Векторная Алгебра-2013
.pdfПример 1. Решить методом Гаусса: |
> x + y |
¡ 2z = 0 |
|
|
|
|
> |
+ z = 12 |
: |
|
|
8 x + y |
||
|
|
< |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
: |
= 6 |
|
|
|
> x ¡ y |
|
|
Решение. |
|
Запишем расширенную матрицу системы и прове- |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
дем над е¼ строками элементарные преобразования: |
|
|
|
|||||||||||||||||
0 |
1 |
1 |
2 |
|
1 |
R2 |
R1 |
R2 |
|
0 |
0 |
0 |
3 |
|
12 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
B |
1 |
1 |
1 |
12 |
C |
R3 |
¡ R1 |
! R3 |
s |
B |
1 |
1 |
1 |
|
12 |
C |
R3 |
|
R2 |
|
1 |
1 |
¡0 |
6 |
0 |
2 |
¡1 |
|
¡ 6 |
$ |
|||||||||||
B |
|
¡ |
|
|
|
C |
|
¡ ! |
|
B |
|
¡ ¡ |
|
¡ |
C |
|
|
|||
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
x + y + z = 12 ) x = 7 |
|
|
12 |
|
|||||||
s |
B |
0 |
¡0 |
¡3 |
12 |
C |
|
z = 4 |
|
B |
0 |
2 |
¡ |
¡ |
C |
) |
|||
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
|
|
ОТВЕТ: |
|
|
|
(x; y; z) = (7; 1; 4). |
|
||||
Пример 2. |
|
> |
2x1 |
|
+ 4x2 |
+ 8x3 |
|
+ 3x4 |
¡ 4x5 = |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
> |
|
x1 |
|
+ 2x2 + 4x3 |
|
+ x4 |
|
¡ x5 |
= 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
+ 3x2 + 7x3 |
|
|
|
+ 3x5 = ¡2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
> x1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
|
4 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
s |
|
|
|
|||||
|
|
|
B |
2 4 8 3 ¡4 |
|
2 |
CR2 ¡ 2R1 ! R2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
B |
1 3 7 0 3 |
|
2 |
C |
|
R1 |
|
R3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
B |
¡ |
CR3 |
¡ |
! |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 2 4 1 ¡1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
2 4 1 ¡1 |
|
1 |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
B |
0 0 0 1 ¡2 |
|
|
0 |
C |
|
|
|
s B |
0 |
1 3 ¡1 4 |
|
¡3 |
C |
|||||||
B |
|
|
¡ |
|
|
¡ |
|
C |
$ |
|
|
|
B |
|
|
|
|
¡ |
|
|
C |
B |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
||||
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
B 0 1 3 1 4 |
|
|
3 CR3 |
|
R2 |
|
|
B |
0 |
0 0 1 2 |
|
0 C |
|||||||||
Полагая x3 = s, x5 = t и перенося эти свободные переменные в правую часть, получим треугольную систему:
x1 + 2x2 + x4 = 1 ¡ 4s + t |
|
|
||||
|
x2 ¡ x4 = ¡3 ¡ 3s ¡ 4t : |
|
||||
|
x4 = |
|
2t |
|
|
|
находим |
|
|
|
|
|
|
Решая е¼, 8 x1 |
= 2s + 3t + 7; |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
> |
|
8 |
|
2 |
|
|
> |
|
|
|
|
||
> |
= ¡3s ¡ 2t ¡ 3; |
|
|
|
|
|
> x2 |
|
|
|
|
|
|
> |
= s; |
|
s; t |
|
R |
: |
> x3 |
|
|
|
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
> |
= 2t; |
|
|
|
|
|
< x4 |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
: |
= t; |
|
|
|
|
|
> x5 |
|
|
|
|
|
|
¥
10 сентября 2013 г. |
13 |
°c В. Мнухин |
3. Определители порядков 1,2 и 3
Рассмотрим решения уравнения ax = b при всех возможных
значениях a è b.
Правило Крамера для n = 1
I Åñëè a =6 0, то уравнение ax = b имеет единственное
решение
x = ab ;
Iåñëè a = 0, à b 6= 0, то это уравнение не имеет решений;
Iåñëè a = 0 è b = 0, то уравнение имеет бесчисленное множество решений.
Рассмотрим теперь решения системы
8
< a11x + a12y = b1 : a21x + a22y = b2
при всех возможных значениях коэффициентов aij и свобод- ных членов bi .
Пусть a11 6= 0. Из первого уравнения находим
x = b1 ¡ a12y:
a11
Подставляя во второе уравнение, получаем
a21 |
b1 ¡ a12y |
+ a22y = b2; |
èëè |
a11a22 ¡ a21a11 |
y = |
a11b2 ¡ a21b1 |
: |
|||||||
|
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
a11 |
|||
Значит, если a11a22 ¡ a21a11 6= 0, òî |
|
|
|
|
|
|||||||||
y = |
a11b2 |
¡ a21b1 |
; |
x = |
|
a22b1 |
¡ a12b2 |
: |
(проверьте!) |
|||||
a11a22 |
a11a22 |
|||||||||||||
|
|
¡ a21a11 |
|
¡ a21a11 |
|
|
|
|||||||
В отличие от метода Гаусса, мы представили решение СЛАУ второго порядка в виде формул.
