
[1;2)	34
[2;3)	38
[3;4)	36

[4;5)	42

Проверить гипотезу о равномерном распределении (при =0,05)

0, x a

, x (a;b)

x a

: f (x) b a

F (x)

, a x b

b a

0, x (a;b)

1, x b

Примечание:

P{X ( ; )} F ( ) F ( )

b a

По предположению: a=0 и b=5

f(x)

0,2

f (x)

, x (0;5)

0, x (0;5)

0, x 0

F(x)

F (x)

,0 x 5

1, x 5

	Составим таблицу (n=185):										5

№	Границы	pi							ni	n pi		(ni npi )2
	интервалов											npi
												npi

1	[0;1]	p			1 0			0,2	35	37	4/37
		p	i					0,2
			i	5
				5

2	[1;2)	p				2 1	0,2		34	37	9/37
		p	i				0,2
			i	5
				5

3	[2;3)	p				3 2		0,2	38	37	1/37
		p	i					0,2
			i	5
				5

4	[3;4)	p				4 3		0,2	36	37	1/37
		p	i					0,2
			i	5
				5

5	[4;5]	p				5 4		0,2	42	37	25/37
		p	i					0,2
			i	5
				5

Стр. 145

5		5		5		k		npi )	2
pi	1	ni	180	npi	180		(ni	npi )		1,08
pi	1	ni	180	npi	180			npi		1,08
i 1		i 1		i 1		i 1		npi

1. 2 выб 1,08

2. Найдем число степеней свободы: r =k-1-l (k(число интервалов)=5, l(число неизвестных параметров)=0) r=4.

3.	Найдем порог испытания	2(r )	2(4)	9,49 (квантиль распределения	2 .
		1	0,95
4.	Строим критическую область:
		f 2 ( x)

Область

принятия

Критическая Но область

1,08

9,49

5. Правило принятия решения: Т.к. 2 выб (1,08<9,49), то нет оснований

отклонить гипотезу о равномерном распределении Х на [0;5].

Задача 6 (показательное распределение)

Срок службы батареек для слуховых аппаратов - это случайная величина Х. : Х – имеет показательное распределение с параметром a. Для нахождения точечной оценки параметра а была составлена группированная выборка ( ni - число работающих батареек в

течении четырех месяцев). n=200.

№Границы zi - середины ni интервалов интервалов

1	[0;4)	2	115

2	[4;8)	6	50

3	[8;12)	10	20

4	[12;16)	14	10

5	[16;20]	18	5

Используем метод моментов для нахождения точечной оценки a:

		1	5
o	x	1	zi * ni		4,8
o	x		zi * ni		4,8
		200 i 1
o	M [ X ]			1
o	M [ X ]			а
				а
o	Составляем уравнение : x M[X ] а* 0,208 0,2

Стр. 146

		f(x)
=0,05		0,2
=0,05
	0,2e 0,2 x , x 0
	f (x)
Ho:	0, x 0	F(x)
Ho:	0, x 0	F(x)
	0, x 0	1
	F (x) 1 e 0,2 x , x 0

	P{X } F ( ) 1 e 0,2
Примечание: P{X } 1 F ( ) e 0,2
	P{ X } F ( ) F ( ) e 0,2		e 0,2

Составим таблицу:

№	Границы		pi				ni			n pi			(ni	npi )2
	интервалов													npi
														npi

1	[0;4)		p1	1 e 0,8 0,55			115			110		0,227

2	[4;8)		p2	e 0,8	e 1,6	0,24	50			48		0,083
3	[8;12)		p2	e 1,6	e 2,4	0,12	20			24		0,66
4	[12;16)		p2	e 2,4	e 3,2	0,05	10			10		0
5	[16;∞]		p2	e 3,2	0,04		5			8		1,125
			5				5			5		5		(ni npi )	2
			pi 1				ni		200	npi	200			(ni npi )		2,1
			pi 1				ni		200	npi	200			npi		2,1
			i 1				i 1			i 1			i 1	npi

