matan_baza
.pdf
e3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
25. |
Предел |
lim 1 |
|
|
|
|
равен |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
26. |
Предел |
lim |
|
3x 4 |
|
равен |
|||||||||||||
|
4 x 5 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
27. |
Предел |
lim |
|
|
x2 |
3x 2 |
|
равен |
|||||||||||
|
|
2x 3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2
2 |
|
|
|
|
|
28. Если при x x0 |
функция x – бесконечно малая величина, то |
1 |
|
– |
|
|
|
||||
x |
|||||
|
|
|
|||
равна бесконечности бесконечно большая величина постоянная величина неопределенная величина
29. Если при x x0 функция f x – бесконечно большая величина, то
1
f x –
равна нулю постоянная величина
30. Если в окрестности точки x0 |
некоторую функцию f x можно |
|
представить как f x a x , где a – постоянное число, x – бесконечно |
||
малая величина при x x0 |
, то im |
f x равен |
|
x x0 |
|
a |
|
|
x |
|
|
a x |
|
|
бесконечно малая величина |
|
|
неопределенная величина |
|
|
a или x в зависимости от окрестности x0
31. Указать выражение, которое не является неопределенностью |
||
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
1 |
||
|
||
32. Указать выражение, которое не является неопределенностью
00
2
0
33. lim
x 3 0
0
1
34. lim
x 3 0
0
1
35. lim
x 2 0
x2
x2 9 равен
x 2
x2 9 равен
3x
4 x2 равен
0
–3
36. |
lim |
3x |
равен |
|
|
||||
4 x2 |
||||
x2 0 |
–3 0
2
37. lim 1 3x x равен
x0
e6 e2
1
e3
1
e6
38. Если бесконечно малые в точке x0 функции α(x) и β(x) эквивалентны,
то |
lim |
(x) |
равен |
|
x x0 |
(x) |
|
0
1
A 0
39. Если (x) ex 1 1 и (x) x 1 – бесконечно малые в точке x = 1 величины, то
α(x) и β(x) – эквивалентны
α(x) – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем β(x) α(x) – бесконечно малая величина более низкого порядка, чем β(x) α(x) и β(x) – бесконечно малые величины разных порядков
40. Если (x) ln(1 4x) и (x) 2x – бесконечно малые величины в точке x
= 0 , то
α(x) и β(x) – эквивалентны
α(x) и β(x) – бесконечно малые величины одного порядка
α(x) – бесконечно малая величина более низкого порядка, чем β(x) α(x) – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем β(x)
41. Если (x) 1 cos 3x и (x) x3 – бесконечно малые в точке x = 0
величины, то
α(x) – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем β(x) α(x) и β(x) – бесконечно малые величины одного порядка
α(x) и β(x) – эквивалентны
α(x) – бесконечно малая величина более низкого порядка, чем β(x)
42. Если (x) sin 2 3x и (x) 3x – бесконечно малые в точке x = 0 величины, то
α(x) и β(x) – эквивалентны
α(x) – бесконечно малая величина более низкого порядка, чем β(x) α(x)– бесконечно малая величина более высокого порядка, чем β(x) α(x) и β(x) – бесконечно малые величины одного порядка
43. Если α(x) и β(x) – бесконечно малые в точке x0 функции и |
lim |
(x) |
0 |
|
x x0 |
(x) |
|
, то
α(x) – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем β(x) α(x) и β(x) – эквивалентны
α(x) – бесконечно малая величина более низкого порядка, чем β(x) α(x) и β(x) – бесконечно малые величины одного порядка
44. Если α(x) и β(x) – бесконечно малые в точке x0 функции и
lim (x) , то
x x0 (x)
α(x) – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем β(x) α(x) и β(x) – эквивалентны
α(x) – бесконечно малая величина более низкого порядка, чем β(x) α(x) и β(x) – бесконечно малые величины одного порядка
45. Если α(x) и β(x) – бесконечно малые в точке x0 функции и
lim (x) A 0 , то
x x0 (x)
α(x) и β(x) – эквивалентны
α(x) и β(x) – бесконечно малые величины одного порядка
α(x) – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем β(x) α(x) – бесконечно малая величина более низкого порядка, чем β(x)
46. Если (x) ln sin x и (x) 2x – бесконечно малые в точке x
величины, то
α(x) и β(x) – эквивалентны
α(x) – бесконечно малая величина более низкого порядка, чем β(x) α(x) и β(x) – бесконечно малые величины одного порядка
