adapt_curs

1)60 ; 2) 30 ; 3) 90 ; 4) 45 ; 5) 100 :

5.Если длины сторон треугольника ABC относятся как 4:5:6, а длина меньшей стороны подобного ему треугольника A0B0C0 равна 0,8, то сумма длин двух других сторон подобного треугольника A0B0C0 равна

1)8; 5; 2) 3; 3) 2; 2; 4) 3; 5; 5) 4:

6.В круге через концы хорды, длина которой равна 30, проведены две касательные до пересечения в точке A. Тогда расстояние от точки A до хорды, если радиус

окружности равен 17, равно

1)3; 2) 1; 3) 1; 5; 4) 2 3; 5) 0; 5:

8.Сторона ромба равна 12, а острый угол его равен 30 . Найдите радиус вписанного круга.

9.В равнобокую трапецию, периметр которой равен 40, вписана окружность радиуса 3. Найти площадь трапеции.

10.В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 5, а косинус угла при основании равен 0,6. Найти радиус вписанного круга.

14.6. Ответы

Аудиторные задачи:

1.5; 2. 30 ; 3. 3; 4. 4 см; 5. 40; 6. 19; 7. 24; 8. 0,5; 9. 7,5; 10. 12,5; 11. 3; 12. 180;

13.7; 14. 45 ; 15. 2,4; 16. 37; 17. 7,2; 18. 0,1; 19. 2; 20. 3110; 21. 25l2; 22. 5; 23. 20; 24.

;

15.Планиметрия. Различные геометрические фигуры на плоскости

Параллелограмм, свойства и признаки параллелограмма. Прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция. Средняя линия трапеции. Свойство диагоналей в ромбе. Вписанные и описанные многоугольники. Свойство четырехугольника, вписанного в окружность. Свойство четырехугольника, описанного вокруг окружности. Окружность, вписанная в треугольник, ее центр и радиус. Площадь треугольника,

161

параллелограмма, ромба, прямоугольника, трапеции. Длина окружности, число . Площадь круга, площадь сектора.

15.1. Справочный материал

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны называется параллелограммом (рис. 19).

Свойства параллелограмма:

1)противоположные стороны параллелограмма равны;

2)противоположные углы параллелограмма равны;

3)диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам;

4)сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его

сторон:

5) площадь параллелограмма вычисляется по формуле

1

S =ab sin = 2d1d2 sin :

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом. Свойства ромба:

1)диагонали ромба взаимно перпендикулярны;

2)диагонали ромба являются биссектрисами его углов;

3)площадь ромба вычисляется по формуле

1

S = 2d1 d2:

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником. Площадь прямоугольника равна

S =ab:

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непарал-

лельны, называется трапецией (рис. 20). Площадь трапеции вычисляется по формуле

S = a+2 b h:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Свойства вписанных и описанных четырехугольников:

1)четырехугольник можно вписать в круг тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 ;

2)если четырехугольник описан около круга, то суммы его противоположных сторон равны между собой.

162

15.2. Примеры

Пример 1. Средняя линия равнобокой трапеции, описанной около круга, равна 68 см. Определить радиус этого круга, если нижнее основание трапеции больше верхнего на 64 см.

Решение. Если чертеж выполнен неаккуратно, то может показаться, что средняя линия трапеции является диаметром круга. Из рис. 23 видно, что это не так.

BC +AD =68 (по свойству средней линии трапеции):

2

AD BC =64 (по условию):

Решая эту систему уравнений, получаем AD =100, BC =36. По свойству описан-

p p

AB2 =AE2 + BE2. Отсюда BE = AB2 AE2 = 682 322 =60. Зная, что BE =2R, имеем R=30:

Ответ: 30 см.

Пример 2. Сторона ромба равна 5, а одна из диагоналей равна 6. Найти вторую диагональ.

Решение. Так как ромб является и параллелограммом, то по формуле (1) получаем, что квадрат второй диагонали равен

d22 =4a2 d21 =100 36=64:

Тогда d2 =8.

Ответ: Вторая диагональ равна 8.

Пример 3. В параллелограмме ABCD известны: сторона AB равна a, сторона BC равна b и \ABC = . Найти площадь треугольника, образованного вершиной B и центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB.

