Пособие по математической статистике

хi 80 85 90 100 110 130

Задача 29

В течение года некоторой организацией (сфера обслуживания) было нанято 20 студентов на работу. В данной организации имела месть высокая «текучесть» кадров

– студенты долго не задерживаются на рабочих местах. Время (период) работы студентов подчиняется показательному закону с параметром а. По итогам года HRспециалист составил на основе собранных данных статистический ряд, где Х – период работы студентов( в месяцах).

По данной выборке оценить параметр а , P{X>0,5}.

Задача 30

Сотрудники правоохранительных органов проверяют партию товара на наличие контрабанды дисков. 40 опытов по 5 независимых испытаний проводятся. А- ящик с контрабандой. Р(А)=р. m=5; n=40. (Распределение Бернулли).

По данной выборке оценить параметр р , найти P{X>1)

Задача 31

(Распределение Бернулли): В непрозрачном пакете находятся шары с четными и нечетными номерами (количество четных номеров соответствует количеству нечетных). Пятнадцать дней подряд (n=15) по три раза в день (m=3) игроку предлагают вытащить из пакета один шар. Если он вытаскивает шар с четным номером, то получает определенную денежную сумму. Если с нечетным, то не получает ничего. А – игрок вытянул четный номер. Х число вытянутых чётных

шаров.

Оценить р(А)=р , а также найдите k * (наивероятнейшее число) и P{x 1}

Задача 32

Имеется 5 карточек с различными символами. Во время каждого опыта игрок перемешивает карточки и произвольным образом вытаскивает одну. Опыты проводятся до первого появления карточки с символом «+». Всего запланировано 10 серий (n=10). X – число опытов. А – выпадение символа «+».

Оценить р{A}=р .

Стр. 91

Найти р{x>4}.

Задача 33

Известно, что доход сотрудника страховой компании подчиняется закону распределения Парето. Минимальный доход равен 150 у.е. Чтобы определить, окажется ли доход от сделки с перспективным клиентом в пределах от 150 до 210 у.е., сотрудник использовал статистическую таблицу, которая была составлена по данным его работы в компании на основании 20 сделок. Х – доход сотрудника.

Оцените параметр , найдите Р{150<X<210}.

Задача 34

В течение определенного времени в рекрутинговой компании ведется статистика: сколько времени уходит у сотрудников компании на поиск работодателя для клиента. Период (время) поиска работы подчинялось показательному закону с параметром а. По итогам работы с 20 клиентами был составлен статистический ряд. Х - время поиска работы для 1 клиента (в неделях).

Оцените параметр а и найдите Р{X<1,4}.

Задача 35

Известно, что количество людей, посетивших круглосуточный книжный магазин в ночное время, подчиняется нормальному закону. Для того, чтобы оптимизировать расписание работы персонала, руководство вело наблюдение посещаемости магазина в ночное время в течение 20 дней. Необходимо выяснить, будет ли количество посетителей находиться в пределах от 250 до 500 человек. Х N (m; ). X – количество посетителей в ночное время. Оцените неизвестные параметры m и , найдите Р{250<X<500

Стр. 92

Задача 37

В обязанности контролера на конвейерной линии входит проверка комплектации упаковок с карандашами. В день контролер проверяет 500 коробок. На основании данных, представленных в таблице, определите вероятность того, что контролер обнаружит меньше 6 несоответствий в коробке. Распределение Пуассона: Х – число возможных ошибок в комплектации коробки. Оцените параметр ..

Задача 38

Известно, что случайные ошибки каких-либо измерений подчиняются нормальному распределению. Была исследована группа из 100 студентов, которые проводили некоторые измерения, после чего составили таблицу, с указанием совершенных ими ошибок. Х – число ошибок в измерении.

Оцените параметры m и , найдите Р{3<X<6}..

Задача 39

Прожиточный минимум в некоторой стране составляет 3 тысячи рублей. Известно, что ожидание доходов населения выше прожиточного минимума подчиняется распределению Парето. Было опрошено 50 человек (жителей) этой страны и составлена следующая таблица, Х – величина дохода.

Оцените параметр , найдите Р{3<X<3,9}.

Задача 40

Тренер автогонщиков предположил, что время прохождения гонщиком трассы распределяется равномерно в интервале (a;b), и решил вести учет времени, за которое его ученики проходят кольцевую трассу длиной 2 километра. В течение нескольких дней он вел статистику заездов и записал 25 результатов, затем составив таблицу. Х – время заезда в минутах. По данной выборке оценить параметры a и b, P{X<1,5}.

Стр. 93

Задача 41

Время, в течение которого работники организации досконально помнят содержание должностной инструкции, подчиняется показательному закону с параметром а. В течение нескольких месяцев тестировали 30 работников, и была составлена статистическая таблица.

По данной выборке оценить параметр а, P{X>1}, составить схемы графиков f(x)

и F(x).

Задача 42

В течение года цены на автомобиль некоторой марки подчинялись нормальному закону. Для определения вероятности прогноза, что цена на автомобиль будет в пределе от 20 до 30 тысяч евро, провели статистическое исследование и составили таблицу. Х – цена за машину (тысяч евро).

Оцените параметры m и , найдите Р{20<X<30}.

Задача 43

Молодой человек предположил, что время ожидания его девушки распределено равномерно в промежутке (a;b). В течение 20 дней он вел записи времени появления девушки. Был составлен статистический ряд. Х – время прихода девушки (в минутах). Оцените параметры a и b (метод моментов Пирсона), найдите Р{X<2}.

