Пособие по математической статистике

f(x)

1/σ√

m

x

Для конкретной выборки получим числовые значения:

m*=̅≈m; *=√≈

Имеем выборку объёма «n»: (X1;X2;…;Xn);

Шаг 2

Стр. 52

Замечание 1. Если в данной выборке параметр т известен, то функция

правдоподобия зависит только от одного параметра т. Проверьте сами, что точечной оценкой этого параметра является выборочное среднее, т.е. т=̅.

Стр. 53

m

Стр. 54

§2 Решение типовых задач

ε=0,185

х

Стр. 55

Задача 3.

Пусть Х генеральная совокупность; M[X]=m= -3; D[X]=25; n=200.

1)Найти точечные оценки для математического ожидания и дисперсии (записать основные статистики)

2)Указать основные свойства этих статистик (состоятельность и несмещённость)

3)Найти математические ожидания всех статистик для данной выборки.

Решение

1)и 2) пункты приведены в таблице

Пусть генеральная дисперсия D[X]= 2

1) Доказать, что статистика ̃ а)состоятельная и б)несмещённая оценка

генеральной дисперсии

2) Найти M[ ̃ , если n1=50; n2=60; 2=49.

Решение

а)Проверим состоятельность

Заметим, что исправленные выборочные дисперсии являются состоятельными оценками, т.е. ̃ 2, ̃ 2 при n ∞ (по вероятности)

n ∞

̃ 2 (n ∞) состоятельная оценка

б)Проверим несмещённость

Заметим, что исправленные выборочные дисперсии являются несмещёнными оценками, т.е. M[̃=M[̃]= 2

Стр. 56

Х генеральная совокупность (имеем биномиальное распределение с параметром р)

Пусть в каждой серии проводилось 40 испытаний по схеме Бернулли.

1)Записать закон распределения генеральной совокупности для произвольной выборки

2)Найти оценку параметра «р» по данной выборке. 3)Для найденного значения р найти P{X=3}

Решение

1)В каждом испытании событие А появляется с вероятностью р=р(А) (р неизвестный параметр, который нужно оценить)

Х число появлений события А в «m» испытаниях Х{0;1;2;…;m}

3)Т.к. имеем большое число испытаний, то для нахождения соответствующей вероятности используем приближённую формулу Пуассона:

Х генеральная совокупность распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром .

1)Записать закон распределения по произвольной выборке.

Стр. 57

3)Для полученного значения найти P{X 2}.

Решение:

1) Пусть Х генеральная совокупность распределена по закону Пуассона с параметром .

Имеем выборку объёма «n»: (X1;X2;…;Xn); Хi {0;1;2;…}

3) P{X 2}=1-(P{X=0}+p{X=1})=1-e-2-2*e-2≈0,593

Задача7.

Х генеральная совокупность имеет геометрическое распределение. 1)Записать закон распределения по произвольной выборке.

2) Проведена выборка объёма n=400, причём ∑ =800.

Найти оценку параметра р.

3)Для найденного значения р найти p{X=3}

Решение

1) Пусть проводится серия из «n» испытаний. В каждом испытании опыты проводятся до первого появления события А, вероятность которого

р(А)=р неизвестный параметр для которого нужно найти точечную оценку.

Х число опытов в каждом испытании; Х {1;2;3;…}

Имеем выборку объёма «n»: (X1;X2;…;Xn); Хi {1;2;…}

P{X=Xi}=( ) * p

2)р*=̅ ̅= ∑ ̅= *800=2 р*=0,5

3) p{X=3}=(1-р)2*р=0,53=0,125

Задача 8

Х генеральная совокупность распределена равномерно на отрезке [a;b].

1)Записать закон распределения Х

Стр. 58

3)P{X [0;0,5]}= , √ , ≈0,067

Задача 9.

Х генеральная совокупность распределена по показательному закону с неизвестным параметром а.

1)Записать закон распределения Х.

2) Проведена выборка объёма n=200, причём ∑ =100.

Найти оценку параметра р.

3)Для найденного значения параметра «а» найти P{X>1}.

Решение

1) f(x)=[

x

F(x)

1

3) P{X>1}=1-F(1)= ≈0,135

1

x

Задача10

Х генеральная совокупность распределена по нормальному закону, причём

генеральное математическое ожидание известно m=2, но неизвестен параметр .

Стр. 60