Понятно, что точно также можно получить общее решение
системы 3-го порядка
8
>
> a x + a y + a z = b
< 11 12 13 1
> a21x + a22y + a23z = b2
>
: a31x + a32y + a33z = b3
Однако решения выглядят достаточно громоздко:
x = |
b1(a22a33 ¡ a32a23) ¡ b2(a12a33 ¡ a13a32) + b3(a12a23 ¡ a13a22) |
|
a11a22a33 ¡ a11a32a23 ¡ a12a21a33 + a12a31a23 + a13a21a32 ¡ a13a31a22 |
||
|
||
y = |
b1(a21a33 ¡ a23a31) ¡ b2(a11a33 ¡ a13a31) + b3(a11a23 ¡ a13a21) |
|
a11a22a33 ¡ a11a32a23 ¡ a12a21a33 + a12a31a23 + a13a21a32 ¡ a13a31a22 |
||
|
||
z = |
b1(a21a32 ¡ a22a31) ¡ b2(a11a32 ¡ a12a31) + b3(a11a22 ¡ a12a21) |
|
a11a22a33 ¡ a11a32a23 ¡ a12a21a33 + a12a31a23 + a13a21a32 ¡ a13a31a22 |
||
|
Понятно, что для СЛАУ порядка n > 3 выражения для реше-
ний будут ещ¼ более громоздкими. Заметим, что знаменатели этих выражений совпадают и представляют собой многочле- íû îò âñåõ n2 элементов матрицы СЛАУ. Рассмотрим свой-
ства этих многочленов, называемых определителями.
Определение 8. Åñëè A матрица второго порядка,
01
A = @ a b A; c d
òî å¼ определителем называется выражение ad ¡ bc, обозна- чаемое следующим образом:
ad |
¡ |
bc := |
¯ |
a |
b |
¯ |
: |
|
|
¯ |
c |
d |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
(Здесь := означает "равенство ¯по определению".)¯ |
|||||||
Не путать определитель |
¯ a b |
¯ |
с матрицей |
0 a b |
1 |
! |
|
|
¯ |
c d |
¯ |
|
c d |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
@ |
A |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
||
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
Определитель это число или алгебраическое выражение, а матрица таблица.
Иногда определители называют детерминантами. Опреде-
литель матрицы A обозначается jAj |
èëè det(A). |
|||||||||
|
¯ |
¡ |
3 |
¡ |
4 |
¯ |
¡ |
¡ |
¡ ¡ |
¡ ¡ |
Пример 3. |
¯ |
|
2 |
¯ |
= ( 1)( |
4) |
( |
3)2 = 4 ( 6) = 10. |
||
¯ |
¡1 |
|
¯ |
|||||||
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ. Определитель 2-го порядка равен разности произведений элементов на главной и побочной диагоналях.
Вспомним, что со СЛАУ |
|
|
|
|
связаны матрицы |
8 a11x + a12y = b1 |
|
|
|
: |
|
|
|
|
A = 0 a11 |
< a21x + a22y = b2 |
|
b1 1 |
|
a12 1 |
è A = 0 a11 a12 |
¯ |
||
|
|
|
|
|
@ |
A |
e @ |
¯ |
A |
¯ |
||||
a21 |
a22 |
a21 a22 |
¯ |
b2 |
¯ |
||||
|
|
|
¯ |
|
Определение 9. |
|
Определитель матрицы A называется ãëàâ- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ным определителем системы и обозначается |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
a11 |
a12 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ = |
|
A |
|
= |
¯ |
¯ |
= a11a22 |
|
|
a12a21: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
j |
|
¯ |
a21 |
a22 |
¯ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определители |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|||||
¢1 |
= |
¯ |
b1 a12 |
¯ |
= a22b1 |
¡ |
a12b2 |
è |
¢2 |
= |
a11 b1 |
= a11b2 |
¡ |
a21b1 |
||||||||||
|
|
¯ |
b2 a22 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
a21 b2 |
¯ |
|
|
|||
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
называются вспомогательными определителями.
Заметим, что найденные выше решения СЛАУ можно теперь записать так:
åñëè ¢ 6= 0, òî x = |
¢1 |
è y = |
¢2 |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
¢ |
|
¢ . |
|||
Более того, справедлив следующий общий результат:
Правило Крамера для n = 2
Для произвольной системы8
< a11x + a12y = b1 : a21x + a22y = b2
двух уравнений с двумя неизвестными справедливо следующее:
I åñëè ¢ 6= 0, то СЛАУ имеет единственное решение
|
¢ |
|
|
¢ |
|
x = |
1 |
|
y = |
2 |
; |
¢ |
è |
¢ |
Iåñëè ¢ = 0, à ëèáî ¢1 6= 0, ëèáî ¢2 6= 0, то данная СЛАУ несовместна (не имеет решений);
Iåñëè ¢ = ¢1 = ¢2 = 0, то СЛАУ имеет бесчисленное множество решений.
