Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт экономики, управления и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

adapt_curs

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

1.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Так как угол во второй четверти												< < , то sin =		p
														7		3
											3			7	, а cos =		. Тогда
											4			4	, а cos =	4	. Тогда
			p
			p			7		9
2 sin +3 cos =										.
2 sin +3 cos =				2					4	.
p
p		7		9
Ответ:							.
Ответ:	2				4		.
												1
Пример 3. Вычислить cos 2 arccos												1	.

												4

	Решение. Обозначим =arccos										1			. По определению арккосинуса cos =													1	и

												4															4
	< < . Таким образом, нам нужно найти cos 2 , если cos =																								1	и угол лежит

2																									4
во второй четверти
																		1			2	7
							cos 2 =2 cos2				1=2											1=		:
							cos 2 =2 cos2				1=2									4		1=	8	:
	Ответ:			7	.

				8
							1
	Пример 4.			Вычислить arccos						cos					.
	Пример 4.			Вычислить arccos						cos			3		.
															1
	Решение. cos						=		, отсюда arccos								=		.
	Решение. cos					3	=	2	, отсюда arccos							2	=	3	.
	Ответ:		.
	Ответ:	3	.							sin 150
									0	sin 150
	Пример 5.			Вычислить cos 15						0				.	0			тогда
	Решение.			Обозначим					a=cos 15		sin 15 ,							тогда

a2 =cos2 150 2 sin 150 cos 150 +sin2 150 =1 sin 300 =1 12 = 12;


поэтому a=		1	=		2	. Из условия ясно, что a>0.
поэтому a=	2		=		2	. Из условия ясно, что a>0.
	p
Ответ: a=	2			.
Ответ: a=				.
	2

Пример 6. Найти период функции y =cos x cos 6x.

Решение. Воспользуемся формулой преобразования произведения в сумму

y =cos x cos 6x= 12[cos (x 6x)+cos (x+6x)]= 12 cos 5x+ 12 cos 7x:

Период функции y =cos 5x равен T1 = 25 , а период функции y =cos 7x равен T2 = 27 .

Наименьшее число, при делении которого на T1 = 25 и T2 = 27 получается целое число, есть число 2 .

Ответ: 2 .

Пример 7. Упростить (sin +cos )2 sin 2 . cos 2 +2 sin2

Решение. Раскроем в числителе скобки и воспользуемся формулами двойного ар-

гумента, получим
sin2 +2 sin cos 2 sin cos +cos2			=	sin2	+cos2	=1:
cos2 sin2 +2 sin			sin2		+cos2
Пример 8. Упростить	4 sin 250 sin 650	.
	cos 400

Решение. Заметим, что 650 =900 250, и воспользуемся формулами приведения и

двойного аргумента

4 sin 250 sin 650

4 sin 250 sin (900 250)

4 sin 250 cos 250

cos 400

2 sin 500

2 sin (900 500)

2 cos 400

=2:

cos 400

Пример 9. Известно, что cos =

< < . Найти значения sin ; tg ; ctg :

Решение. Из основного тригонометрического тождества

sin2 +cos2 =1

находим: j sin j=p1 cos2 ;

j sin j=s1

: В

заданном интервале

< < значения sin положительны, поэтому

sin =

;

tg =

sin

;

cos

tg =

;

ctg =

;

ctg =

p21

Ответ:

;

Пример 10. Упростить выражение cos (arcsin x).

Решение. 16x61. Положим y =arcsin x: Тогда

6y 6

и sin y =x. Чтобы

sin2 y. Получаем cos2 y =1

x2,

найти cos y, воспользуемся соотношением cos2 y =1

но 6y 6 . На этом отрезке косинус принимает только положительные значения.

2 2 p p

Таким образом, cos y = 1 x2, т. е. cos (arcsin x)= 1 x2, где 16x61. p

Ответ: 1 x2, где 16x61.

7.3. Аудиторные задачи

Вычислить значения тригонометрических функций:

1. sin 75 sin 15 . 2. cos 105 +cos 75 . 3. 4 sin 25 sin 65 . 4. cos 15 +sin 15 . cos 40

Вычислить

5.2 sin 24 cos 24 cos2 24 sin2 24 .

