Векторная Алгебра-2013

Валерий Борисович Мнухин

Н-42: АЛГЕБРА и ГЕОМЕТРИЯ

2013, Семестр I

1. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

нений от m неизвестных x1 , x2 , . . . , xn , или сокращенно

ÑËÀÓ ñ n уравнениями от m неизвестных.

Величины aij , (i = 1; 2; : : : ; n, j = 1; 2; : : : ; m), называются коэффициентами при неизвестных, а

величины bi , (i = 1; 2; : : : ; n) свободными членами данной СЛАУ.

Определение 2. Решением СЛАУ называется такая упорядоченная совокупность чисел

(c1; c2; : : : ; cn);

что подстановка x1 = c1 , x2 = c2 , . . . , xn = cn превращает каждое из уравнений СЛАУ в тождество.

Утверждение 1. СЛАУ имеет либо

I единственное решение, либо

I бесчисленное множество решений, либо

I не имеет решений вообще.

Другими словами,

Если СЛАУ имеет два различных решения, то она имеет бесчисленное множество решений.

Идея доказательства. Допустим, что СЛАУ имеет два различных решения

(c1; c2; : : : ; cn) è (d1; d2; : : : ; dn);

и покажем, что тогда

³ ´ c1 + t(c1 ¡ d1); c2 + t(c2 ¡ d2); : : : ; cn + t(cn ¡ dn)

тоже является решением той же самой СЛАУ, для каждого t 2 R. Поскольку действительных чисел бесчисленное множе-

Определение 3. СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если СЛАУ не имеет ни одного решения, она называется несовместной.

Определение 4. Две СЛАУ называются равносильными èëè

эквивалентными, если каждое решение одной из них является и решением другой. Другими словами, множества решений равносильных СЛАУ совпадают.

Рассмотрим следующие преобразования СЛАУ:

1.Перестановка местами любых двух уравнений системы;

2.Умножение любого уравнения системы на произвольное

отличное он нуля число;

3.Исключение из системы уравнения вида

0 ¢ x1 + 0 ¢ x2 + : : : + 0 ¢ xm = 0 ;

4.Прибавление к какому-нибудь уравнению системы любого другого уравнения, умноженного на произвольное число.

Определение 5. Перечисленные выше преобразования СЛАУ называются элементарными Гауссовыми преобразованиями в честь великого немецкого математика и физика Иоганна Карла Фридриха Гаусса (1777 1851), называемого иногда ¾королем математиков¿.

Утверждение 2. Элементарные Гауссовы преобразования не меняют множество решений СЛАУ. Другими словами, каждое из этих преобразований переводит СЛАУ в систему, эквивалентную исходной.

Метод Гаусса решения СЛАУ заключается в приведении системы с помощью элементарных преобразований к специальному виду, называемому трапециедальным èëè лестнич- ным.

Пример лестничной системы показан на рисунке, где ~ îçíà-

чает ненулевые члены, а ¤ произвольные (может быть, и

нулевые).

2. Матрицы

Решая СЛАУ методом Гаусса, удобно пользоваться матрицами.

Определение 6. Матрицей размера n £ m называется таб-

ëèöà ñ n строками и m столбцами, состоящая из элементов

произвольной природы.

Как правило, мы будем рассматривать матрицы, элементами которых являются числа, но время от времени нам будут встречаться матрицы, состоящие из функций или даже из других матриц. Обычно матрицы будут обозначаться одной буквой, например

³´

A = aij ; (i = 1; : : : ; n; j = 1; : : : ; m);

ãäå aij элемент матрицы, стоящий на пересечении i-той строки и j -того столбца.