Векторная Алгебра-2013
.pdf
10 сентября 2013 г. |
71 |
°c В. Мнухин |
14. Смешанное произведение
Определение 21. Смешанным произведением упорядочен-
¡! ¡! ¡!
ной тройки векторов a , b , c называется число
¡! ¡! ¡! ¡! ¡! !¡
( a ; b ; c ) = ([ a ; b ]; c ):
Свойства:
¡! ¡! ¡!
1) ( a ; b ; c ) - ориентированный объ¼м параллелепипеда, по-
¡! ¡! ¡!
строенного на векторах a , b , c
2) Если векторы заданы своими координатами в ДПСК,
¡! |
= a1!¡i + a2¡!j + a3¡! |
|||||||
a |
|
1¡! |
|
2¡! |
|
k ; |
||
¡! |
|
|
|
3¡! |
|
|||
b = b |
i + b |
j + b |
k ; |
|||||
¡! |
|
1¡! |
|
2¡! |
|
3¡! |
|
|
c = c |
i + c |
j + c |
k ; |
|||||
òî |
|
|
¯ |
a1 |
a2 |
a3 |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
b1 |
b2 |
b3 |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
(¡! ¡! ¡! |
¯ |
|
|
|
¯ |
|||
¯ |
|
|
|
¯ |
||||
a ; b ; c ) = |
|
|
|
|
¯ |
|||
|
|
|
¯ |
|
|
|
||
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
c1 |
c2 |
c3 |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
¯ |
||||
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
Геометрический смысл определителя
Значение определителя 3-го порядка по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на строках данного определителя как векторах в ДПСК. Знак
определителя зависит от их ориентации (плюс если векторы расположены подобно пальцам правой руки, минус если левой).
3) Смешанное произведение не изменяется при круговой перестановке векторов:
¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡!
( a ; b ; c ) = ( c ; a ; b ) = ( b ; c ; a );
и меняет свой знак при других перестановках:
(¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! !¡ |
!¡ |
!¡ |
¡ |
¡! ¡! ¡! |
b ; a ; c ) = ( c ; b ; a ) = ( a ; c ; b ) = |
|
( a ; b ; c ): |
||
4) Три вектора когда
¡! ¡! ¡!
a ; b ; c компланарны тогда и только тогда,
¡! ¡! ¡!
( a ; b ; c ) = 0:
5) Смешанное произведение обладает свойством линейно-
¡! 3
сти: для любой константы ¸ 2 R и для любого вектора d 2 R
выполняются соотношения:
a ; b ; c ) = ( a ; ¸ b ; c ) = ( a ; b ; ¸ c ) = ¸( a ; b ; c ); |
|||||
(¸¡! !¡ !¡ |
¡! |
¡! ¡! |
¡! ¡! |
¡! |
¡! ¡! ¡! |
a + d ; b ; c ) = ( a ; b ; c ) + ( d ; b ; c ); |
|||||
(¡! |
¡! ¡! ¡! |
¡! ¡! ¡! |
¡! ¡! ¡! |
||
a ; b + d ; c ) = ( a ; b ; c ) + ( a ; d ; c ); |
|||||
(¡! ¡! ¡! ¡! |
¡! ¡! ¡! |
¡! ¡! ¡! |
|||
a ; b ; c + d ) = ( a ; b ; c ) + ( a ; b ; d ): |
|||||
(¡! ¡! ¡! |
¡! |
¡! ¡! ¡! |
¡! ¡! ¡! |
||
2.133. Задан тетраэдр с вершинами
A(2; ¡3; 5), B(0; 2; 1), C(¡2; ¡2; 3), D(3; 2; 4).
1)Найти объ¼м этого тетраэдра.
2)Найти высоту, опущенную из вершины А на грань ВСD.
2.136. |
При каком ¸ векторы |
|
||
|
¡! |
= (1; 2¸; 1); |
¡! |
¡! |
|
a |
|
b = (1; ¸; 0); |
c = (0; ¸; 1) |
будут компланарны?
2.137. Доказать, что четыре точки
A(1; 2; ¡1); B(0; 1; 5); C(¡1; 2; 1); D(2; 1; 3)
лежат в одной плоскости.
2.139. Доказать, что объ¼м параллелепипеда, построенного на диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному объ¼му данного параллелепипеда.
2.140. |
Доказать, что |
¡ |
¡! ¡! ¡! |
|
(¡! ¡! ¡! !¡ ¡! |
||
|
a + c ; b ; a + b ) = |
|
( b ; a ; c ): |
Упражнение. Даны точки: |
A(7; 7; 3), B(6; 5; 8), |
C(3; 5; 8), |
||
|
|
¡! ¡¡! ¡! ¡¡! |
¡! ¡¡! |
|
D(8; 4; 1). Проверить, что вектора |
||||
a = DA , b = DB , |
c = DC |
|||
образуют базис. |
|
|
||
Упражнение. Даны точки: A(7; 7; 3), B(6; 5; 8), C(3; 5; 8),
D(8; 4; 1). Пусть AE медиана в треугольнике 4ABC , опущен-
ная из вершины A на сторону BC .
1.Найти площадь треугольника 4ABC .
2.Найти высоту в 4ABC , опущенную из вершины A на сторону BC .
3.Найти объ¼м тетраэдра ABCD
4.Найти высоту в тетраэдре ABCD , опущенную из вершины
D на грань ABC .