6.tg 12 +ctg 12.

7. sin2 7 300 sin 45 cos 45 cos2 52 300.

8.cos 70 cos 10 +cos 80 cos 20 . cos 68 cos 8 +cos 82 cos 22

9.tg( 750 ) ctg 316 .

			sin 91			sin 1
10.		p			p					.
		9 2 cos 46 +					2 sin 44
						3p
11.	6 cos 80					3p		3	.
11.	6 cos 80			2 cos 50					.
12.	2 sin 44 cos 16 +2 sin2 31 1.
13.	Вычислить tg , если cos =														4	и 0< <						.
13.	Вычислить tg , если cos =													5		и 0< <						.
														5			2
14.	Вычислить tg , если sin =													5			и		< < .
14.	Вычислить tg , если sin =													13			и		< < .
														13			2
15.	Вычислить sin2 , если cos 2 =																1	.
15.	Вычислить sin2 , если cos 2 =																4	.
16.																	4
16.	Найти ctg , если sin =0; 8, 2(0; =2).
												p
17.	Найти cos					, если tg =						15		, < <						3	.
17.	Найти cos			2		, если tg =					7			, < <							.
				2							7						2
18.	Найти tg , если cos =										12		и угол находится в четвертой четверти.
18.	Найти tg , если cos =										13		и угол находится в четвертой четверти.
19.											13											p
19.	Найти tg x, если sin(x+30 )+sin(x 30 )=2 3 cos x.

20.Найти sin4 cos4 , если tg 2 = 12.

21.Найти sin2( 4 ), если sin 2 = 13.

22.Вычислить sin(2 arctg( 1=7)).

23.Вычислить sin(2 arcsin( 1=7)).

24.Вычислить cos(2 arccos( 1=4)).

25.Вычислить sin(315 arcctg( 1)).

26.Вычислить cos(arctg 1+arcsin 1213).

27.Найти числитель (вместе со знаком) числа tg(arcsin 1=2), записанного в виде несократимой простой дроби без иррациональности в знаменателе.

28.Найти числитель (вместе со знаком) числа tg(2 arcsin( 1=3)), записанного в виде несократимой простой дроби без иррациональности в знаменателе.

29.Найти значение выражения arcsin(sin 2; 5).

30.Найти значение выражения arctg(tg 4).

31.Найти значение выражения arcctg(ctg 6).

32.Найти период функции y =3 sin(x 2)+7 cos x.

33.Найти период функции y =sin 2x 2 tg x 6 .

34.Найти период функции y =cos(3x 2) tg(4x+1)+ctg 2x.

35.Определить знак выражения sin(costg(sin 5)).

36.Вычислить

				3 ctg2 15 1			:
				3 ctg2 15			:
				3 ctg2 15
37.	Проверить справедливость равенства
		4	2					11
	arcsin		+arccos p			=arctg			:
		5						2
		5			5			2
38.	Проверить равенство

												arctg 1+arctg 2= arctg 3:
39.	Упростить:														.
	sin2 +cos(60 + ) cos(60													)
		2 sin	2	1		.
40.		2 sin
40.
		1 2 cos2							2
41.		(sin +cos )								.
41.		1+sin 2								.			30 )
		1+sin 2
	cos 2 +2 sin( +30 ) sin(
42.															.
43.	2 cos2				cos .
43.	2 cos2			2	cos .
		cos 2					1+tg
44.												.
44.		1 sin 2					1 tg					.
45.		ctg tg							3		.
45.		tg +ctg						cos 2			.

46.tg +tg(45 ) . 1 tg tg(45 )

47.cos2 2 +4 sin2 cos2 .

				cos 1			cos 89
48.		p						p			.
		9 2 cos 46 +							2 sin 44
49.	4 sin(15 + ) cos(15 ) 2 sin 2 .
50.			1		+			1		.
50.		1+tg2			+		1+ctg2			.
	Упростить выражения:
51.		sin 3 cos3 +cos 3 sin3										.
51.						sin 4						.
						sin 4
52.		cos2( + )+cos2( )										ctg2	ctg2	.
52.				2 sin2 sin2										.

