Векторная Алгебра-2013

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

¡4R3 + R1 ! R1

¡4R3 + R1 ! R1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

533.29 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Определитель при Гауссовых операциях

Пусть jAj определитель порядка n.

I Если произвольная строка или столбец определителя jAj умножается на константу ®, то и сам определитель умножается на эту константу:

jAj®Ri ! Ri = ®jAj

I Если переставить местами в определителе jAj любые две строки (или любые два столбца), то jAj меняет

çíàê:

jAjRi $ Rj = ¡jAj

IЕсли к любой строке (столбцу) определителя прибавить

любую другую строку (столбец), умноженный на произвольную константу ®, то определитель не изменится

jAj®Ri + Rj ! Rj = jAj

ЗАМЕЧАНИЕ. Из перечисленных свойств следует, что хотя значение определителя квадратной матрицы и может меняться при элементарных Гауссовых преобразованиях,

нулевой определитель при этом всегда останется нулевым, а ненулевой ненулевым.

Для вычисления определителя следует привести его к треугольному виду с помощью элементарных Гауссовух преобразований

Пример 12.

Вычислить определитель

¡1

¯ :

Решение.

¡4

¡0

¡ ¡

4R1

+ R2

+ R

¡0 15

¡4

( 1)

¡0

¡4

¡ ¡

4 0

4R2 + R3

4 0

1 4

15R2 + R4

¯ ¡0

¡4 ¯

¯ ¡0

¡4 ¯

2R3 + R4

16 56

0 24

= 8

24 = 192 :

Из основной теоремы можно вывести еще одно важное свойство определителей.

Определение 13. Пусть A матрица из n строк и m столбцов. Заменяя в A строки на столбцы с теми же номерами, получим новую матрицу из m строк и n столбцов. Эта матрица называется транспонированной ê A и обозначается AT .

Например, если A =	0	2	¡1	4	1	;	òî AT =	0	2	0	1	:
	0	0	0	3	1			B	1	0	C
	@	0	0	3	A			B	¡4	3	C
	@				A			B			C
								@			A

Определитель не меняется при транспонировании

Åñëè A квадратная матрица, то jAj = jATj.

10 сентября 2013 г.

°c В. Мнухин

7. Некоторые применения СЛАУ

Определение 14. СЛАУ называется однородной, если все е¼ свободные члены равны нулю. Другими словами, однородная СЛАУ имеет вид

8 a11x1 + a12x2 + : : : + a1mxm = 0 ;
> a21x1 + a22x2 + : : : + a2mxm = 0 ;
>
>
>
>
>		;
>		;
<	¢a¢n¢1x¢ ¢1¢+¢ ¢a¢n¢2¢x¢2¢ ¢+¢ ¢:¢:¢:¢+¢ ¢a¢nm¢ ¢x¢ ¢m¢ ¢=¢ ¢ ¢ ¢0¢
>		:
>

Утверждение 3. Однородная квадратная СЛАУ имеет единственное решение в том и только том случае, когда

е¼ главный определитель ¢ отличен от нуля. При ¢ = 0 существует бесчисленное множество решений.

Доказательство. Заметим, что однородная СЛАУ всегда имеет нулевое решение x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0,. . . , xn = 0. Каждый

вспомогательный определитель ¢i квадратной однородной

СЛАУ содержит столбец из нулей и поэтому равен 0. Справедливость утверждения вытекает из правила Крамера. ¥

Пример 13.	Показать, что однородная СЛАУ с матрицей
	Показать, что однородная СЛАУ с матрицей
0		7 ¡ k	¡12		6		1
	B	10	¡19 ¡ k	10		k	C
	B	12	24	13	¡	k	C
@			¡		¡		A

имеет ненулевые решения только при k = ¡1 è ïðè k = 1. Решение.

Пример 14. Сетка состоит из четырех тонких металлических нитей, температура концов которых указана на рисунке и поддерживается постоянной.

