adapt_curs

3.6. Ответы

Аудиторные задачи:

1. 3; 2. 7; 3. Нет решений; 4. 0; 625; 5. 3; 6. 2, 3; 7. 0,5; 2; 8. 0; 9. 2/3; 10. 17;

16. a>6; 17. 8; 18. 0; 19. a= 4; 20. 0<n<8; 21. a2(11=9; +1).

4. Алгебраические уравнения и системы уравнений

Иррациональные уравнения, область допустимых значений. Уравнения с параметром и уравнения с модулем. Системы уравнений. Совместные и несовместные системы уравнений. Определенные и неопределенные системы уравнений. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графический способ решения. Линейные системы с параметром. Различные системы уравнений (рациональные и иррациональные). Системы уравнений с параметром.

4.1. Справочный материал

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям.

Уравнение вида

f(x) a(g(x))2 +b(g(x))+c=0

называют квадратным уравнением относительно g(x).

Для решения такого уравнения решают сначала квадратное уравнение

(замена переменной t=g(x)).

at2 +bt+c=0:

Если дискриминант D =b2 4ac этого уравнения положителен, то уравнение имеет два корня t1; t2, и в этом случае уравнение f(x)=0 равносильно совокупности

41

уравнений

Если же D <0, то квадратное уравнение, а значит, и уравнение f(x)=0 не имеют решений.

Иррациональные уравнения

Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком корня (радикала). Область допустимых значений иррационального уравнения состоит из тех значений неизвестного, при которых неотрицательны все выражения, стоящие под знаком радикалов четной степени.

Как правило, саму ОДЗ не находят, а после получения корней производят проверку.

Если функция y =f(x) определена и неотрицательна на множестве M, то на M справедливо тождество

Одним из основных методов решения иррационального уравнения является метод возведения в степень (избавление от иррациональности). При этом можно получить посторонние корни.

Этот метод часто сочетается с методом замены переменной.

Решение уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля

Нужно четко представлять, что в области существования функции y =f(x):

(

jf(x)j= f(x); для тех значений x, при которых f(x)>0,

f(x); для тех значений x, при которых f(x)<0.

42

При решении уравнений, содержащих функцию jf(x)j, обычно ОДЗ разбивают на две части M1 и M2. В первой из них выполняется неравенство f(x)>0, а во второй f(x)<0. Затем решают заданное уравнение отдельно в области M1, пользуясь тождеством jf(x)j=f(x), а затем в области M2, где справедливо jf(x)j= f(x). Объединяя множества решений из M1 и M2, получают множество решений исходного уравнения.

Может случиться так, что в уравнение входят несколько функций под знаком модуля. Тогда ОДЗ разбивают на большее количество областей, в каждой из которых все функции, входящие в заданное уравнение под знаком модуля, принимают или только неотрицательные, или только неположительные значения. Затем в каждой из выделенных областей решают заданное уравнение, пользуясь указанным выше тождеством, и, объединяя множества решений, полученных в каждой области, находят множество решений исходного уравнения.

Системы уравнений

Несколько уравнений от нескольких неизвестных, рассматриваемых совместно, называют системой уравнений. Решением системы называется упорядоченный набор значений неизвестных, обращающий все уравнения системы в тождества.

Решить систему это значит найти все решения системы или доказать, что система не имеет решений.

Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Система называется определенной, если она имеет единственное решение. Система называется неопределенной, если она имеет более одного решения.

При решении систем уравнений часто используются следующие преобразования системы, приводящие ее к системе уравнений, эквивалентной исходной.

1.Если обе части какого-либо уравнения системы домножить на одно и то же число (не равное 0), то полученная система будет эквивалентна первоначальной.

2.Если обе части какого-либо уравнения системы, умноженные на некоторое число, вычесть из соответствующих частей другого уравнения системы, то полученная система будет эквивалентна первоначальной.

Одним из основных методов решения систем уравнений является метод исключения. Из одного уравнения выражается одно из неизвестных и подставляется в оставшиеся уравнения. Получаем систему, состоящую из меньшего числа уравнений от меньшего числа неизвестных.

Решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

(

ax+by =c dx+ly =m

геометрически означает найти точку пересечения прямых ax+by =c и dx+ly =m. Исследовать эту систему достаточно легко.

43

то система имеет бесконечно много решений (прямые совпадают).

4.2. Примеры

Пример 1. Решить уравнение

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех чисел, удовлетворяющих неравенству x2 7x+10>0, т. е. является объединением двух промежутков x62 и x>5.

pp

(x 1)(x+2)= (x 1)(x+2)+(x+5)(x 3)

и, значит, уравнению

(x+5)(x 3)=0:

Получившееся уравнение имеет два корня x2 = 5 и x1 =3, из которых в множество x>1 попадает только x1 =3. Следовательно, исходное уравнение имеет только один корень x1 =3.

Ответ: x1 =3.

Пример 3. Решить уравнение

pp

x 2= 2x 1:

Решение. ОДЗ уравнения состоит из чисел x, удовлетворяющих неравенствам x 2>0 и 2x 1>0, т. е. имеет вид x>2. На ОДЗ обе части уравнения определены и неотрицательны, поэтому оно равносильно на ОДЗ уравнению

p p

( x 2)2 =( 2x 1)2;

44

Его корнями являются числа t1 =2, t2 =3. Возвращаясь к исходным неизвестным, получаем такие линейные зависимости между x и y:

x=2y; x=3y:

Подставляя последовательно x=2y и x=3y во второе уравнение системы, получаем для неизвестного y квадратные уравнения y2 =2 и y2 =1. Решая их, находим затем и

p p

Решение. Обозначая 4 1+5x=u, 4 5 y =v, получаем систему

(

u+v =3; u4 +v4 =17;

решения которой u=1; v =2 и u=2; v =1. (Эту систему можно решить, вводя неизвестные t=u+v и s=uv.) Возвращаясь к исходным неизвестным, получаем системы линейных уравнений

((

Решение первой системы x=3, y =4. Решение второй системы x=0, y = 11.

Ответ: (3; 4), (0; 11).

Пример 10. При каких значениях параметра p уравнение (x 4)jx pj=4 имеет три корня?

Решение. Уравнение имеет три корня, если графики функций y =(x 4)jx pj и y =4 имеют три общих точки. По определению модуля,

(

(x 4)(x p); x>p;

(x 4)jx pj=

(x 4)(x p); x<p:

Рассмотрим три случая.

1. Пусть p>4. Построим схематично графики функций (рис. 2а). Уравнение имеет три корня, если значение функции y =(x 4)jx pj в точке x0 больше 4.

Получим p>8.

2.Пусть p<4, тогда по графику определяем (рис. 2б), что прямая x=4 пересекает график функции y =(x 4)jx pj в одной точке.

3.Пусть p=4, тогда прямая x=4 пересекает график функции y =(x 4)jx pj в одной точке (рис. 2в).

47

Ответ: p>8.

4.3. Аудиторные задачи

11.p3x2 +1+p x2 +3=p 6x2 +10.

12.p2x+3+ px 2=2 x+1.

14.8x+1+ 3x 5= 7x+4+ 2x 2.

p p p

(x2 4) 18 2x2 +2x x2 5x+6=5(x 3) x 2:

21. Найти разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения x2 +

px2 = 14.

Решить уравнения с модулем:

22.jx+4j=2x.

23.jxj=j2x 5j.

24.j2x+1j=x.

48

21

34.x3 +4jxj3 5=0.

36.Найти сумму корней уравнения j x+9 7j=3.

37.При каком a уравнение jx 11j+jx+1j=a имеет только два корня?

38.При каких значениях a уравнение jx2 2axj=1 имеет три различных корня?

39.При каких b уравнение jx 2j x b=3 имеет единственное решение? Решить уравнения:

40.jx 1j 2jx 2j+3jx 3j=4:

41.j2 j1 jxjjj=1:

42.12 x2 2x+ 32 + 12 x2 3x+4 = 34 :

43.Найти сумму корней уравнения

p p p

3 5+x 2 3 5 x= 6 25 x2:

49