adapt_curs

Объединяя промежуток ( 2; 3) и точку x=3, получим 2<x63.

Ответ: ( 2; 3].

Пример 6. Найдите все положительные значения a, при каждом из которых наименьшее из двух чисел b=3 a3(5a 1 +a) и c=a 4 +a 1(3a 5a 1) не меньше 3.

Решение. Из условия задания следует, что оба данных числа должны быть не меньше 3, получим систему неравенств

(

3 a3(5a 1 +a)> 3;

a 4 +a 1(3a 5a 1)> 3:

1. Решим первое неравенство:

3 5a2 a4 +3>0 ) a4 +5a2 660; (a2 +6)(a2 1)60:

Первый множитель положителен, поэтому получим a2 61. По условию задачи a>0, поэтому решением первого неравенства является множество (0; 1].

2. Решим второе неравенство:

Так как знаменатель больше нуля, далее рассматриваем только числитель

23

>

<

5x+3y 655

>

:y >0:

62

8

3x 4<8x+6;

<

23.2x 1>5x 4; : 11x 9<15x+3:

24.Найти количество целых решений системы неравенств

5.4. Домашнее задание

64

Найти наименьшее натуральное решение неравенств:

3.x> x15+2.

4.x 1 2 + x 1 1 > x1 .

31

5.Решить неравенство 9 x2 > 5.

:(x 4)(x+4)60:

12.Решить двойное неравенство 14 <x2 +x<0.

13.Найти число целых решений системы неравенств x 8 8 < x+1 7 6 81x, принадле-

жащих промежутку [ 9; 2).

14. Найти наименьшее целое решение системы неравенств

2< 9x2 6x+9 <4: 2x2 +2

15. Найти значение параметра a, при котором наибольшее отрицательное решение

неравенства ax+8 6 4 равно 4. x

16. Найти все значения параметра a, при которых из неравенства ax2 x+1 a<0 следует неравенство 0<x<1.

5.5. Проверочный тест

1. Решение неравенства

x+1

2 x <1

имеет вид

1) (12 ; +1); 2) (12 ; 2); 3) (1; 12 ); 4) (1; 2)[(12 ; +1); 5) (1; 12 )[(2; +1):

65

5.6. Ответы

Аудиторные задачи:

1. 2; 2. 5; 3. 0; 4. 1; 5. 4; 6. 2; 7. 3; 8. 11; 9. ( 3; 2)[( 2; 1=3)[(0; 1=3)[ (2; +1); 10. ( 2; 3]; 11. ( 3; 3); 12. ( 1; 0)[[1=3; 1); 13. 2; 14. 3; 15. 3,5; 16. 3; 5;

1.2; 2. 0; 3. 4; 4. 3; 5. ( 3; 3); 6. 1; 7. 23; 8. 1; 9. 4; 10. 3; 11. [ 4; 1)[(3; 4];

12.( 1; 1=2)[( 1=2; 0); 13. 1; 14. 1; 15. 2; 16. a2(1=2; 1].

6. Алгебраические неравенства

Иррациональные неравенства и их системы. Область допустимых значений. Неравенства, содержащие знак модуля, и их системы. Схемы решения. Равносильные преобразования неравенств и систем неравенств, неравенства с параметром.

6.1. Справочный материал

Иррациональные неравенства

Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в котором неизвестная величина (или некоторые функции неизвестной величины) находятся под знаком радикала.

Для того чтобы найти множество решений иррационального неравенства, приходится, как правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень (избавляться от корней). При этом необходимо следить за тем, чтобы при преобразовании неравенств каждый раз получалось неравенство, эквивалентное данному.

Нужно помнить, что при возведении в нечетную степень обеих частей неравенства получается неравенство, эквивалентное данному на области допустимых значений. Если же обе части неравенства возводить в четную степень, то будет получаться неравенство, эквивалентное исходному и имеющее тот же знак лишь в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

Схема решения иррационального неравенства следующая:

1.Найти ОДЗ.

2.Разбить ОДЗ на промежутки так, чтобы на каждом из полученных промежутков обе части неравенства сохраняли знак.

3.На каждом из полученных промежутков решить неравенство (например, возведением в соответствующую степень).

4.Взять объединение получившихся решений.

67

Решение неравенств, содержащих неизвестную величину под знаком модуля

Для решения таких неравенств обычно избавляются от знаков модуля. Для этого надо отметить на координатной оси все точки, при переходе через которые меняет знак хотя бы одна из функций, находящихся в неравенстве под знаком модуля. Таким образом координатная ось разбивается на некоторое число промежутков. На каждом таком промежутке неравенство заменяется на другое неравенство, не содержащее знаков абсолютной величины и равносильное исходному неравенству на этом промежутке. Каждое из полученных неравенств решается, а из полученного множества решений отбираются те, которые лежат на рассматриваемом промежутке. Они и будут решениями исходного неравенства на этом промежутке. Наконец, для того, чтобы выписать все решения исходного неравенства, объединяют все его решения, найденные на этих промежутках.