	1.	2 выб 2,1
	2.	Найдем число степеней свободы: r =k-1-l (k(число интервалов)=5, l(число
		неизвестных параметров)=1) r=3.
	3.	Найдем порог испытания 2(r )						2(3) 7,81 (квантиль распределения 2 ).
							1		0,95
	4.	Строим критическую область:

f 2 ( x)

Область

принятия

Критическая Но область

2,1

7,81

Стр. 147

5.Правило принятия решения: Т.к. 2 выб (2,1<7,81), то нет оснований отклонить

гипотезу о показательном распределении.

Задача 7 (Нормальное распределение)

Внескольких школах сделали случайную выборку школьниц (n=100) и измерили их рост. Х – рост девушек в возрасте 16 лет (см).

Была составлена следующая группированная выборка:

№Границы zi - середины ni интервалов интервалов

1	[140;144)	142	2

2	[144;148)	146	4

3	[148;152)	150	10

4	[152;156)	154	14

5	[156;160]	158	25

6	[160;164)	162	35

7	[164;168)	166	8

8	[168;172]	170	2

Выдвигается гипотеза: : X N(m; ) .

Т.к. параметры неизвестны, то найдем точечные оценки по методу моментов:

zi * ni 158,12

z 2 i * ni

25035,04

Dвыб

2 (x)2

33,1

100 i 1

Исправленная дисперсия : S 2

33,44 S 5,58

o M[X ] m [x]

x M [ X ] 158,12

o Составляем уравнение:

S 5,58

: X N(158,12;5,58)

=0,05

P{X } F ( ) 0,5 Ф( 158,12)

5,58

P{ X } Ф(

158,12

) Ф( 158,12)

5,58

P{X } 0,5 Ф(

158,12

)

5,58

Вычисляем вероятности попадания в интервал

p P{X 144} 0,5 Ф(

144 158,12

) 0,5 Ф(2,53) 0,5 0,494 0,006

5,58

Стр. 148

	o	p		P{144 X 148} Ф(							148 158,12							) Ф(2,53) Ф(2,53) Ф(1,81) 0,494 0,465 0,029
	o	p	2	P{144 X 148} Ф(							5,58							) Ф(2,53) Ф(2,53) Ф(1,81) 0,494 0,465 0,029
			2

		p3		P{148 X 152} Ф(		152 158,12									) Ф( 1,81) Ф(1,81) Ф(1,1) 0,465 0,364 0,101
		p3		P{148 X 152} Ф(											) Ф( 1,81) Ф(1,81) Ф(1,1) 0,465 0,364 0,101
											5,58
	o	p		P{152 X 156} Ф(				156 158,12							) Ф( 1,1) Ф(1,1) Ф(0,38) 0,364 0,148 0,216
	o	p	4	P{152 X 156} Ф(											) Ф( 1,1) Ф(1,1) Ф(0,38) 0,364 0,148 0,216
			4								5,58
											5,58
	o	p		P{156 X 160} Ф(			160 158,12							) Ф( 0,38) Ф(0,34) Ф(0,38) 0,133 0,148 0,281
	o	p	5	P{156 X 160} Ф(										) Ф( 0,38) Ф(0,34) Ф(0,38) 0,133 0,148 0,281
			5								5,58
											5,58
	o	p		P{160 X 164} Ф(					164 158,12								) Ф(0,34) Ф(1,05) Ф(0,34) 0,353 0,133 0,22
	o	p	6	P{160 X 164} Ф(													) Ф(0,34) Ф(1,05) Ф(0,34) 0,353 0,133 0,22
			6								5,58
											5,58
	o	p		P{164 X 168} Ф(						168 158,12						) Ф(1,05) Ф(1,77) Ф(1,05) 0,462 0,353 0,109
	o	p	7	P{164 X 168} Ф(												) Ф(1,05) Ф(1,77) Ф(1,05) 0,462 0,353 0,109
			7								5,58
											5,58
	o	p8		P{X 168} 0,5 Ф(1,77) 0,5 Ф(2,53) 0,5 0,462 0,038
	Составим таблицу