Задача 44

В турфирме должны проверить 50 комплектов документов для подачи их в посольство. Х – число возможных ошибок в документе. После проверки была составлена статистическая таблица (распределение Пуассона). Оцените параметр

Стр. 94

Задача 45

По данной выборке

Найти 1)оценки параметров 1 и 2; 2) ряд распределения; 3) P{X (-0,5; 2]}

Задача 46

Абитуриент сдает экзамены в 18 ВУЗов. В каждый ВУЗ он сдает по 3 экзамена. А – сданный экзамен, Х – число сданных экзаменов.

Оцените по данной выборке вероятность р(А) , р{X 2}. ).

Задача 47

Геометрическое распределение: бросают игральный кубик. Опыты проводятся до выпадения «4». Всего проводится 15 испытаний. Оцените параметр р (метод моментов Пирсона). Определите вероятность того, что «4» выпадет меньше, чем с 3 раза

Стр. 95

Ответы и указания к задачам §3

Задача2.

= -0,06

Задача3

3)M[̅]= 2,5; M[D*X]= *16=15,84; M[S2]=16; M[S02]=16

Задача4

.M[Z]=25

Задача 5.

р*=0,1; P{X=4}≈0,175

Задача 6.

*=3; P{X 3}≈0,577

Задача 7.

р*=1/3; P{X=4}=8/81≈0,099

Задача 8

a*=1-√ ; b*=1+√

P{X [0;4]}≈0,7

Задача 9. a*=3; P{X 2}≈0,02

Задача 10

*=1; P{ X-m 0,5}=0,38292

Задача 11

m*= -2; P{ X-m 1,5}=0,54674

Задача12

m*= -2; *=1; P{ X-m 0,4}=0,31084

Задача 22

a*=0,58; b*=18;P{X 10}=0,53

Задача 23

а*=1,72; P{X>1}=0,179

Задача 24

1*=0,26; 2*=-0.22

Задача 25

Стр. 96

λ*=1,28

Задача 26 m*=34,1; *=7,48

Задача 27

*=0,72; P{5 X 13}=0,85

Задача 28 m*=95,5; *=14,9

Задача 29

*=0,72; P{X>0,5}=0,72

Задача 30

p*=0,315; P{X>1}=0,845

Задача31

p*=0,4; P{X≤1}=0,648; k*=1

Задача 32

p*=5/28; P{X>4}=0,88

Задача 33

*=0,194; P{150 X 210}=0,93

Задача 34 a*=0,599; P{X 1,4}=0,43

Задача 35

m*=339; *=113,31; P{X (250;500)}=0,7

Задача 36

1*=0,346; 2*=0,086

Задача 37

*0,554; P{X 6}=0,99998

Задача 38

m*=4,53; *=1,49; P{3 X 6}=0,677

Задача 39

*=7,122; P{3 X 3,9}=0,846

Задача 40

a*=1,339; b*=1,865; P{X 1,5}=0,465

Задача 41

a*=0.79; P{X>1}=0,45

Задача 42

m*=22,5; *5,27; P{20 X 30}=0,8

Задача 43

a*=0,35; b*=4,15; P{ 2}=0,43

Задача 44

*=1,36

Задача 45

1*=0,56; 2*= 0,112

Задача 46 p*=0,5; P{X≤2}=0,875

Задача 47 p*=0,144; P{X 3}=0,75

Стр. 97

Глава 3.Интервальное оценивание числовых характеристик и параметров распределения генеральной совокупности.

Точечные оценки , рассмотренные в предыдущей главе, хотя и являются численными, не дают всей желательной информации об оцениваемых генеральных характеристиках. Теория интервальных оценок связывает точечную оценку с объёмом выборки и вырабатывает показатели её точности и надёжности.

§1. Основные понятия и формулы.

Доверительный интервал. Точность и надёжность оценки.

Пусть —неизвестная числовая характеристика или параметр генерального

распределения.

Опрелеление.1. Если выполняется соотношение : p{ 1< < 2}= , то интервал

( 1; 2)называется доверительным интервалом., который покрывает неизвестную

генеральную характеристику с доверительной вероятностью . Замечание. 1= 1(х1;х2; .;xn) и 2= 2(х1;х2; .;xn)—известные функции выборочной

совокупности, т.е. статистики. В данной выборке это числовые значения.

Статистики 1 и 2 являются точечными оценками . Одна даёт левую, а другая —правую границы, между которыми содержится с вероятностью .

Число называется также надёжностью, с которой доверительный интервал накрывает

.

Число =1- называется уровнем значимости.

Половину длины доверительного интервала = ( 2- 1) называют точностью

доверительного оценивания.

Определение 2.Пусть известна одна точечная оценка ̂ генеральной числовой характеристики или параметра распределения .

Если выполняется соотношение: P{| -̂|< }= , то число называется точностью, а число—надёжностью оценки ̂ генеральной числовой характеристики .

Как находить и , строить доверительный интервал для практически наиболее важных

P{ ( 1, 2 )} .

Стр. 98

Схема решения задачи

1.Находим точечную оценку параметра (это статистика или СВ

(x1, x2 , x3 ,.., xu ) )

2.Подбираем статистику Z Z ( ; ) , так чтобы выполнялись условия:

Закон распределения Z известен, но функция распределения или

функция плотности не содержатся в задании .

Чаще всего будем использовать следующие распределения:

1)N (0,1) - нормальное стандартное распределение.

2) 2 (k) - распределение ХИ квадрат, имеющее k степеней свободы.

Стр. 99

3) Распределение Стьюдента, имеющее k степеней свободы (при k 30

T (k) U (0,1) )

Функция Z Z ( ; ) строго монотонна и непрерывна по параметру .

Это означает, что можно однозначно выразить g(Z, )

3.Пусть схематично изображены графики функции плотности ( fz (x) ) статистики Z и функции распределения ( Fz (x) ).

Стр. 100