matan_baza

y e 2 x y e x

y e 2x e x y e2x e x

52. Интегральная кривая, которая определяет решение уравненияx 2 y y при y 0 4 , имеет вид

С

В

D A

53. Решением дифференциального уравнения y сtgx y 1 является функция

y ctgx 1 sin x

y tgx 1 sin x

y 1 1 cos x

y ctgx 1 sin x

54. Из данных дифференциальных уравнений

уравнениями с разделяющимися переменными являются только

1),3)

2),4)

2),3)

1),4)

y x2

57. Общее решение уравнения y'' e2 x имеет вид

y 12 e2 x C1 x C2 y 14 e2 x C1 x C2 y e2 x Cx

y 4e2 x C1 x C2

58. Общее решение уравнения y'' cos 2x имеет вид

y 14 cos 2x C1 x C2 y 14 cos 2x C1 x C2 y 4 cos 2x C1 x C2

y 4 cos 2x C1 x C2

59. Общее решение уравнения y'' x12 имеет вид

y x14 C1 x C2

y ln x C1 x C2

y x14 C1 x C2 y ln x C1 x C2

x

60. Общее решение уравнения y'' e 2 имеет вид y 14 e 2x C1 x C2

x

y 4e 2 C1 x C2 y 14 e 2x C1 x C2

x

y 4e 2 C1 x C2

61. Если y(1) = 0, то частное решение уравнения xy′ – x = y имеет вид y x ln(e x )

y x ln x y ln x

y 1x 1

62. Функция f (x, y) x3 3x2 y y3 является однородной функцией 8-го порядка 6-го порядка 3-го порядка 0-го порядка

63. Общее решение уравнения xy″ – y′ = 0 имеет вид y 12 C1 x2 C2

y x2 C1 x C2

2

y 2C1 x2 C2

y 2x2 C1 x C2

64. Общее решение уравнения xy″ + y′ = 0 имеет вид y 12 C1 x2 C2

y C1 ln x C2 y x2 C1 x C2

y x2 C1 x C2

2

65. Если y(1) = 1, то частное решение уравнения xy′ + x = y имеет вид y x ln 1x

y x ln ex

y x2 2

y ex 2

66. Общее решение уравнения y″ = sin2x имеет вид y 4sin 2x C1 x C2

y 14 sin 2x C1 x C2 y 4sin 2x C1 x C2

y 14 sin 2x C1 x C2

67. Общее решение уравнения y′ + 2x = 2xy имеет вид y 2x2 C

y ex2 C 1 y x2 C y e2 x2 C 1

68. Из данных дифференциальных уравнений

уравнениями с разделяющимися переменными являются только

1), 2) 1), 3) 2), 3) 2), 4)

69. Из данных дифференциальных уравнений

уравнениями Бернулли являются только

1), 3) 2), 3) 2), 4) 1), 4)

Тема: 15. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с

постоянными коэффициентами

1.Общее решение дифференциального уравнения y a1 y a2 y f (x)

содержит две произвольные постоянные

три произвольные постоянные одну произвольную постоянную четыре произвольные постоянные

2.Общее решение однородного уравнения y 6y 9y 0 имеет вид

y C1e 3x C2e3x y (C1 C2 )e 3x y (C1 C2 x)e 3x y (C1 C2 )e3x

3.Вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 – го порядка с постоянными коэффициентами зависит от вида правой части и корней характеристического уравнения порядка этого уравнения общего решения однородного дифференциального уравнения 2 – го порядка произвольных постоянных

некоторые постоянные, то общее решение этого уравнения имеет вид y C1 y1 C2

y C1 y1 C2 y2

y (C1 C2 ) /( y1 y2 )

y C1 C2 y1 y2

5.Характеристическое уравнение для линейного однородного уравнения y a1 y a2 y 0 имеет вид

r 2 a1r a2

r 2 r (a1 a2 ) 0 r 2 a1r a2 0

a1r 2 a2 r 1 0

6.Общее решение однородного дифференциального уравнения y 3y 4y 0 имеет вид

y (C1 C2 x)e 2x y C1e 4x C2e x

y C1 cos4x C2 sin x y C1 sin x C2 cos4x

7.Общее решение однородного дифференциального уравнения y 8y 16y 0 имеет вид

y C1 cos4x C2 sin 4x y (C1 C2 x) sin 4x

y (C1 C2 x)e4x y C1e 4x C2e4x

8.Общее решение уравнения y 4y 5y 0 имеет вид

11. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y″ + y′ – 20y = 0 имеет вид

y C1e5x C2e4x y C1e 5x C2e4x y C1e 5x C2e 4x y C1e5x C2e 4x

12. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y″ – 2y′ – 15y = 0 имеет вид

y C1e 3x C2e 5x y C1e 3x C2e5x

y C1e3x C2e5x y C1e3x C2e 5x

13. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y″ – 7y′ + 12y = 0 имеет вид

y C1e 3x C2e 4x y C1e 3x C2e4x y C1e3x C2e4x y C1e3x C2e 4x

14. Общее решение уравнения y″ + 14y′ + 49y = 0 имеет вид y C1 cos7x C2 sin 7x

y C1e7 x C2e 7 x y C1 C2 x e7 x y C1 C2 x e 7 x

15. Общее решение уравнения y″ – 16y′ + 64y = 0 имеет вид y C1e8x C2e 8x

y C1 cos8x C2 sin 8x y C1 C2 x e8x

y C1 C2 x sin 8x

16. Общее решение уравнения y″ + 8y′ + 25y = 0 имеет вид

y e3x C1 cos4x C2 sin 4x y e 3x C1 cos4x C2 sin 4x y C1e 4x C2e3x

y e 4x C1 cos3x C2 sin 3x

17. Общее решение уравнения y″ + 16y = 0 имеет вид y C1 cos4x C2 sin 4x

y C1 C2 x e4x y C1e4x C2e 4x

y e 4x C1 cos4x C2 sin 4x

18. Если r1 = –2 , r2 = 1 – корни характеристического уравнения однородного уравнения и f(x) = 3e–2x – правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, то частное решение этого неоднородного уравнения ищется в виде