	4 cos cos +																		cos
53.																							+					2				+cos 3 .
53.																3							+					3				+cos 3 .
		sin 3						cos 3
54.															.
54.		sin							cos						.
55.							tg ) ctg( + )+(tg																								tg ) ctg(			)	.
55.	(tg					+ 2																													.
56.	2 2 sin 2 cos 4 .
57.		(sin sin )2 +(cos cos )2																													.
											sin2
																			2
58.		sin3 +sin 3											+					cos3 cos 3												.
58.					sin								+																	.
					sin																cos
59.		1 cos 4										+				1+cos 4										.
59.		cos 2 2 1										+														.
		cos 2 2 1												sin 2 2 1
60.		(1+tg ) cos															.
60.																	.

		2p2 sin									+
		2p2 sin								4	+
61.		2(1+sin 2 cos 2 )																			.
		sin (sin +cos )
62.	4 sin(30 + ) cos 2 cos(60 2 ).
63.	(1 tg )2 +(1+tg )2																										2			.
63.	(1 tg )2 +(1+tg )2																							cos2						.			).
64.			2								2
64.	cos			4				+cos					cos( +												) cos(
65.	8 cos						x						2x							cos 4x				.
65.	8 cos							6 4 cos					6											.
66.		1 sin x cos														x			.
66.		1 4sin4 x 4cos4 x																	.	2
		1 4sin4 x 4cos4 x																		2
67.		sin cos +cos																				.
							2(1 cos )
68.	cos2 +cos2															+ +cos2														.

													3																3

69.

sin

sin 3

cos +cos 5

70.

sin3 cos3

cos

2 tg ctg

, если

находится во второй четверти.

sin cos

p1+ctg2

71.cos2 2 cos cos cos( + )+cos2( + ) sin2 :

72.3(sin4 +cos4 ) 2(sin6 +cos6 ):

	3 ctg
73.	2	.
	(sin ) 1 +(tg ) 1

Доказать тождества:

74.sin6 +cos6 =1 34 sin2 2 .

75.1+sin 2 +cos 2 =ctg : 1+sin 2 cos 2

76.tg +tg 2 tg 3 = tg tg 2 tg 3 .

77.2 sin sin 2 =tg2 . 2 sin +sin 2 2

78.	sin +2 sin 3 +sin 5						=	sin 3		.
	sin 3 +2 sin 5 +sin 7
								sin 5
79.		1			1				=ctg 2 .

	tg 3		tg	ctg 3		ctg

7.4. Домашнее задание

Вычислить:

1. tg2 113 +ctg( 0; 25 )+4 cos2 316 .

2. cos2 37 sin2 23 . cos 14

3.sin 10 sin 50 sin 70 . 1 tg2

4.tg 8 8 .

Найти:

5.ctg 2 ctg 2 , если tg =5.

6.sin 2 , если sin +cos = 12.

7.sin sin , если = . cos +cos 2

8.cos2 54 + , если sin 2 = 0; 4.

9.tg(2 arcctg( 2)). p

10.ctg 250 arccos( 23) .

11.tg 2 arcsin(2=3) .

12.tg arctg 12 +arctg 13 .

13.cos arcctg( 15)+ 52 .

14.Найти числитель (вместе со знаком) числа sin(arcsin(1=3) + arcsin(2=3)), записанного в виде несократимой простой дроби без иррациональности в знаменателе.

15.Найти значение выражения arcsin(sin 4).

16.Найти период функции y =sin x6 +tg x30 .


17.	Найти период функции y =7 sin		x			2			.
				cos			x+
			2	cos		5	x+	2
18.	Определить знак выражения	tg(sin )			.
18.	Определить знак выражения				.
		sin(cos 4)