α(x) – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем β(x)
2
47. Предел lim |
1 cos2 2x |
равен |
|
3x2 |
|||
x 0 |
|
||
32 |
|
|
3
2
3
4
3
8
3
48. Предел
0
4
12
18
49. Предел
∞
0
–3 3
50. Предел
7
4
– 14 9
4
17
4
51. Предел
2
0
∞
1
52. Предел
+∞
–∞
1
0
sin 3x
lim равен x 0 
x 4 2
x 1 |
x3 x2 2x |
равен |
x2 3x 2 |
||
lim |
|
|
|
5n2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
lim |
3 4n |
2 3 |
|
|
|
равен |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x sin 2x |
равен |
|
1 cos 2 x |
|||
x 0 |
|
|
|
|
|
lim ( x2 |
2x x) |
равен |
||
x |
|
|
|
|
sin 5x
53. Предел lim 4 x равен x 0 e 1
5
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
54. Предел |
x 0 |
e5 x 1 |
равен |
||||
1 cos 3x |
|||||||
5 |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0
∞
Тема: 4. Непрерывность функций. Точки разрыва и асимптоты кривой
1.Функция у = f(х) называется непрерывной в точке х0, если она существует в окрестности точки х0
существует конечный предел lim f(x)
X X0
существует конечный предел lim |
f(х)= f(х0) |
|
|
|
|
|
|
|
||
X X0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
она существует в точке х0 и в ее окрестности |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.Точка х0 для функции f(х) является точкой разрыва 1-го рода с |
||||||||||
конечным скачком, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хотя бы один из односторонних пределов |
lim |
f(х) или |
lim |
f(х) равен |
||||||
|
|
|
X X0 |
0 |
|
|
X |
X0 0 |
|
|
конечному числу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конечные односторонние пределы |
lim |
f(х) |
lim |
|
f(х) |
|
|
|
||
|
X X0 0 |
X X0 |
0 |
|
|
|
|
|||
существуют конечные односторонние пределы lim |
f(х)и |
|
lim |
f(х) |
||||||
|
|
|
|
X X0 |
0 |
|
|
X X0 0 |
||
хотя бы один из односторонних пределов в точке х0 бесконечен |
||||||||||
3.Точка х0 для функции f(х) является точкой разрыва 2-го рода, если |
||||||||||
хотя бы один из односторонних пределов |
lim |
f(х) и |
lim |
f(х) бесконечен |
||||||
|
|
|
X X0 |
0 |
|
|
X X0 |
0 |
|
|
хотя бы один из односторонних пределов |
lim |
f(х) и |
lim |
f(х) равен |
||||||
|
|
|
X X0 |
0 |
|
|
X X0 |
0 |
|
|
конечному числу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конечные односторонние пределы |
lim |
f(х) = |
lim |
f(х) |
|
|
|
|||
|
X X0 0 |
X |
X0 0 |
|
|
|
|
|
||
конечные односторонние пределы |
lim |
f(х) |
lim |
f(х) |
|
|
|
|||
|
X X0 |
0 |
|
X X0 0 |
|
|
|
|
||
4.График функции у = f(х) имеет вертикальную асимптоту х = х0, если
существует lim f(x)
X
точка х0 является устранимой точкой разрыва для f(x)
точка х0 является точкой разрыва 2-го рода (с бесконечным скачком) точка х0 является точкой разрыва 1-го рода (с конечным скачком)
5.Если функция y f (x) непрерывна в точке x x0 , то она определена в точке x0
она может быть не определена в точке x0
определена везде в окрестности точки x0 , кроме самой точки x0
lim f (x)
x x0
6.Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и на концах этого
отрезка принимает значения разных знаков, то
найдется хотя бы одна точка c (a;b) , в которой функция обращается в 0 ни в одной точке интервала (а;b) функция f (x) не обращается в 0
во всем интервале (а;b) функция f (x) положительна во всем интервале (а;b) функция f (x) отрицательна
7.Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b], то она
может быть неограниченна на одном из концов отрезка [a;b] может быть неограничена внутри интервала (а;b) ограничена и сверху, и снизу ограничена или сверху, или снизу
8.Приращение функции y f (x) на отрезке x0 , x0 x находится по
формуле
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 )
9.Функция непрерывна в точке, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует произвольное приращение функции