B C

O2

O1K

A D

Рис. 27

163

Решение. Пусть O1 центр окружности, вписанной в треугольник DAB; O2 центр окружности, вписанной в треугольник BCD (рис. 27). Очевидно, что четырехугольник BO2DO1 является ромбом (O1B =O1D как радиусы окружности, описанной вокруг треугольника DAB; O2B =O2D как радиусы окружности, описанной вокруг треугольника BCD; треугольники DAB и BCD равны, поэтому радиусы описанных вокруг них окружностей также равны).

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Тогда

BK2

SBO1O2 =O1K BK = tg \BO1K :

Углы \BO1K и \BAD равны, так как вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, а

Осталось найти сторону BD. Ее находим из треугольника DAB по теореме косинусов:

BD2 =AB2 +AD2 2 AB AD cos \BAD; BD2 =a2 +b2 2ab cos(180 );

BD2 =a2 +b2 +2ab cos :

Подставляя это выражение в (2), получаем

Ответ: площадь треугольника BO1O2 равна

a2 +b2 +2ab cos : 4 tg

15.3. Аудиторные задачи

1.Сторона ромба равна 17, а одна из диагоналей 30. Найти длину второй диагонали.

2.Найти тупой угол ромба, если высота, проведенная из его вершины, делит противоположную сторону пополам.

3.В прямоугольнике ABCD проведена диагональ AC. Известно, что угол ACB в восемь раз меньше угла CAB. Найти угол CAB.

4.Периметр прямоугольника равен 92. Одна из его сторон больше другой на 4. Найти большую сторону прямоугольника.

5.В параллелограмме сторона AB равна 6, диагонали равны 9 и 5. O точка пересечения диагоналей. Чему равен периметр треугольника AOB?

164

6.Периметр параллелограмма равен 60. Найти площадь параллелограмма, если его стороны относятся как 2:3, а острый угол равен 30 .

7.Параллелограмм, периметр которого равен 44, разделен диагоналями на четыре треугольника. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 6, найти большую сторону параллелограмма.

8.Параллелограмм и прямоугольник имеют соответственно равные стороны. Площадь параллелограмма в два раза меньше площади прямоугольника. Найти тупой угол параллелограмма.

9.В параллелограмме ABCD длина стороны AD равна 10, биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке P . Средняя линия трапеции AP CD равна 6, найти периметр параллелограмма.

10.Диагонали параллелограмма равны 6 и 8, а угол между ними равен 30 . Найти площадь параллелограмма.

11.В равнобедренной трапеции высота равна 14, основания равны 12 и 16. Найти площадь круга, описанного около трапеции.

12.Меньшее основание трапеции равно 4, большее основание больше средней линии на 4. Найти длину средней линии.

13.Периметр равнобедренной трапеции равен 36, а средняя линия равна 10. Найти боковую сторону трапеции.

14.Один из углов ромба равен 60 , диагональ, проведенная из вершины этого угла p

равна 4 3. Найти периметр ромба.

15.Прямая CF параллельна боковой стороне трапеции и делит основание AD на отрезки AF =9 и F D =5. Найти длину средней линии.

16.Длина стороны ромба равна 10, диагонали относятся как 3:4. Найти площадь ромба.

17.В трапеции ABCD боковые стороны AB и CD продлены до пересечения в точке E. Известно, что AB =1, CD =3, BE =2. Найти EC.

18.Углы при основании трапеции равны 90 и 45 . Одно основание в два раза больше другого и равно 24. Найти меньшую боковую сторону трапеции.

19.В равнобедренной трапеции основания равны 6 и 10. Диагональ 10. Найти площадь трапеции.

20.Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются в точке E, CE : AE =3:1, площадь треугольника BCE равна 15, а площадь треугольника ADE вдвое больше площади треугольника ABE. Найти площадь четырехугольника ABCD.

21.Периметр описанной около окружности трапеции равен 30. Найти ее среднюю линию.

22.В равнобедренную трапецию с верхним основанием 1 вписана окружность еди-

ничного радиуса. Найти нижнее основание трапеции. p

23.Меньшая диагональ ромба равна 4 3, а его площадь 1,5. Найти величину тупого угла ромба.

24.Сторона ромба равна 4. Радиус окружности, вписанной в этот ромб, равен 1.

