Пособие по математической статистике

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

- квантиль порядка

.pdf

Скачиваний:

214

Добавлен:

02.06.2015

Размер:

4.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

Задача 4

(Построение доверительного интервала для σ при неизвестном m)

Дано:

X N(m, )

o m - неизвестно;

- уровень значимости;

( X1, X2 , Xu ,...) -случайная выборка

Найти:

доверительный интервал для 2

(для ):

P{ 2

( 1, 2 )} 1

P{ ( 1, 2 )} 1

Ответ:

доверительный

интервал

для 2

( )

P{ 2 (

(n 1)S 2

)} 1

(n 1)

X i

∑ (

̅)

n i

где

n 1S

P{ (

)} 1

(n 1)

2 (n 1)

(n 1)

(несмещенная оценка дисперсии);

где

- квантиль порядка

распределения 2

с n 1 степенями

свободы;

(n 1) -

квантиль порядка

распределения 2 с n 1 степенями свободы

Задача 5 (Доверительный интервал для вероятности успеха в распределении Бернулли) Дано:

o Проведено n испытаний. Успех А произошел ровно m раз. o P( A) P* ( P* неизвестно);

o – уровень значимости;

o P* - вероятность успеха в одном испытании.

Найти:

o доверительный интервал для P* : P{P* ( 1, 2 )} 1

										U1
		*	( , )} 1 , где U		(1 )	,	m			U1
	Ответ: P{P		( , )} 1 , где U		n	,	n	;	где		2	-
			1		n		n
				2
		1
квантиль порядка		1	2 ,

Задача 6

(Доверительный интервал для параметра λ распределения Пуассона)

Дано:

Стр. 171

o	X распределена по закону Пуассона с параметром ;						неизвестно.
		P{X	k}	k
						e , k 0,1, 2,..
				k !
o						- определение закона Пуассона

o	Проведено n испытаний;
o	( X1, X		2 , X u ,...)		- выборка

o	- уровень значимости.

Найти:

o доверительный интервал для параметра : P{ ( 1, 2 )} 1

Ответ: P{ ( X , X )} 1 , где

2 ,

Задача 7

(Доверительный интервал генеральной доли p* , нормально распределенной

генеральной совокупности при большом объеме выборки (собственно – случайный

повторный отбор)

Дано:

n - объем выборки

n - выборочная доля

p* - генеральная доля

Найти:

доверительный интервал для p* : P{p* ( 1, 1)} 1

( , )}

1 , где =U1-

Ответ: P{P

∙

√

∙(

)

;

где

2 - квантиль порядка

2 ,

Задача 8

(Доверительный интервал генеральной доли

нормально распределенной

генеральной совокупности по

выборочной доле

при

большом

объеме выборки

(собственно – случайный бесповторный отбор)

Дано:

o X N(mx , x )

n - объем выборки

N - число элементов из которых производится выборка

Найти:

o P{p* ( 1, 1)} 1

Стр. 172

Ответ: P{ p* ( , )} 1 , где =U1- /2∙

√ ∙( )∙( )

Замечание:

o Если объем выборки маленький ( n 30 ), то для решения Задачи 7 имеем

t(n 1)

(1 )

следующий интервал: P{P

( , )} 1

, где

n 1 ,

(n 1)

2 -

квантиль распределения

Стьюдента

порядка

2 с

числом

степеней свободы k n 1

o Для решения Задачи 8 при n 30 имеем следующий интервал:

t(n 1)

(1 ) (1

)

P{P

( , )} 1

n 1

, где

1 2

Критерием значимости для параметров гипотез (k) – называется правило,

по которому, на основании выборки, можно сделать вывод: принимать гипотезу или не принимать.

Статистикой критерия k называют СВ z (X1 , X 2 ,...X n ) , по значениям

которой можно применить это правило.

Ошибкой I рода называется ситуация, когда была принята альтернативная гипотеза, хотя была справедлива гипотеза Но (нулевая). Вероятность совершения ошибки I рода: P(H1/ Ho) P{Zвыб Vкр / Но} . Эта формула означает, что

гипотеза Но отвергается с вероятностью , хотя она была верна.

Ошибкой II рода называется ситуация, когда была верна альтернативная гипотеза, а приняли гипотезу Но (нулевую).Вероятность совершения ошибки II рода: P(Hо / H1) P{Zвыб ОПР/ Н1} . Эта формула означает, что принимается

гипотеза Но с вероятностью , хотя верна гипотеза Н1.