Можно ли записать аналогичным образом решения произвольной квадратной СЛАУ?
Как ввести определители n £ n-матриц?
Пусть задана матрица третьего порядка
|
|
a |
a |
a |
1 |
A = |
0 a11 |
a12 |
a13 |
||
|
B a31 |
a32 |
a33 |
C |
|
|
B |
|
|
|
C |
|
@ |
21 |
22 |
23 |
A |
|
|
|
|||
Определение 10. |
|
|
Определителем 3-го порядка называется |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
выражение |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ ¡ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ a31 |
a32 ¯ |
|||||
j j |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
a32 |
a33 |
|
|
a31 |
a33 |
|
|
|||||||||
A |
= |
¯ |
a11 |
a12 |
a13 |
¯ |
= a |
|
¯ |
a22 |
a23 |
¯ |
a |
|
¯ |
a21 |
a23 |
¯ |
+ a |
|
¯ |
a21 |
a22 |
¯ |
|
|
|
¯ |
a31 |
a32 |
a33 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
¯ |
a21 |
a22 |
a23 |
¯ |
|
11 |
¯ |
|
|
¯ |
|
12 |
¯ |
|
|
¯ |
|
13 |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|||||||
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом,
jAj = a11(a22a33 ¡ a32a23) ¡ a12(a21a33 ¡ a31a23) + a13(a21a32 ¡ a31a22)
= a11a22a33 ¡ a11a32a23 ¡ a12a21a33 + a12a31a23 + a13a21a32 ¡ a13a31a22 :
ЗАМЕЧАНИЕ. Без паники!
Определители 3-го порядка можно вычислять двумя способами.
Пример 4. СПОСОБ 1: Разложение по первой строке:
|
¯ |
¡ |
2 |
¡ |
2 |
|
1 |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
5 |
2 |
¯ |
¡ |
|
¯ |
4 |
2 |
¯ |
|
¡ |
|
¯ |
|
4 |
5 |
¯ |
|
|
|
|||||||
|
¯ |
4 |
5 |
|
2 |
¯ |
|
|
|
¯ |
¡ |
¯ |
|
¯ |
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
¯ |
|
|
|
¯ |
= 3 |
¯ |
|
1 |
¯ |
|
3 |
¯ |
¡ |
1 |
¯ |
+ ( 1) |
¯ |
¡ |
¡ |
|
¯ |
= |
|
|
|||||||||||||||
|
¯ |
¡ |
3 |
¡ |
3 |
¡1 |
¯ |
¯ |
¡2 |
¯ |
|
¯ |
¡2 |
¯ |
¯ |
¡2 |
¡2 |
¯ |
|
|
||||||||||||||||||||
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|||
= 3 |
(¯ |
2)2 |
( |
5) |
¯ |
|
3 |
|
( |
|
2)2 |
|
|
( |
4) |
+ ( |
|
|
1) |
( |
|
2)( |
|
|
5) |
( |
|
|
4)( |
|
2) |
|||||||||
³ |
¡ ¡ |
¡ |
´ |
¡ |
|
³ |
¡ |
|
¡ ¡ |
|
´ |
|
¡ |
|
³ |
|
¡ |
|
|
¡ |
|
¡ |
¡ |
|
|
¡ |
´ |
|||||||||||||
= 3(¡4 + 5) ¡ 3(¡4 + 4) ¡ (10 ¡ 8) = 3 ¡ 2 = 1 :
Второй способ вычисления определителей 3-го порядка называется правилом треугольников (èëè правилом Саррюса) в честь французского математика Пьера Фредерика Саррюса (1798 1861).
Правило Треугольников или Правило Саррюса:
положительные члены отрицательные члены
Пример 5.
¯ |
2 |
2 |
1 |
¯ |
³ |
|
|
´ |
¯ |
¡ ¡ |
|
¯ |
¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ |
¢ ¢ ¡ |
|||
¯ |
4 |
5 |
2 |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
¡ |
¡ |
¡1 |
¯ |
= + 3 ( 2) 2 + ( 2) ( 5) ( 1) + 3 1 ( 4) |
|
||
¯ |
3 |
3 |
¯ |
|
||||
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
³ |
|
|
´ |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
||
¡(¡1) ¢ (¡2) ¢ (¡4) + 3 ¢ (¡2) ¢ 2 + 3 ¢ (¡5) ¢ 1
=1
³´
ЗАМЕЧАНИЕ. Åñëè A = a11 матрица 1-ãî порядка, то е¼ определителем является число a11 :
³´
det A = a11 = a11 :