Найти величину острого угла ромба. p

25. В окружность радиуса R=3 3 вписан квадрат. Из одной вершины этого квадрата проведены две хорды, стягивающие дуги по 120 . Найти длину отрезка диагонали квадрата, заключенного между этими хордами.

165

26. Периметр прямоугольника ABCD равен 24. Точка O принадлежит прямоугольнику. Найти сумму расстояний от этой точки до всех сторон прямоугольника.

27. В параллелограмме ABCD высота BE делит сторону AD в точке E пополам. Найти сторону AB, если периметр параллелограмма равен 7, а периметр треугольника ABD равен 5.

28. Диагонали параллелограмма равны 17 и 19. Одна сторона 10. Найти другую сторону.

29. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, у которого отношение длины описанной окружности к стороне многоугольника равно 2 ?

30. Центр правильного двенадцатиугольника точка O соединен с двумя соседними вершинами A и B. Найти расстояние от точки A до отрезка OB, если длина отрезка OB равна 20.

31. Около правильного многоугольника описана окружность, в него же вписана еще одна окружность. Площадь получившегося кольца равна 64 . Найти длину стороны многоугольника.

32. В правильный шестиугольник вписана окружность, которая в свою очередь p

описана около квадрата со стороной 4 12. Найти площадь шестиугольника.

33. Найти расстояние между параллельными сторонами правильного шестиуголь- p

ника, если радиус описанной около него окружности равен 10 3.

34.В выпуклом пятиугольнике два внутренних угла прямые. Остальные относятся между собой как 2:3:4. Найти больший угол.

35.В трапеции, площадь которой равна 161, высота 7, а разность параллельных сторон 11, найти длину большего основания.

36.Найти высоту прямоугольной трапеции, у которой большая боковая сторона равна 5, а разность длин оснований равна 4.

37.Отрезок длины 5 соединяет боковые стороны трапеции и параллелен ее основаниям, равным 2 и 9. Найти отношение, в котором этот отрезок делит площадь

Найти радиус этого круга, если нижнее основание трапеции больше верхнего на 64. 41. Найти площадь трапеции по разности оснований, равной 14, и двум не параллельным сторонам, равным 13 и 15, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.

42. В равнобедренной трапеции диагональ делит острый угол пополам. Найти среднюю линию трапеции, если ее периметр равен 48, а большее основание 18.

43. В равнобедренной трапеции одно из оснований в два раза больше каждой из p

остальных сторон. Найти площадь трапеции, если ее высота равна 5 4 3.

44. Один из углов трапеции равен 30 . Боковые стороны при продолжении пересекаются под прямым углом. Найти меньшую боковую сторону трапеции, если ее

средняя линия равна 10, а меньшее основание равно 8.

166

45. Площадь ромба равна 20, а радиус вписанной окружности равен 2. Найти сумму диагоналей ромба.

15.4. Домашнее задание

1.В трапеции ABCD BC и AD основания, O точка пересечения диагоналей, AD =18, AO =10 и OC =5. Найти BC.

2.Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание равно 3, периметр равен 42. Найти площадь трапеции.

3.Найти боковую сторону равнобедренной трапеции, описанной около круга, если

острый угол при основании трапеции равен 6 , а площадь трапеции 288.

4. Около окружности описана трапеция, площадь которой равна 20, а синусы углов при основании равны 0,8. Найти длину средней линии трапеции.

5. В равнобедренной трапеции острый угол равен 30 , радиус вписанной в трапецию окружности равен 2. Найти длину средней линии трапеции.

6. В прямоугольной трапеции боковая сторона равна основанию и составляет с ним p

угол 120 . Найти площадь трапеции, если ее меньшее основание равно 2 4 3.

7. Найти радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, меньшая диагональ которого равна 22.

8. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна средней линии, периметр трапеции равен 48. Найти длину боковой стороны.

9. В окружность вписаны правильные шестиугольник и треугольник. Найти отношение площади шестиугольника к площади треугольника.

10. Найти длину окружности, вписанной в равнобедренную трапецию с основаниями 8 и 2.

11. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, у которого отношение длины p

описанной окружности к стороне многоугольника равно 2?

12.В параллелограмме ABCD проведена высота BK. Известно, что \ABK =30 , AK =5, KD =8. Найти углы и стороны параллелограмма.

13.В параллелограмме боковая сторона равна 8 и острый угол при основании

2

угол 60 . Найти длину второй диагонали, если она составляет с тем же основанием угол 45 .

