matan_baza
.pdf
нет, функция g(x) не определена при x 0;1 нет, функция g(x) недифференцируема на (0;2)
20. Если функция y=f(x) дифференцируема в интервале (a;b) , то для возрастания f(x) в (a;b) необходимо и достаточно, чтобы для всех x (a;b)
выполнялось f (x) 0
f (x) 0
f (x) 0 f (x) 0
21. Если функция y=f(x) дифференцируема в интервале (a;b) , то для убывания f(x) в (a;b) необходимо и достаточно, чтобы для всех x (a;b)
выполнялось f (x) 0
f (x) 0 f (x) 0
f (x) 0
22. Дана функция f (x) 2x4 x3 1, тогда х=0 является точкой минимума функции f(x)
x 83 является точкой минимума функции f(x)
функции f(x) не имеет экстремумов
x 83 является точкой максимума функции f(x)
23. Функция f (x) |
x3 |
4x |
|
3 |
|||
|
|
||
возрастает на ; |
|
||
возрастает на (–2:2) возрастает на ; 2 2;
возрастает на [–1;2]
24. Функция f (x) |
x3 |
4x |
|
3 |
|||
|
|
убывает на (–2:2) убывает на ;
убывает на [– ;2)
убывает на ; 2 2;
25. Функция f (x) 23
x 3 выпукла на интервале ( ;3)
вогнута на интервале (3; ) выпукла на интервале (3; ) вогнута на интервале (3;5)
26. Пусть функция y=f(x) непрерывна в (a;b), x0 – внутренняя точка этого промежутка и f (x0 ) 0 (или f (x0 ) не существует), то
x0 – обязательно точка минимума x0 – обязательно точка максимума x0 – обязательно точка перегиба
в точке x0 экстремум может существовать, а может и не существовать
27. К функции y=f(x) на отрезке a;b теорема Ролля применима, если f(x) непрерывна на a;b , дифференцируема в (a;b) и f(a)=f(b)
f(x) непрерывна на a;b и f(a)=f(b) f(x) дифференцируема в (a;b)
f(x) непрерывна в (a;b), дифференцируема в (a;b) и f(a)=f(b)
28. Из теоремы Лагранжа следует, что
любая касательная к графику функции f(x) в (a;b) параллельна хорде, стягивающей концы дуги f(x) на отрезке a;b
касательная к графику функции f(x) в (a;b) параллельна любой хорде в этом интервале
хорда, стягивающая конца дуги f(x) на a;b , параллельна оси OY
в интервале (a;b) найдется касательная, параллельная хорде, стягивающей |
|||
концы дуги f(x) на отрезке a;b |
|
||
29. |
Если точка x0 |
является точкой перегиба графика f(x) |
с вертикальной |
касательной, то |
|
|
|
f (x0 ) 0 |
|
|
|
f (x0 ) |
|
|
|
f (x0 ) 0 и f (x0 ) 0 |
|
||
f (x0 ) |
|
|
|
30. |
Если точка x0 |
является точкой перегиба графика f(x) |
с наклонной |
касательной, то |
|
|
|
f (x0 ) |
|
|
|
f (x0 ) 0 и f (x0 ) 0 |
|
||
f (x0 ) 0 |
|
|
|
f (x0 ) |
|
|
|
31. |
Точка x0 называется точкой перегиба графика f(x) с горизонтальной |
||
касательной, если
f (x0 ) 0 и f (x0 ) 0
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 ) 0
32. Применима ли теорема Ролля к функции f (x) 3 
2 x на отрезке
[0;2]
да, с=2
нет, функция f(x) не определена при x [0;2] нет, функция f(x) не дифференцируема в (0;2)
нет, f (0) f (2)
33. Применима ли теорема Лагранжа к функции f (x) 2 
1 x на
отрезке [–1;0]
нет, функция f(x) разрывна на [–1;0] применима
нет, функция f(x) не дифференцируема в (–1;0)
нет, f ( 1) f (0)
34. Точками перегиба функции |
y |
x 4 |
6x 2 |
являются |
||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки x1 2 3 и x2 2 |
3 |
|
|
|
|
|||||||
только точка х=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
точки x1 2 и x2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
у функции y |
x 4 |
|
6x 2 |
нет точек перегиба |
|
|||||||
|
|
|||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
35. Применима ли теорема Коши к функциям f (x) 2x 1 и g(x) 3
x 2
на отрезке [0;3]
нет, функция g(x) не дифференцируема в (0;3) и g (x) 0 в (0;3)
да, с=3
нет, функция g(x) разрывна на [0;3] нет, g(x) не дифференцируема в (0;3)
36. |
|
Функция |
y |
x 4 |
|
x3 |
имеет точку перегиба с горизонтальной |
|
|||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
касательной в точке |
|
|
|||||
(2;–2) |
|
|
|
|
|
||
(0;–3) |