№	интервалы				pi							ni							n pi			(ni	npi )2
																							npi

1	[-∞;144)				0,006							2							0,6		0,42

2	[144;148)				0,029							4							2,9

3	[148;152)				0,101							10							10,1
3	[148;152)				0,101							10		16					10,1	13,
														16						13,
4	[152;156)				0,216							14							21,6		2,67

5	[156;160)				0,281							25							28,1		0,34

6	[160;164)				0,22							35							2		7,68

7	[164;168)				0,109							8							10,9		1,5
													10
																				14,7
8	[168;+∞)				0,038							2							3,8	14,7
8	[168;+∞)				0,038							2							3,8


					8							8							8			k	(ni npi )	2
					pi 1							ni 100							npi 100				(ni npi )		12,6
					pi 1							ni 100							npi 100				npi		12,6
					i 1							i 1							i 1			i 1	npi

1.	2 выб 12,6
2.	Найдем число степеней свободы: r =k-1-l (k(число интервалов)=5, l(число
	неизвестных параметров)=2) r=2.
3.	Найдем порог испытания 2(r )	2(2)	5,99 (квантиль распределения 2 .
	1	0,95
4.	Строим критическую область:

f 2 ( x)

Область

принятия

Критическая

область

Стр. 149

5,99	12,6

Правило принятия решения: Т.к. 2 выб (12,6>5,99), то гипотезу о нормальном распределении Х отвергаем на уровне =0,05.

Задача 8( распределение Парето)

Проводилось исследование величины доходов Х населения поселка N выше фиксированного уровня xo =3(минимальная заработная плата).

Была сделана выборка объема n=50 и составлена группированная выборка. Выдвигается гипотеза : Х – имеет распределение Парето.

Т.к. параметр неизвестен, то найдем точечную оценку, используя метод моментов.

	0, x 3
	0, x 3
f X	(x)		x	1	, x 3		f(x)
		* 3	x		, x 3



						3

		0, x 3							1
	(x)								1
FX				3				F(x)
								F(x)
		1	(		) , x 3


				x
										3

						№	Границы	zi - середины		ni
							интервалов	интервалов
								интервалов

						1	[3;3,4)	3,2		20

						2	[3,4;3,8)	3,6		15

						3	[3,8;4,2)	4,0		8

						4	[4,2;4,6)	4,4		4

						5	[4,6;5,0]	4,8		2

						6	[5,0;5,4)	5,2		1

По методу моментов найдем точечную оценку параметра :

		6
o	x	1	zi * ni		3,648
o	x		zi * ni		3,648
		50 i 1
o	M[ X ]			* 3
o	M[ X ]			1
				1
o	Составляем уравнение : x M[ X ]					x	3,648	5,6

						x 3	3,648 3

На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу :

Стр. 150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1915 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.03.2016167.42 Кб41Положение об организации контроля знаний.doc
#
02.06.2015173.57 Кб44Попова Е.П. Теория организации для логистики.doc
#
02.06.2015708.1 Кб8Пособие Political Phenomena and Issues.doc
#
02.06.2015735.61 Кб21Пособие Защита населения и тер от ЧС.docx
#
02.06.2015730.7 Кб19Пособие по БЖД.docx
#
02.06.20154.37 Mб207Пособие по математической статистике.pdf
#
02.06.20151.22 Mб151Пособие по теории вероятности.docx
#
02.06.2015119.41 Кб62пособие(финал).docx
#
26.03.20161.99 Mб13Пособие.doc
#
26.03.2016314.88 Кб21пособие_СМИ_latest.doc
#
26.03.2016852.83 Кб7Пост Пр РФ №1085 от Оценка КЗ.rtf