19.	Проверить справедливость равенства
																											arccos r											arccos					= 6 :
																											arccos r									3		arccos				2p3	= 6 :
																																				2						p6+1
	Упростить выражения:
		tg +ctg +													1
																				.
20.													sin 2
20.								1
								1

			cos(=2 2 )
21.							2 cos2 1												4									.
		2 ctg					4 sin2												4
		sin 2						2											2
									sin
22.														+tg											.
22.		sin 2 +2 sin												+tg											.
23.		sin 2 +2 sin																			2														+cos					3 +2 .
23.	sin 2 2													+cos 2 3																					+cos					3 +2 .
									3																						8									2
24.							1 2 cos2																								.
24.		2 tg( =4) sin2( +=4)																													.
		2 tg( =4) sin2( +=4)
		sin 4				cos 4					1+cos										+									2
25.					cos					sin +sin																							.
								2															2
											+
26.		sin				2 +					+						sin ( )															.
																										cos
	2					3									ctg2						2
		ctg ( 2 )													ctg2							2

	2								1																				3
		2 cos							1
							2										cos												sin								4 tg
27.																																									.
27.		1 2 sin cos																cos +sin																		1 tg2					.
28.			cos 2																cos 3															.
28.		sin 3						sin						cos 2 +cos 4																				.

29.		sin 4 +sin 9 sin																						.
		cos +cos 4 +cos 9
30.		cos(170 + ) sin(100 )																															.
							sin(280 )
	Доказать тождества:
		sin 3 cos3 +cos 3 sin3																																sin 4
31.																															=								.
31.											3																				=								.
											3																					4
32.	sin6							cos6						= sin2 4 cos																					.
32.				2								2										4													.
33.	ctg2							ctg2 =								cos2 cos2
33.																	sin2 sin2 .

7.5. Проверочный тест

Значение

ctg( );

если tg =2, sin =

, 90 < <180 , равно

; 2) 2;

;

4) 2;

5) 21 :

Значение

tg arccos

равно

1) 2 2; 2)

;

4) 2 2;

5) 4 :

Период функции

y =tg 2x ctg 3x+7 cos 5x

равен

5) не существует:

1) ; 2) 2 ;

;

4) 3 ;

Значение выражения

cos 2 cos(45 ):

2 sin(30 + )

sin

после упрощения равно

cos

1) 2 tg ;

tg ; 3)

2 tg ; 4)

; 5)

2 sin :

Значение выражения

1 4 sin2

4 cos2 3:

после упрощения равно

1)0; 2) 1; 3) 1 4) 2; 5) 2:

6.Значение выражения

				1+sin 2 +cos 2
						:
после упрощения равно				1+sin 2 cos 2		:
	1) ctg ; 2) ctg ; 3)	cos 4) 1; 5) cos :
7.	Значение выражения		2 sin +sin 2		1 cos
			2 sin +sin 2		1 cos

после упрощения равно			2 cos +sin 2		1 sin
	1) 2 ctg3 ; 2) tg3 ; 3)	tg2 4) 1; 5) 0:
8.	Найти значение выражения
	(sin 10 +sin 80 )(cos 80 cos 10 )						:
				sin 70
9.	Упростить выражение
	(tg tg ) ctg( ) tg tg :
10.	Найти значение выражения arccos(cos 6).
		88

7.6. Ответы

Аудиторные задачи:

1. 0,25; 2. 0; 3.

2; 4.

;

5. 0,25;

6. 4; 7. -0,25; 8. 1;

9. 1; 10. 0,1; 11. 3; 12.

; 13. 0,75; 14.

; 15. 0,375; 16. 0,75; 17. 0; 25; 18.

; 19. 2;

20.

0,28; 21.

;

7 2

22.

0; 28; 23.

; 24.

; 25.

; 26.

; 27.

3; 28. 4

29. 2; 5;

30.

4 ; 31. 6 ; 32. Не периодическая; 33. ; 34. 2 ; 35. +; 36. ctg 15 ; 39. 0,25;

40.

1; 41. 1; 42. 0,5; 43. 1; 6. 0; 45. 3; 46. 1; 47. 1; 48. 0; 1; 49. 1; 50. 1; 51. 0,75; 52.

1; 53. 0; 54. 2; 55. 2; 56. 1; 57. 4; 58. 3; 59. 2; 60. 0,5; 61. 4; 62. 1; 63. 0; 64. 1; 65.

3; 66. 1,5; 67. cos2( =2); 68.

1,5; 69.

; 70. 1; 71. 0; 72. 1;

73. 3.

sin 6

Домашнее задание:

1. 5; 2. 0,5; 3. 0,125; 4. 2; 5. 5; 6. 0; 75; 7. 1; 8. 0; 7; 9.