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
(0;0)
37. По правилу Лопиталя предел |
lim |
1 cos 3x |
равен |
|||||
5x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
x0 |
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
9 |
|
|
|
|
||
10 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
9 |
|
|
|
|
|
|||
10
38. Функция y x3 2x возрастает только при x (0; )
x ( 3;2)
x ( ; ) x ( ;0)
39. |
|
Кривая y x4 3x2 5 вогнута при |
|||||||||||||||||||
x ( ; ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
||||||||||||
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3; |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
40. Функция y 1x x убывает при
x( 1;1)
x( 1;0) 0;1
x ( ; 1) 1; x ( ;0) 0;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
41. |
|
При неопределенностях |
|
|
|
или |
|
||||||||||||
lim |
f x g x lim f |
x g |
x |
|
0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x x0 |
|
f x |
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
lim |
f |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
g x |
|
g |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x x0 |
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x g x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim f x g x lim f |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
f x |
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
lim |
|
f x g x |
f x g |
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
g x |
|
|
|
|
|
g 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x x0 |
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
e4 x 1
42. По правилу Лопиталя lim равен x 0 ln 1 5x
1
5
– |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
43. |
Функция y f x называется возрастающей в интервале a;b , если |
|||||||||||
для любых x1 a;b и x2 |
a;b |
|||||||||||
из x1 |
x2 |
следует |
f x1 |
|
f x2 |
|
||||||
из x1 |
x2 |
следует |
f x1 |
|
f x2 |
|
||||||
из x1 |
x2 |
следует |
f x1 |
|
f x2 |
|
||||||
из x1 |
x2 |
следует |
f x1 |
|
f x2 |
|
||||||
cos 3x
44. По правилу Лопиталя lim равен
x 2x
2
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
45. |
|
Функция y f x называется убывающей в интервале a;b , если для |
|||||||||||
любых x1 a;b и x2 a;b |
|
|
|
|
|||||||||
из x1 |
x2 |
следует |
f x1 |
f x2 |
|
|
|
|
|||||
из x1 |
x2 |
следует |
f x1 |
f x2 |
|
|
|
|
|||||
из x1 |
x2 |
следует |
f x1 |
f x2 |
|
|
|
|
|||||
из x1 |
x2 |
следует |
f x1 |
f x2 |
|
|
|
|
|||||
46. |
|
По правилу Лопиталя lim |
ctg 2x |
равен |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
tg 4x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
1
0
|
1 |
|
на отрезке 2;2 |
|
47. Применима ли теорема Ролля к функции |
f x |
|
|
|
x 2 1 |
||||
да, так как f 2 f 2 |
|
|
|
|
да, так как f x непрерывна на отрезке 2;2 и f 2 f 2
да, так как f x непрерывна на отрезке 2;2 , дифференцируема в 2;2
и f 2 f 2
нет, не выполняется условие непрерывности
48. Абсциссы точек перегиба функции f x 2x4 4x2 3 равны
1
1 и 0
13
1
3
49. Применима ли теорема Лагранжа к функции f x 3 
x2 на отрезке
1;1
нет, функция недифференцируема в 1;1 да, так как f 1 f 1
да, функция непрерывна на 1;1 и f 1 f 1
да, функция непрерывна на 1;1 , дифференцируема в 1;1 и f 1 f 1
50. Условие f x0 0 , f x0 0 является условием
минимума
вогнутости
максимума
убывания
51. Условие f x0 0 , f x0 0 является условием
максимума
выпуклости
возрастания
минимума
Тема: 8. Применение дифференциального исчисления в экономических исследованиях
1.Функция f(x) в интервале ( a , b) убывает все быстрее, если f (x) 0, f (x) 0
f (x) 0, f (x) 0 f (x) 0, f (x) 0 f (x) 0, f (x) 0
2.Функция f(x) в интервале (a, b) возрастает все медленнее, если f (x) 0 , f (x) 0
f (x) 0 , f (x) 0 f (x) 0, f (x) 0
f (x) 0 , f (x) 0
3.Эластичность функции y = f(x) определяется по формуле