Найти температуры x1 , x2 , x3 , x4 внутренних точек сетки,

если известно, что в каждой такой точке температура равна среднему арифметическому температур смежных с ней точек или концов нитей, например,

x1 = 40 + 0 + x2 + x3 : 4

Решение.	Запишем СЛАУ и найдем е¼ расширенную матри-
öó:	Запишем СЛАУ и найдем е¼ расширенную матри-
öó:			0							1
4x1 = 40 + x2 + x3				4	¡1	¡1 0
4x1 = 40 + x2 + x3				4	¡1	¡1 0			40
4x2	= 60 + x1	+ x4	B	¡1 0			4	¡1	60	C
3	1	4	B	1	4		0	1	80	C
4x = 80 + x + x			B	1	4		0	1	80	C
			B	¡	¡	¡		¡		C
			B		¡	¡				C
			@							A
4x4 = 20 + x2 + x3			B	0	1		1	4	20 C

Решим методом Гаусса.

0	4	¡1		¡1		0		40 R1				$ R2			0 ¡4			1		1	¡0	40 1
	4	¡1		¡1		0		40 R1				$ R2			0 ¡4			1		1	¡0	40 1
	1		4		0	1		80		1					B	1		4		0	1	80			C
B	¡1		0		4	¡1		60		C				»	B	1	¡0		¡4		1	60			C		4R1 + R2 ! R2
B	¡		1		1	¡		20		C					B	¡		1		1	¡	20			C		R1		+ R3	!	R3
B	0		1		1	4		20		C					B	0	¡	1	¡	1	4	20			C¡					!
B		¡		¡						C					B		¡		¡						C
@		¡		¡						A					@										A
	¡1					¡1									0	1		4		0	1			80		1
																1		4		0	1			80
			4		0				80			$		»		¡0		1		1	¡4			20				4R2 + R3				R3
B	0	¡	4	¡4		¡0		¡	20		C	$		»	B	0	¡4		¡4		0	¡		20		C		4R2 + R3			!	R3
0	0	15			1	4		360			1R2 R4				B											C
B	0		1		1	4			20		C				B	0	15		¡	1	4	360				C		15R2 + R4				R4
B		¡		¡							C				B				¡		¡					C					!
@		¡		¡							A				@											A					!
0 ¡0			1		1	¡4					20 1				0 ¡0			1		1	¡4					20 1
0 ¡0			1		1	¡4					20 1				0 ¡0			1		1	¡4					20 1
B	1		4		0		1				80	C		»	B	1		4		0	1					80		C
B	0	¡0		¡8			16				100	C		»	B	0	¡0		¡8		16				100			C
B	0		0		16	¡	56			¡	660	C		R4	B	0		0		0	¡		¡		460			C
B	0		0	¡	16		56				660	C2R3 + R4	!	R4	B	0		0		0	24				460			C
@				¡								A	!		@													A

	24x4	=	460	)	x4	=	460	= 19:17

							24
8x3	¡ 16x4	=	¡100	)	x3	=	155	= 25:83

							6
¡ x2 ¡ x3	+ 4x4	=	20	)	x2 =		185	= 30:83

							6
¡x1 + 4x2	¡ x4	=	80	)	x1 =		145	= 24:17

							6

ОТВЕТ:

x1	= 24:17±C ,	x2 = 30:83±C ,
x3 = 25:83±C ,		x4 = 19:17±C .

Пример 15. Найти квадратный многочлен a0 + a1x + a2x2 , проходящий через точки (¡2; 0), (2; 4) è (6; 0).

Решение. Пусть p(x) = a0 + a1x + a2x2 , тогда p(¡2) = 0, p(2) = 4

è p(6) = 0. Получаем систему уравнений и находим е¼ расши-

ренную матрицу:
8	a0 ¡ 2a1 + 4a2	= 0	0 1	¡2 4	0 1		:
8	a0 ¡ 2a1 + 4a2	= 0	0 1	¡2 4	0 1		:
>	a0 + 2a1 + 4a2	= 4	) 1	2 4	4
>
<			B			C
>			@			A
>			B 1		0 C
:	a0 + 6a1 + 36a2	= 0		6 36
	a0 + 6a1 + 36a2	= 0		6 36

B	1	¡2	4	0	C		R1 + R3		R3
B	1	2	4	4	C	¡R1 + R2		! R2
B	1	6	36	0	C	¡R1 + R2		! R2
@					A	¡		!