;

10.

;

11.

5);

12.

1; 13. p

; 14.

5 + 4

2; 15. 4; 16. 60; 17. 20 ; 18. 0; 20. 3; 21. 1; 22. 0;

23. 0; 24. 1; 25. 2; 26. 1; 27.

0; 28.

; 29. tg 4 ; 30. 42.

2 sin 2

8. Тригонометрические уравнения и неравенства

Решение простейших тригонометрических уравнений: sin x=a, cos x=a, tg x= a, ctg x=a. Основные типы тригонометрических уравнений и методы их решения: метод дополнительного угла; замена переменной в уравнениях вида R(cos x+ sin x; cos x sin x)=0; понижение степени уравнения переходом к кратным углам; однородные тригонометрические уравнения; выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции. Тригонометрические неравенства.

8.1.Справочный материал

Копределению тригонометрических уравнений подходят по-разному. Назовем тригонометрическим уравнением равенство тригонометрических выражений, содержащих неизвестное (переменную) только под знаком тригонометрических функций.

	1		1			1
Уравнения вида cos 3x=		x+		,	sin x=		x,	tg 2x=x и т. д. не являются триго-
	2		3			2

нометрическими. Они относятся к типу трансцендентных уравнений и, как правило, решаются приближенно или графически. Может случиться так, что уравнение не является тригонометрическим по определению, но может быть сведено к тригонометрическому. Например, 2(x 6) cos 2x=x 6. Мы видим, что x 6 не содержится под знаком тригонометрических функций, однако оно решается аналитиче-

ски: (x 6)(2 cos 2x 1)=0, откуда x=6	или cos 2x=	1	;	x=		+ n , где n2Z. При

		2			6

решении тригонометрических уравнений мы будем использовать известные форму-

лы тригонометрии. Для решения различных видов тригонометрических уравнений необходимо уметь решать простейшие тригонометрические уравнения. Рассмотрим решения тригонометрических уравнений некоторых видов.

Уравнение вида sin x=a

Уравнение sin x=a может иметь решение только при jaj61. Известно, что решение этого уравнения находят по формуле

							x=( 1)n arcsin a+n ;
		6arcsin a6
где n2Z и							.
	2					2
Полезно помнить, что arcsin( a)= arcsin a.
							Частные случаи
sin x=1;		x=		+2n , n2Z

			2
sin x= 1;		x=			+2n , n2Z
				2
sin x=0;		x=n ,			n2Z.

Уравнение вида cos x=a

Уравнение cos x=a может иметь решение только при jaj61. Решение данного уравнения находят по формуле

x= arccos a+2 n;

где n2Z и 06arccos a6 . Нужно знать, что arccos( a)= arccos a.

Частные случаи

cos x=0, x= 2 +n , n2Z cos x=1, x=2n , n2Z

cos x= 1, x= +2n , n2Z.

Уравнение вида tg x=a, где a2R

Известно, что решения данного уравнения находят по формуле x=arctg a+n ;

где n2Z. Необходимо помнить, что arctg( a)= arctg a.

Уравнение вида ctg x=a, a2R

Известно, что решения данного уравнения находят по формуле x=arcctg a+n ;

где n2Z и 0<arcctg a< . Полезно помнить, что arcctg( a)= arcctg a.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.03.201638.62 Кб17785 О Порядке отпуска лекарственных средств.docx
#
01.06.2015218.62 Кб258-10зЭкономика и соц.doc
#
01.06.201567.43 Кб128-13.docx
#
26.03.2016870.69 Кб558.docx
#
01.06.2015378.38 Кб158.pdf
#
01.06.20151.29 Mб72adapt_curs.pdf
#
26.03.2016359.27 Кб19alzhev_-_socialnaya_pedagogika._konspekt_lekciy_.pdf
#
01.06.201558.73 Кб13Antikrizisnoe_gos_upravlenie_3.docx
#
25.11.2019224.26 Кб27AUTIZM_sbornik_dlja_specialistov.doc
#
18.07.2019125.44 Кб24bestref-214912.doc
#
30.11.2018599.04 Кб51bestref-219184.doc