E |
|
( y) |
|
y |
y |
|||||
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ex |
( y) |
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y y |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
E |
( y) |
y |
|
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
y |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
E |
( y) |
|
|
x |
y |
|||||
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.Чтобы функция y = f(x) была эластичной в точке, показатель эластичности должен быть больше нуля меньше единицы равен единице больше единицы
5.Чтобы функция y = f(x) была неэластичной в точке, показатель эластичности должен быть меньше нуля меньше единицы больше единицы равен единице
Эластичность функции экономически означает относительное изменение аргумента при относительном изменении функции
относительное изменение функции на 1% при относительном изменении аргумента относительное изменение функции при относительном изменении аргумента
относительное изменение функции при относительном изменении аргумента на 1%
6.Эластичность произведения двух функций Ex (uv) равна
vEx (u) u Ex (v)
Ex (u) Ex (v)
Ex (u) Ex (v)
Ev (u) Eu (v)
u |
|
||
7.Эластичность частного двух функций Ex |
|
|
равна |
|
|||
v |
|
||
Ex (u)
Ex (v)
Ex (v)
Ex (u)
Ex (u) Ex (v)
x2
Ex (u) Ex (v)
8.Для получения максимальной прибыли необходимо, чтобы при данном объеме производства x0
предельная выручка была больше предельных издержек предельная выручка была меньше предельных издержек предельная выручка равнялась предельным издержкам предельная выручка была наибольшей
9.Функция y f (x) в интервале (a;b) возрастает, если f (x) 0
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
10. Функция y f (x) в интервале (a;b) убывает, если f (x) 0
f (x) 0
f (x) 0 f (x) 0
11. Функция y f (x) в интервале (a;b) возрастает все быстрее, если f (x) 0, f (x) 0
f (x) 0, f (x) 0
f (x) 0, f (x) 0
f (x) 0, f (x) 0
12. Функция y f (x) в интервале ( a , b) убывает все медленнее f (x) 0, f (x) 0
f (x) 0, f (x) 0 f (x) 0 , f (x) 0 f (x) 0, f (x) 0
13. Эластичность спроса S( p) относительно цены p определяется по формуле
E |
|
(S) |
S |
S ( p) |
|||||
p |
p |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E p |
(S) |
|
|
p |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
S ( p) |
||||||||
|
|
|
|
|
S |
||||
E |
|
(S) |
p |
S ( p) |
|||||
p |
S |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E |
|
(S) |
S ( p) |
|
|||||
p |
|
||||||||
|
|
|
|
|
S |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
14. Если K (x) – полные издержки, то предельные издержки определяются
как
K (x)
lim K (x)
x x0
lim K (x)
x 0
K (x)dx
15.Эластичность постоянной величины равна постоянной величине нулю единице двум
16.Для получения максимальной прибыли достаточно, чтобы при
данном объеме производства х0
V (x0 ) K (x0 ) V (x0 ) K (x0 ) V (x0 ) K (x0 )
V (x0 ) K (x0 ) 0
17. Экономически обусловленной областью определения функции полных
издержек К(х) является x 0
x 0
x 0,K (x) 0x 0,K (x) 0
18. Функция полных издержек К(х) в интервале (а;b) возрастает, если
K (x) 0 K (x) 0 K (x) 0
K (x) 0
19. Функция полной выручки V(х) убывает в интервале (а;b), если
V (x) 0 V (x) 0
V (x) 0 V (x) 0
20. Функция полных издержек К(х) в интервале (а;b) возрастает все
медленнее, если
K (x) 0, K (x) 0 K(x) 0, K (x) 0
K(x) 0, K (x) 0 K (x) 0, K (x) 0
21. Функция полных издержек К(х) в интервале (а;b) возрастает все
быстрее, если
K (x) 0, K (x) 0
K (x) 0, K(x) 0 K (x) 0, K (x) 0 K (x) 0, K (x) 0
22. Полная выручка V(х) при x0 будет максимальной, если
V (x0 ) 0,V (x0 ) 0 V (x0 ) 0,V (x0 ) 0 V (x0 ) 0,V (x0 ) 0 V (x0 ) 0,V (x0 ) 0
23. Спрос S( p) будет эластичным при цене p0 , если показатель
эластичности больше нуля меньше единицы больше единицы равен единицы