бесконечно малому приращению функции соответствует бесконечно большое приращение аргумента бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции
бесконечно малому приращению аргумента соответствует фиксированное приращение функции
10.Функция непрерывна в интервале, если она непрерывна на его концах
имеет конечное число точек разрыва I рода на этом интервале имеет одну точку разрыва I рода в этом интервале непрерывна в каждой его точке
11.Точка разрыва с конечным скачком – это то же самое, что точка разрыва II рода
точка устранимого разрыва точка разрыва I рода
точка, в которой производная функции конечна
12.Угловой коэффициент наклонной асимптоты находится по формуле
k Lim f ( x)
x
k Lim |
x |
|
|
||
f ( x) |
||
x |
||
k Lim |
f ( x) |
|
x |
||
x 0 |
||
k Lim |
f ( x) |
|
x |
||
x |
13. У горизонтальной асимптоты y kx b k 0,b 0
k 0,b 0
k k 0
14. Если функция f (x) непрерывна в точке x0 и f (x0 ) 0 , то в бесконечно малой окрестности точки x0 функция f (x) обращается в 0
имеет тот же знак, что и f (x0 )
имеет произвольный знак меняет знак с «−» на «+»
15. Если в точке x0 существуют не равные между собой конечные левый
и правый пределы функции, то x0 – точка разрыва второго рода
x0 - точка разрыва первого рода x0 - устранимая точка разрыва
в точке x0 существует производная этой функции
16. Если в точке x0 хотя бы один из односторонних пределов функции бесконечен, то
x0 – точка разрыва первого рода x0 – устранимая точка разрыва x0 – точка разрыва второго рода
в точке x0 не существует вертикальная асимптота
17. |
Функция y |
|
|
x 3 |
|
имеет вертикальную асимптоту |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 |
4x 3 |
|
|||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1, x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
Функция y |
|
x 2 |
имеет вертикальную асимптоту |
|
|||
|
|
|
||||||
x 2 |
4x |
|
||||||
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
Пусть |
lim f x 2 , |
lim f x 2 , тогда скачок функции |
f x в точке |
||||
|
|
x x 0 |
|
|
x x 0 |
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
x0 равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
–4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
Дана функция |
y |
2x 2 |
5x 6 |
. Угловой коэффициент наклонной |
|
x 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
асимптоты равен |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
21. |
Дана функция y 3x2 |
2x 5. Угловой коэффициент наклонной |
|||
асимптоты равен |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
не существует
22. Дана функция |
y |
x 2 |
2x 3 |
. Уравнение наклонной асимптоты имеет |
|
|
x |
|
|||
|
|
|
|
||
вид
y 3
y x 2 y x 2 y 2
23. |
Дана функция y |
x |
2 |
|
. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
y 4 |
|
|
|
x 2 4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
24. |
Функция |
f (x) |
x2 |
|
x |
|
|
имеет устранимую точку разрыва в точке |
||
x3 |
4x |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
x = –2 x = 0 x = 2
не имеет устранимой точки разрыва
25. Уравнение наклонной асимптоты для функции |
f (x) |
x |
имеет вид |
|||
|
||||||
x2 4 |
||||||
y = 0 |
|
|
|
|
|
|
x = –2 |
|
|
|
|
|
|
x = 2 |
|
|
|
|
|
|
y = x2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
2, |
если x 1; |
|
|
|
|
26. Для функции |
|
2 |
1, если 1 x 1; |
|
|
|
y x |
|
|
|
|
||
|
x 2, если x 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x = –1 – устранимая точка разрыва; x = 1 – точка разрыва 1-го рода x = –1 – точка разрыва 1-го рода; x = 1 – точка разрыва 2-го рода
x = 1 – точка разрыва 1-го рода точек разрыва нет
|
x 3, если x 2; |
||
27. Для функции |
|
2 |
, если 2 x 2; |
y 4 |
x |
||
|
x 2, если x 2 |
||
|
|
|
|
x = –2 – точка разрыва 2-го рода; x = 2 – точка разрыва 1-го рода x = –2 и x = 2 – устранимые точки разрыва
x = 2 – точка разрыва 1-го рода x = –2 – точка разрыва 1-го рода