Неравенства вида

можно решать предложенным выше способом, однако иногда бывает проще заменить неравенства вида (1) равносильными им неравенствами

f2(x)>g2(x) и f2(x)<g2(x):

Иногда возведение в квадрат неравенства, содержащего абсолютную величину, можно проводить на некотором множестве M.

6.2. Примеры

Пример 1. Решить неравенство

p p p

x+3< x 1+ x 2:

Решение. Область допустимых значений неравенства представляет собой промежуток [2; +1).

Обе части неравенства на этом промежутке неотрицательны, поэтому, возводя обе части исходного неравенства в квадрат и приводя подобные члены, получим эквивалентное (на ОДЗ) неравенство

Рассмотрим теперь два возможных случая:

1)Если 6 x<0 (т. е. x>6), то левая часть (2) отрицательна, а правая часть неотрицательна и, следовательно, неравенство (2) справедливо при всех x2(6; +1).

2)Если 6 x>0, то для всех x2[2; 6] обе части неравенства (2) неотрицательны. Возводя обе эти части в квадрат, получаем неравенство

3x2 28>0;

решениями которого (с учетом сделанного предположения) будут значения из про-

p

межутка (2 7=3; 6].

68

Объединяя множества полученных решений получаем ответ.

!

r

Ответ: 2 73; +1 .

Пример 2. Решить неравенство

x2 j5x 3jx<2:

Решение. Для освобождения от знаков абсолютной величины разобьем координатную ось на две области: первую, в которой 5x 3>0, и вторую, в которой 5x 3<0,

ибудем искать решения исходного неравенства в каждой из этих областей отдельно.

Впервой области j5x 3j=5x 3 и неравенство перепишется так:

x2 5x+3 x<2:

p p

Решения этого неравенства образуют интервал 3 8<x<3+ 8. Из этого множества p

в рассматриваемую область x>3=5 попадает промежуток 3=56x<3+ 8. Все эти x будут решениями исходного неравенства в первой области.

Во второй области j5x 3j= (5x 3) и исходное неравенство перепишется так: x2 +4x 5<0:

Множество решений этого неравенства есть интервал 5<x<1. Из данного множества в рассматриваемую область x<3=5 попадает интервал 5<x<3=5. Все эти x и будут решениями исходного неравенства во второй области. Поскольку множество решений исходного неравенства является объединением множеств решений в

первой и во второй областях, т. е. объединением двух промежутков 5<x<3=5 и p p

3=56x<3+ 8, то это множество есть интервал 5<x<3+ 8. p

Ответ: 5<x<3+ 8.

Пример 3. Решить неравенство

j5x 13j j6 5xj>7:

Решение. Для освобождения от знаков абсолютной величины разобьем координатную ось на три области: первую, в которой x>13=5, вторую, в которой 6=5<x< 13=5, и третью, в которой x66=5.

В первой области j5x 13j=5x 13, j6 5xj= (6 5x) и неравенство перепишется так:

5x 13+(6 5x)>7:

Это неравенство решений не имеет. Следовательно, и исходное неравенство не имеет решений на множестве x>13=5.

Во второй области j5x 13j= (5x 13), j6 5xj= (6 5x) и исходное неравенство перепишется так:

5x+13+(6 5x)>7:

Множество решений этого неравенства есть промежуток x66=5. Из этого множества в рассматриваемую область не попадает ни одно x. Значит, во второй области исходное неравенство решений не имеет.

69

В третьей области j5x 13j= (5x 13), j6 5xj=6 5x и исходное неравенство перепишется так:

5x+13 6+5x>7:

Этому неравенству удовлетворяет любое действительное число, а значит, и любое число из третьей области x66=5. Следовательно, множество решений исходного неравенства есть промежуток x66=5.

Ответ: 1<x66=5.

Пример 4. Решить неравенство

jx2 +xj>jx2 xj:

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству

(x2 +x)2 >(x2 x)2;

т. е. неравенству

x3 >0:

Решениями этого неравенства, а значит и исходного, являются все x из промежутка x>0.

Ответ: 0<x<+1.

Пример 5. Найдите все значения x, при которых точки графика функции p p

y = x2 7; 1x+0; 7+ 10x 1 лежат не выше оси абсцисс. Решение. Из условия задачи следует неравенство

Единственный корень второго уравнения x=0; 1 является и корнем первого уравнения, поэтому решение задачи – число x=0; 1.

ляется множество (1; 10][[14; +1), с учетом неотрицательности получим t>14,

70