16.Диагонали трапеции ABCD с основаниями AB и CD пересекаются в точке H. Площадь треугольника CDH равна 12, AB :CD =1:2. Найти площадь трапеции.

17.Сумма острых углов трапеции 90 , высота равна 2, а основания 12 и 16. Найти боковые стороны трапеции.

18.Отрезок длины 7 соединяет боковые стороны трапеции и параллелен ее основаниям, равным 3 и 9. Найти отношение, в котором этот отрезок делит площадь трапеции.

167

19. Дан параллелограмм ABCD со сторонами AB =2, BC =3. Найти площадь этого параллелограмма, если известно, что диагональ AC перпендикулярна отрезку BE, соединяющему вершину B с серединой E стороны AD.

15.5. Проверочный тест

1.Средняя линия трапеции имеет длину 12 и делится диагональю на два отрезка, разность длин которых равна 3. Тогда длина большего основания трапеции равна

1)15; 2) 16; 3) 18; 4) 17; 5) 20:

2.Если в равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, вписана окружность радиуса 3, то площадь трапеции равна

1)120; 2) 60; 3) 100; 4) 40; 5) 80:

3.Если длина диагонали ромба, лежащей против угла 60 , равна 11,2, то периметр ромба равен

1)22; 4; 2) 44; 8; 3) 30; 4) 40; 5) 20; 6:

4.Если внутренние углы четырехугольника относятся как 2:2,5:9,5:10, то меньший

угол четырехугольника равен

1)30 ; 2) 45 ; 3) 60 ; 4) 15 ; 5) 20 :

5.Длина диагонали равнобедренной трапеции равна 12, длина боковой стороны

6. Если диагональ равнобедренной трапеции, равная 5, образует с основанием угол, синус которого равен 0; 6, то площадь трапеции равна

1) 9; 2) 16; 3) 10; 4) 8; 5) 12:

7. Окружность, вписанная в ромб ABCD касается стороны AB в точке M, причем p

AM :MB =2:3. Если площадь ромба равна 60 6, то радиус окружности равен

1)6; 2) 3; 3) 4; 4) 5; 5) 2:

8.В трапеции ABCD диагональ AC является биссектрисой угла A. Биссектриса

сторон AB, CD, EF соответственно.

10. Равнобедренная трапеция описана около окружности радиуса 4. Найдите тангенс p

угла при большем основании трапеции, если ее средняя линия равна 4 5.

15.6. Ответы

Аудиторные задачи:

1. 16; 2. 120 ; 3. 80 ; 4. 25; 5. 13; 6. 108; 7. 14; 8. 150 ; 9. 36; 10. 12; 11. 100 ; 12.

8; 13. 8; 14. 16; 15. 11,5; 16. 96; 17. 6; 18. 12; 19. 48; 20. 60; 21. 7,5; 22. 4; 23. 120 ;

168

24. 60 ; 25. 6; 26. 12; 27. 1,5; 28. 15; 29. 6; 30. 10; 31. 16; 32. 4,5; 33. 30; 34. 160 ;

16. Векторы на плоскости и в пространстве

Векторы на плоскости и в пространстве, линейные операции над векторами: сложение, вычитание, умножение на число. Метод координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между точками на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами в координатной форме. Длина вектора. Скалярное произведение векторов, его свойства. Угол между векторами. Условия перпендикулярности и коллинеарности векторов.

16.1. Справочный материал

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Расстояние между точками плоскости A и B, имеющими координаты соответственно (x1; y1) и (x2; y2), определяется по формуле

p

AB = (x2 x1)2 +(y2 y1)2: (1)

!

По этой же формуле определяется длина отрезка AB или модуль вектора AB. Координаты (xср; yср) середины отрезка AB определяют по формулам

169

!

Координаты вектора AB (x; y; z) находят по формулам

! ! ! !

AB =x i +y j +z k ;

! ! !

где i ; j ; k единичные векторы, направленные вдоль осей Ox, Oy, Oz соответственно.

Если вектор ! задан своими координатами , то его длину находят по a a1; a2; a3

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, выражается

!

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов a (a1; a2; a3)

!

и b (b1; b2; b3) имеет вид

Необходимым и достаточным условием параллельности (коллинеарности) нену-

! !

левых векторов a и b является существование такого числа , что

170