adapt_curs

10. Логарифмические и показательные уравнения

Показательные уравнения, логарифмические уравнения. Простейшее уравнение. Приемы сведения уравнения к простейшему. Смешанные уравнения и уравнения с параметром.

10.1. Справочный материал

Логарифмические уравнения

Логарифмическим называется уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком логарифма.

Простейшее логарифмическое уравнение

loga x=b; a>0; a6=1

с областью допустимых значений x>0 имеет решение x=ab.

Решение других логарифмических уравнений стараются свести к решению простейших логарифмических уравнений.

Нужно помнить, что не всегда допустима замена функции y =aloga f(x) на y = f(x). Область существования функции y =aloga f(x) включает в себя лишь те x из области существования y =f(x), где выполнено неравенство f(x)>0. Поэтому замена в уравнении функции y =aloga f(x) на функцию y =f(x) может привести к появлению посторонних корней. Если же в точках множества M функция y =f(x) принимает только положительные значения, то равенство

aloga f(x) =f(x)

является тождеством на M и эта замена есть равносильное преобразование на M.

При решении уравнений, содержащих логарифмические функции, применяются различные преобразования, сводящие данное уравнение к виду, удобному для потенцирования, т. е. к виду

loga f(x)=loga g(x):

Так, применяется замена функций y =(loga f(x) + loga g(x)) на функцию y =

f(x)

loga(f(x) g(x)), функции y =loga f(x) loga g(x) на функцию y =loga g(x) , функции

y =N loga f(x) на функцию y =loga(f(x))N . Выполняя такие преобразования, следует помнить, что они сохраняют равносильность уравнений на некотором множестве M только в том случае, когда все входящие в уравнения функции определены на M.

112

Показательные уравнения

Показательным называют уравнение, в котором неизвестная величина входит только в показатели степеней при постоянных основаниях.

Простейшим показательным уравнением является уравнение вида

ax =b:

Его решением при a>0, a6=1, b>0 является

x=loga b:

Хотя при отдельных значениях a и b могут быть и другие решения. Например, если a=1, b=1, то любое число x является его решением.

Для решения произвольного показательного уравнения его стараются свести к решению простейших уравнений.

10.2. Примеры

Пример 1. Решить уравнение

2(log2 x)2 3 log2 x 5=0:

Решение. Поскольку квадратное уравнение

2y2 3y 5=0

имеет два корня y1 = 52 и y2 = 1, то исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений

5

log2 x= 2 и log2 x= 1:

Уравнение log2 x= 52 имеет решение x1 =25=2, а решение уравнения

log2 x= 1 есть x2 =1=2.

Следовательно, исходное уравнение имеет два корня x1 =25=2

и x2 =1=2.

Ответ: x1 =25=2, x2 =1=2.

Пример 2. Решить уравнение 2log2(x 4) =2x 7:

Решение. ОДЗ уравнения состоит из чисел x, удовлетворяющих неравенству x 4>0, т. е. x>4. На ОДЗ выполняется тождественное равенство 2log2(x 4) x 4, поэтому исходное уравнение равносильно на ОДЗ уравнению

x 4=2x 7:

Единственный корень этого уравнения x=3 не лежит в ОДЗ исходного уравнения. Значит оно не имеет решений.

Ответ: решений нет.

113

уравнение имеет два корня: x1 =2 и x2 = 1. Из них ОДЗ принадлежит только x1, значит, x1 =2 является единственным корнем исходного уравнения.

Ответ: x1 =2.

Пример 4. Решить уравнение

62x+4 =33x 2x+8:

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

32x+4 22x+4 =33x 2x+8:

Используя свойство членов пропорции, имеем

32x+4 2x+8

33x = 22x+4

или после упрощения

2 4 x

=1

3

и логарифмирования, получаем 4 x=0, откуда следует, что x=4.

Ответ: 4.

Пример 5. Решить уравнение

6 4x 13 6x +6 9x =0:

Решение. Разделим обе части уравнения на 9x. Имеем

6 49 x 13 23 x +6=0:

Обозначая 23 x =y и производя замену переменных, получаем уравнение

6y2 13y +6=0;

его корнями будут y1 =3=2, y2 =2=3. Возвращаясь к переменному x, получим урав-

Ответ: x1 =1, x2 = 1.

114

Пример 6. Решить уравнение

jx 2j10x2 1 =jx 2j3x:

Решение. Исходное уравнение эквивалентно уравнению jx 2j=1;

системе

8

>jx 2j=0;

<

10x2 1>0;

>

:3x>0

и системе

(

10x2 1=3x; jx 2j6=0:

Уравнение имеет два корня x1 =3, x2 =1. Первая система имеет решение x3 =2. Вторая система имеет два решения x4 =1=2, x5 = 1=5.

Ответ: x1 =3, x2 =1, x3 =2, x4 =1=2, x5 = 1=5.

10.3. Аудиторные задачи

Решить уравнения:

Решить уравнения:

115

20. 4log5 x +xlog5 4 =32.