Yчаст. = Ax2e–2x Yчаст. = (Ax + B)xe–2x

Yчаст. = Axe–2x

Yчаст. = Ae–2x

19.Если r1 = –3 , r2 = 2 – корни характеристического уравнения однородного уравнения и f(x) = x2 + 5x – правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, то частное решение этого неоднородного уравнения ищется в виде

Yчаст. = (Ax2 + Bx)ex Yчаст. = Ax2 + Bx + C Yчаст. = (Ax + B)x2 Yчаст. = –3x2 + 2x

20.Если r1 = r2 = 2 – корни характеристического уравнения однородного уравнения и f(x) = (x + 2)e2x – правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, то частное решение этого неоднородного уравнения ищется в виде

Yчаст. = x2(Ax + B)e2x

Yчаст. = Ax2e2x

Yчаст. = x(Ax + B)e2x

Yчаст. = (Ax + B)e2x

21.Если r = 3 ± 2i – корни характеристического уравнения однородного уравнения и f(x) = 6e4xsin3x – правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, то частное решение этого неоднородного уравнения ищется в виде

Yчаст. = xe4x (Acos3x + Bsin3x) Yчаст. = Be4x sin3x

Yчаст. = e4x (Acos3x + Bsin3x) Yчаст. = e3x (Acos2x + Bsin2x)

22.Общее решение уравнения y 3y 0 имеет вид

y C1e3x

y (C1 C2 )e3x y C1 C2 e3x

y 3C1 x

23. Общее решение уравнения y 9y 0 имеет вид y C1e3x C2e 3x

y C1 cos 3x C2 sin 3x y (C1 C2 x)e 3x

y e 3x (C1 cos 3x C2 sin 3x)

24. Общее решение уравнения y 16y 0 имеет вид

y C1 C2 e4 x

y (C1 C2 x)e4 x

y C1 cos 4x C2 sin 4x y C1e 4 x C2e4 x

25.Если r1 = r2 = –3 – корни характеристического уравнения однородного уравнения и f(x) = (3x – 2)e –3x – правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, то частное решение этого неоднородного уравнения ищется в виде

Yчаст. = x (Ax + B)e –3x Yчаст. = (Ax + B)e –3x Yчаст. = x2(Ax + B)e –3x Yчаст. = x3(Ax + B)e –3x

26.Если r1 = –1 , r2 = 3 – корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, то общее решение соответствующего неоднородного уравнения y″ – 2y′ – 3y = 6e –3x имеет вид

y C1ex (C2 12)e 3x

y C1 x 3C2 x 12 e 3x

y C1e x C2e3x 2x e 3x y C1e x C2e3x 12 e 3x

27. Общее решение дифференциального уравнения y″ + 3y′ = 4x имеет вид

y C1 C2e 3x 23 x2 94 x y C1 C2 e 3x 23 x2 x y C1e 3x 23 x2 94 x

y C1 C2 e 3x 32 x2 x

28. Общее решение уравнения y″ + 4y′ = 0 имеет вид y (C1 C2 x)e 4 x

y (C1 C2 )e 4 x y C1 C2e 4 x

y C1e 4 x C2e4 x

29. Общее решение уравнения y″ – 9y = 10e 2x имеет вид y C1e 3x C2e3x 2e2 x

y (C1 C2 x)e3x 2e2 x y C1 C2e3x 2e2 x

y (C1 C2 )e3x 2e2 x

30.Если r = –2 ± 3i – корни характеристического уравнения однородного уравнения и f(x) = 2cos3x – правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, то частное решение данного неоднородного уравнения ищется в виде

Yчаст. = xe –2x (Acos3x + Bsin3x) Yчаст. = Ae –2xcos3x

Yчаст. = Acos3x

Yчаст. = Acos3x + Bsin3x

31.Если r = ± 4i – корни характеристического уравнения однородного уравнения и f(x) = 3sin4x – правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, то частное решение данного неоднородного уравнения ищется в виде

Yчаст. = Ae –4x + Be4x

Yчаст. = x(Acos4x + Bsin4x)

Yчаст. = x2(Acos4x + Bsin4x)

Yчаст. = Axsin4x

32.Если r1 = –2 , r2 = 3 – корни характеристического уравнения некоторого линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, то данное уравнение имеет вид y″ – y′ – 6y = 0

y″ + y′ – 6y = 0 y″ – y′ – 6 = 0 y″ + y′ – 6 = 0

33.Если r = 4 ± 3i – корни характеристического уравнения некоторого линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, то данное уравнение имеет вид

y″ + 8y′ + 25y = 0 y″ – 25y′ + 8y = 0 y″ – 8y′ + 25y = 0 y″ + 25y′ + 8y = 0

34.Если r1 = r2 = 4 – корни характеристического уравнения некоторого линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, то данное уравнение имеет вид