B	1	¡2	4	0	C	2R2 + R1 ! R1
B	0	1	0	1	C
B					C
@					A

08 32 0 ¡8R2 + R3 ! R3

Таким образом, a0 = 3, a1 = 1,

ОТВЕТ: p(x) = 3 + x ¡ x2

»	B	1	¡2	4	0	C	41R2 ! R2
»	B	0	4	0	4	C	41R2 ! R2
	B					C
	@	0	8	32	0	A
		0	8	32	0

	B	1	0	4		2	C
»	B	0	0	32	¡	8	C	1	R3	!	R3
	B	0	1	0	¡	1	C	32		!
	@						A

	B	1	0	0	3	C
»	B	0 0		1	1	C
	B	0	1	0	¡4	C
	@					A

a2 = ¡14 .

	4	H2,4L
	4
	2
H-2,0L				H6,0L
-4	-2	2	4	6	8
	-2
	-4			1	2
			pHxL=3+x-€€€€x
				4

Пример 16. Найти кубический многочлен

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3;

проходящий через четыре точки (¡2; 0), (2; 4), (6; 0) è (¡1; ¡4).

Решение.

8 a0 ¡ 2a1 + 4a2 ¡ 8a3 = 0

+ 8a3

= 4

> a0 + 2a1 + 4a2

> a

+ 6a

+ 36a

+ 216a

> a0 ¡ a1 + a2 ¡ a3 = ¡4

¡2 4

¡8

R1 + R2

216

¡R1 + R3

! R3

1 1

R1 + R4

0 0

¡1

¡7

4 1

+ R

224

8R2

+ R3

0 C

B 0 4 0 16

4 C

4R2 + R4

0 0

¡3

¡4 1

3R3

+ R2

! R2

0 2

2R3

+ R1

C ¡

B 0

0 12 12

20 C

12R3 + R4

1 ¡

¡16

+ R

1 !

1 0 16

12R

¡ 7

C ¡

16R4 + R2

0 1 3

¡84

3R4 + R3

				0		1		¡2							4		¡8						0		1
				0		1		¡2							4		¡8						0		1
				B		1					2				4				8				4		C
				B																					C
	¡!			B		1					6		36				216						0		C	:
				B		1		¡			1				1		¡		1		¡		4		C
				B				¡									¡				¡				C
	0			@													1 R2								A
		1		2	4			¡8								0
»		0	¡4		0 16											4					$		R4
»	B	0		8	32			224								0	C				$
	B	0		1	3				7							4	C
	B	0		1	3				7					¡		4	C
	B				¡									¡			C
	@																A
	0	0	1	¡3					7				¡4			1
	0	0	1	¡3					7				¡4			1
	B	1	0		2				6				8			C					!
	B			¡									¡			C					!
	B	0	0	¡				12					¡			C
	B	0	0	12				12					20			C
	B	0	0	56			¡						32			C								R3
» B		0	0	56				168					32			C 561 R3								R3
	@															A
	0	0	1	0			16						16		1
	0	0	1	0			16			¡			16		1
		1	0	0			12						48
	B	1	0	0			12						7		C
»	B	0	0	1				3					7		C
	B									¡			7		C
	@												4		A
	@														A
	B	0	0	0	¡		48						92		C			1		R4		!			R4
	B	0	0	0			48						92		C					R4					R4
	B												7		C		¡48
	0	1	0	0	0			¡	75			1
									75
									44
		0	1	0	0				44
	B								21			C
	B	0	0	0	1				23			C
	B							¡	21			C
	B							¡	84			C
» B		0	0	1	0			117				C
» B		0	0	1	0			84				C
	@											A

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.06.20154.13 Mб53Богута История философии в кратком изложении.rtf
#
11.09.2019475.65 Кб1борода.doc
#
19.11.2019451.58 Кб3Вар1.1.doc
#
20.07.2019224.26 Кб10Вариант№14.doc
#
18.11.20182.24 Mб94Введение в философию_2005_верно.doc
#
01.06.2015533.29 Кб17Векторная Алгебра-2013.pdf
#
19.12.20181.42 Mб91Верификация и сопровождение ИС.doc
#
13.07.20191.56 Mб4версия для печати.docx
#
08.07.201964.51 Кб8Виртуализация.doc
#
31.07.201964.57 Кб4Внешнеторговый баланс страны.docx
#
22.11.201932.66 Кб36Военка семенар.docx