(ni npi )

Распределение 2 (r)

, где r – число степеней свободы

npi

i 1

О числе степеней свободы r

Аргументами статистики 2

являются

частоты n1,n2,…nk (n1+n2+…+nk=n). По

теореме Пирсона число степеней свободы (в случае, когда все параметры распределения известны) равно r=k-1. Однако Фишер в своей теореме доказал, что если l - это число

неизвестных параметров, то случайная величина 2 имеет число степеней свободы

r=k-1-l (число степеней свободы уменьшается, т.к. на частоты накладываются дополнительные условия).

Стр. 173

ПРИЛОЖЕНИЯ

Статистические

таблицы

Стр. 174

Понятие о квантилях

Пусть Х – это непрерывная случайная величина. F(x) = P{Х<x} – функция распределения СВ X. ƒ (x) – функция плотности

Число Xp называется квантилью порядка «P», если Xp – корень уравнения F(x)=P,

т.е.

P { X < xp }=P.

F(Xp)=P

Как найти интервал, вероятность

попадания в который нам известна?

o	P { χp		2	< x < χp		} = P0
			2		1
o	F(χp	) - F(χp			) = P0
	1			2
o	F(χp	) = P1
	1
o	F(χp	) = P2
	2

Если в таблице приведены значения функции F(x), то Xp = F-1(P). Есть таблицы квантилей основных распределений норм. распределения Стьюдента, χ2.

Гамма-функция Эйлера

				k
a		X			1 e- xdx ,	a 0
				2
1	0		2 1
	1;
k 1 k!
1
			π


2

Стр. 175

Основные распределения в статистике

1. Распределение χ2 с «k» степенями свободы

Определение: Распределением χ2 с «k» степенями свободы называется распределение

случайной величины, обозначаемое χ2(k): 2 k U12 U 22 U k2 ,

г де U i 0,1 , где

СВ U i

независимые стандартные нормальные случайные величины.

Плотность распределения:

0, x 0

k 2

e 2

, x 0

k 2

M[ 2 k ] k;

D[ 2 k ] 2k

[ 2 k ] k 2

Теорема

Пусть χ – генеральная совокупность.

N(m, ) ;

Y ( 1 , 2 , , n ) – выборочная

совокупность:

– выборочное среднее

n i 1

S 2

( i

x)2 – исправленная выборочная дисперсия

n 1 i 1

S 2 – независимые случайные величины, причем статистика

Тогда статистики и

n 1

S 2

( 2 D[x])

имеет распределение

2 (n 1) , т.е.

2 (n 1)

(n 1)

S 2

Стр. 176

Замечание 1

Если 2 (k1 ) и 2 (k2 ) – независимые случайные величины, имеющие распределение

2 с "k " и

" степенями свободы, то их сумма имеет тоже распределение

2 с "k

степенями свободы 2 k

2 k

Замечание 2

Распределение 2 (k) при

больших

k (k 30) с достаточной

для

практических

расчетов точностью аппроксимируется нормальным распределением.

(up

p2 (k)

2k 1)2 ,

k 30, p 0,5

Квантиль порядка p

распределения 2 (k)

N(0,1)

(относительная погрешность ≈ 1 %)

p2 (k) k 1

, k 30 , p 0,5

2. Распределение Стьюдента с “k” степенями свободы

Пусть

u N 0,1 ,

2 k

k N – независимые случайные

величины. Тогда

случайная величина k

имеет распределение Стьюдента с “k” степенями

свободы (t – распределение с “k” степенями свободы); (Стьюдент – псевдоним английского математика В. Госсета)

k 1

, x ,

M k 0

D k

k 2

Стр. 177

Замечание: Ïðè k 30	tp k up
Сравнительная таблица

k	10	20	30	50

t0,75	0,700	0,687	0,683	0,679

t0,95	1,813	1,725	1,697	1,676

u p	квантили
	квантили
	N(0, 1)

0,674

1,645

t0,99	2,763	2,528	2,457	2,403	2,326

квантили

t-распределение

f			1	e x2	2
	k

		k	2

3. Распределение Фишера с "k1" и "k2 " степенями свободы

Распределением Фишера с "k1" и "k2 " степенями свободы называется распределение случайной величины F(k1 , k2 ) , которая определяется формулой:

