Пособие по математической статистике

Задача 5

Х генеральная совокупность (дискретная случайная величина)

Получено следующее статистическое распределение

3.Найти предельное значение ̅ при неограниченном увеличении объёма

выборки.

Может ли при большом объёме выборки а) ̅=-2; б) ̅=1?

4.Пусть ̅ . Найти значение параметра n.

5.Для найденного n найти 1)статистический ряд; 2)полигон относительных частот;3)выборочную функцию распределения F*(x); 4)выборочную

дисперсию D*x и выборочное среднее квадратичное отклонение *х;

5)исправленную дисперсию S2и S; 6) p{-1,5≤X≤2}

Решение

1.Область допустимых значений параметра «n»

n>-1 n {0;1;2;…}

{

2.Выборочное среднее

=4*n+17

̅= ( ) ( ) ( )=

3.Предельное значение выборочного среднего.

(N ∞ n ∞)

̅= = --3/4(предельное значение для выборочного

среднего)

Покажем схему графика данной функции ,если n {0;1;2;…}

Стр. 21

̅(0)=- ≈ , ; ̅( )=-4/3≈-1,3; ̅( ) -31/25=-1,25; ̅( )= -34/29≈-1,17;

̅( )= -37/33≈-1,12; ̅( )= -55/56≈-0,96; ̅(100)= -325/417≈-0,78

Прямая ̅= -3/4 горизонтальная асимптота

̅

n

-3/4

Как видно из построенного графика , множество значений данной функции находится в интервале [-25/17; -0,75) выборочное среднее ̅≠-2; ̅≠1.

4.Нахождение параметра «n»по заданному значению выборочного среднего.

̅=-31/25 = - 25*(-3*n-25)=-31*(4n+17) 49*n=98 n=2

(Заметим, что это значение мы получили раньше при вычислении значения функции в точке n=2)

1)Статистический ряд при n=2

Стр. 22

2)Полигон относительных частот

0,4

0,2

3)Выборочная функция распределения

F*(x)

F*(x)= ,,

,

4)Выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение

По условию ̅= -31/25=-1,24

Стр. 23

S2=*DX* S2= *7,7824≈8,107; S=√ ≈2,847

Ответ: S2≈8,107; S≈2,847

6) p{-1,5≤X≤2}=p{X=0}+p{X=2}=0,12+0,08=0,2

Задача 6

Х номер учебного модуля в течении которого студенты успешно (без «допсы»)изучали математическую дисциплину. (Объём выборки n=50)

Пусть известна выборочная функция распределения.

,

F*(x)= ,,

,5

[ 5

1)Составить статистический ряд

2)Сколько студентов успешно сдали экзамен по математике во 2-ом и 3-ем модулях?

3)Построить полигон относительных частот

4)Вычислить следующие выборочные характеристики:mod; med; D*x; *x; S2; S.

5)Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию для случайной величины У=5-4Х

Решение

1)Статистический ряд

Заметим, что n=50; ni=

2)Количество студентов успешно сдавших экзамен по математике во 2-ом и 3-

ем модулях определяем из таблицы: 8+10=18

Ответ 18 студентов.

Стр. 24

3)Полигон относительных частот

0,3

0,2

0,1

x

4)Выборочные характеристики

̅=∑=3,38

S2=*DX* S2= *12,98≈13,245; S≈3,64.

Ответ: mod=4;med=3;̅ =3,38; Dx*=1.5556 ; *x≈ , S2≈13,245; S≈3,64.

5) Выборочное среднее и выборочная дисперсия для случайной величины У=5-4Х

̅=̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=5-4*̅=5-4*3,38= -8,52; D*Y=D*[5-4*X]=16*D*x=16*1,5556=24,8896.

Ответ:̅= -8,52; D*Y=24,8896

Задача 7.

Пусть Х генеральная совокупность (непрерывная случайная величина).

Стр. 25

Найти: 1) статистический ряд;

2)сколько значений случайной величины Х попали в интервал(5;13) 3)полигон относительных частот

4)выборочную функцию распределения

5)выборочные числовые характеристики: ̅; D*X; *X; S2; S

6)выборочное среднее и выборочную дисперсию случайной величины

У=7-9*Х

Решение:

1)Статистический ряд

Найдём середины интервалов zi и относительные частоты и абсолютные частоты для каждого интервала: рi*=hi.∆ (∆=4); ni=pi*.n; n=50

Стр. 26

2)Найдём число значений случайной величины Х, которые попали в интервал(5;13)

В этот интервал попадают два значения 7 и 11.

Сумма соответствующих абсолютных частот 8+16=24 ответ на данный вопрос.

3)Полигон относительных частот

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

[

4)Выборочная функция распределения

0,2

0,1

5)Выборочные числовые характеристики: ̅; D*X; *X; S2; S

̅=∑=12,76

S2=*DX*S2= *19,3024≈19,696; S≈4,43.

6)Выборочное среднее и выборочную дисперсию случайной величины У=7-9*Х

̅=̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=7-9*̅=7-9*12,76=-107,84; D*Y=D*[7-9*X]=81*D*x=1563,4944

Ответ:̅= -107,84; D*Y=1563,4944

Задача 8.

При выборочном обследовании 50 членов семей рабочих и служащих некоторого предприятия составлен полигон относительных частот.

0,20

0,18

0,16

0,14

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

1)Составить статистический ряд

2)Сколько семей имеют более 5 членов в своей семье?

Стр. 28

3)Найти статистическую функцию распределения

4)Найти выборочные характеристики: mod;med; ̅; D*X; *x; S2; S.

5)Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию случайной величины У=0,5-0,1*Х.

Решение:

1)Статистический ряд

n=50;ni= . n

2)Число семей, которые имеют более 5 членов семьи , соответствуют числам 6;7;8;9, сумма соответствующих частот: 8+6+4+1=19

Ответ 19

3)Статистическая функция распределения

0,1

4)Выборочные характеристики

Выборочная мода: mod=4 (на полигоне относительных частот это точка

максимума)

Стр. 29

S2=*DX* S2= *3,7744≈ ,8514; S≈ ,96.

Ответ: mod=4; med=8; ̅=4,84; Dx*=3,7744; *x≈ .9 S2≈ ,8514; S≈ ,96

5)Выборочное среднее и выборочная дисперсия случайной величины У=0,5-0,1*Х

̅=̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, , =0,5-0,1̅=0,5-0.1*4,84=0,016

D*Y=D*[0,5-0,1X]=0,01D*X=0,01*3,7744=0,037744

Отв т:̅=0,016; D*Y=0,037744

Стр. 30