Стр. 178

			2 k1													2 k								2 k	2
F(k1 , k2 )										k1			, где				1		k		и				2	k	2	– независимые случайные величины
F(k1 , k2 )													, где						1		и							– независимые случайные величины
			2 k					2											1
			2 k					2
										k2
					0 ,						x 0
					k1			k2													k1	1
					k1			k2									k		x		2	1
																	1		x
f F x									2						k1		2								, x 0
f F x									2						k1		2						k k		, x 0
			k																				2
			k							k k													2	2
																							1	2
				1									2	2						k1
																				k1

					2							2						1		k
					2							2								k	2
																					2
M F		k2					,			k2			2
M F							,			k2			2
	k2 2
Связь между квантилями порядка p и 1-p
F1 p k1 , k2									1

						Fp		k1 , k2
						Fp		k1 , k2

Замечание:

Обычно таблицы квантилей составляются для p ≥ 0,5. Для меньших p (p < 0,5)

Стр. 179

Таблица 1. Равномерно распределенные случайные числа

98 52 01 77 67	14 90 56 86 07	22 10 94 05 58	60 97 09 34 33	50 50 07 39 98
11 80 50 54 31	39 80 82 77 32	50 72 56 82 48	29 40 52 42 01	52 77 56 78 51
83 45 29 96 34	06 28 89 80 83	13 74 67 00 78	18 47 54 06 10	68 71 17 78 17
88 68 54 02 00	86 50 75 84 01	36 76 66 79 51	90 36 47 64 93	29 60 91 10 62
99 59 46 73 48	87 51 76 49 69	91 82 60 89 28	93 78 56 13 68	23 47 83 41 13

65 48 11 76 74	17 46 85 09 50	58 04 77 69 74	73 03 95 71 86	40 21 81 65 44
80 12 43 56 35	17 72 70 80 15	45 31 82 23 74	21 11 57 82 53	14 38 55 37 63
74 35 09 98 17	77 40 27 72 14	43 23 60 02 10	45 52 16 42 37	96 28 60 26 55
69 91 62 68 03	66 25 22 91 48	36 93 68 72 03	76 62 11 39 90	94 40 05 64 18
09 89 32 05 05	14 22 56 85 14	46 42 75 67 88	96 29 77 88 22	54 38 21 45 98

91 49 91 45 23	68 47 92 76 86	46 16 28 35 54	94 75 08 99 23	37 08 92 00 48
80 33 69 45 98	26 94 03 68 58	70 29 73 41 35	53 14 03 33 40	42 05 08 23 41
44 10 48 19 49	85 15 74 79 54	32 97 92 65 75	57 60 04 08 81	22 22 20 64 13
12 55 07 37 42	11 10 00 20 40	12 86 07 46 97	96 64 48 94 39	28 70 72 53 15
63 60 64 93 29	16 50 53 44 84	40 21 95 25 63	43 65 17 70 82	07 20 73 17 90

61 19 69 04 46	26 45 74 77 74	51 92 43 37 29	65 39 45 95 93	42 58 26 05 27
15 47 44 52 66	95 27 07 99 53	59 36 78 38 48	82 39 61 01 18	33 21 15 94 66
94 55 72 85 73	67 89 75 43 87	54 62 24 44 31	91 19 04 25 92	92 92 74 59 73
42 48 11 62 13	97 34 40 87 21	16 86 84 87 67	03 07 11 20 59	25 70 14 66 70
23 52 37 83 17	73 20 88 98 37	68 93 59 14 16	26 25 22 96 63	05 52 28 25 62

04 49 35 24 94	75 24 63 38 24	45 86 25 10 25	61 96 27 93 35	65 33 71 24 72
00 54 99 76 54	64 05 18 81 59	96 11 96 38 96	54 69 28 23 91	23 28 72 95 29

Стр. 180

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.06.2015173.57 Кб48Попова Е.П. Теория организации для логистики.doc
#
01.05.2025116.69 Кб0ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ КР ЭО.docx
#
02.06.2015708.1 Кб9Пособие Political Phenomena and Issues.doc
#
02.06.2015735.61 Кб25Пособие Защита населения и тер от ЧС.docx
#
02.06.2015730.7 Кб19Пособие по БЖД.docx
#
02.06.20154.37 Mб214Пособие по математической статистике.pdf
#
02.06.20151.22 Mб166Пособие по теории вероятности.docx
#
02.06.2015119.41 Кб73пособие(финал).docx
#
26.03.20161.99 Mб15Пособие.doc
#
26.03.2016314.88 Кб24пособие_СМИ_latest.doc
#
26.03.2016852.83 Кб11Пост Пр РФ №1085 от Оценка КЗ.rtf