Векторная Алгебра-2013
.pdf
Упражнение. Треугольник задан координатами своих вершин A(0; 2; 4), B(¡3; 3; 5), C(0; 5; 3). Вычислить координаты точ-
ки пересечения медиан этого треугольника.
ЗАМЕЧАНИЕ. Медианы треугольника делятся точкой их пересечения в отношении 2:1 (считая от вершин).
Решение.
10 сентября 2013 г. |
62 |
°c В. Мнухин |
11. Проекция вектора на ось и скалярное произведение
Определение 18. Пусть задан произвольный ненулевой век-
¡! !¡
òîð a . Прямая, на которой лежит вектор a , называется его
îñüþ.
¡¡¡¡¡!
Пусть задан направленный отрезок M1M2 , определяющий
¡!
некоторый вектор b . Опустим из точек M1 è M2 перпенди-
¡!
куляры на ось вектора a . Пусть M10 è M20 основания этих
¡! ¡¡¡¡¡!
перпендикуляров. Заметим, что векторы a è M01M02 колли- неарны.
Определение 19. Проекцией вектора |
¡! |
|||||
|
|
|
|
|
|
b на ось вектора |
¡! |
|
|
|
|
|
|
a называют такое число ¸, ÷òî |
|
|
||||
¡¡¡¡¡! |
|
|
||||
|
M1M2 |
= ¸¡! |
|
|||
|
|
0 |
0 |
|
a |
|
|
|
|
a³¡!´ |
: |
|
|
Будем обозначать его как pr |
|
b |
|
|
||
|
|
a³¡!´ |
|
|
||
|
pr |
|
b |
= ¸ : |
|
|
10 сентября 2013 г. |
63 |
°c В. Мнухин |
12. Векторное произведение
¡! ¡!
Пусть в пространстве даны неколлинеарные векторы a è b ,
¡! ¡!
( a ; b 2 R3 ). Будем считать, что начала этих векторов сов-
¡!
мещены, и пусть P плоскость, в которой лежат a è
Определение 20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
a è b íà- |
|||||||
|
|
Векторным произведением ¡! ¡! |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
3 |
такой, что выполняются условия: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зывается вектор ¡! 2 R |
|
|
|
|
a è |
b ; |
||||||||||
1. |
c |
= |
|
|
a |
b |
sin ', ãäå ' угол между |
|||||||||
|
j¡!j |
|
j¡!j ¢ j¡!j ¢ |
|
|
|
|
|
|
¡! |
¡! |
|
||||
|
|
|
|
|
c |
перпендикулярен плоскости P или, другими сло- |
||||||||||
2. вектор ¡! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
âàìè, |
|
a ; c ) = ( b ; c ) = 0; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(¡! ¡! |
|
|
¡! ¡! |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
на плоскость |
P |
, òî êðàò- |
||
3. если смотреть с конца вектора ¡! |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ñ |
b , виден происходя- |
|||
|
чайший поворот, совмещающий ¡! |
¡! |
|
|
|
|||||||||||
|
щим против часовой стрелки. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
c |
|
называется векторным произведением векторов |
|||||||||||
Вектор ¡! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a è b и обозначается |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
¡! |
¡! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c = [ a ; b ] |
(èëè |
c = |
a |
b ): |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
!¡ |
|
|
¡! ¡! |
¡! |
¡! £ |
!¡ |
|
|
||
ЗАМЕЧАНИЕ. |
|
Заметим, что если ¡! |
¡! |
|
|
|
|
a |
è b коллинеарны, то |
||
согласно первому пункту предыдущего определения, |
j¡!j |
= 0, |
|||
c |
|||||
òî åñòü ¡! = £ |
. Поэтому мы можем говорить о скалярном |
||||
c |
|||||
|
|
|
3 . |
|
|
¡! ¡!
произведении любых векторов a ; b 2 R
Рассмотрим свойства векторного произведения:
¡! ¡!
I длина [ a ; b ] равна площади параллелограмма, построен-
ного на векторах |
¡! |
¡! |
|
|
|
|
a è |
b ; |
|
|
|
I [¡! ¡! |
|
|
|
¡! |
¡! |
a ; b ] = 0 тогда и только тогда, когда векторы a |
è b |
||||
коллинеарны: |
[¡! ¡! |
|
, |
¡!k¡! |
|
|
|
|
|||
|
a ; b ] = 0 |
|
a b ; |
|
|
I векторное произведение антикоммутативно, òî åñòü
|
|
|
|
|
|
|
[¡! ¡! |
¡ |
¡! ¡! |
||
|
|
|
|
|
|
|
a ; b ] = |
|
[ b ; a ] ; |
||
I [¸¡! ¡! |
|
¡! |
¡! |
|
¡! ¡! |
|
|
|
|||
|
a ; b ] = [ a ; ¸ b ] = ¸[ a ; b ]; |
|
|
||||||||
I |
[¡! ¡! ¡! |
¡! ¡! |
¡! ¡! |
|
|
||||||
a + a |
2 |
; b ] = [ a |
1 |
; b ] + [ a |
2 |
; b ]. |
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ЗАМЕЧАНИЕ. Два последних свойства вместе называются линейностью векторного произведения и часто объединяются в одно:
[¸¡! |
¡! ¡! |
¡! ¡! |
¡! ¡! |
|||||
a |
1 |
+ ¹ a ; b ] = ¸[ a |
1 |
; b ] + ¹[ a |
2 |
; b ] |
||
|
2 |
|
|
|
|
|||
¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡!
2.101. Доказать, что [ a ¡ b ; a + b ] = 2[ a ; b ].
Выяснить геометрический смысл этого тождества.
|
j¡!j |
|
j¡!j |
¡! |
¡! |
4 . |
||
2.102. |
a |
= |
b |
= 5 и угол между a |
è b |
равен |
¼ |
|
|
|
|||||||
Найти площадь треугольника, построенного на векторах
¡! |
¡ |
¡! |
3¡! ¡! |
a |
|
2 b è |
a + 2 b . |
2.106. |
Заданы вектора |
¡! = (3; ¡1; 2) |
è |
¡! |
= (1; 2; ¡1) |
. |
|||
|
|
a |
|
|
|
b |
|
||
|
|
¡! |
¡ |
¡! |
¡! |
+ |
¡! |
|
|
Найти координаты вектора [2 a |
|
b ; |
2 a |
|
b ]. |
|
|||
2.107. Задан треугольник с вершинами
A(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(4; 3; 2).
1)Найти площадь этого треугольника.
2)Найти высоту, опущенную из вершины А на сторону ВС.
¡!
2.118. Найти координаты вектора x , если известно, что он перпендикулярен векторам
¡! |
= (4; 2; |
|
3) |
è |
¡! = (0; 1; 3) |
, |
|
|
||
a |
¡ |
¡ |
|
b |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
¡!j |
|
|
j¡!j |
|
||
образует с ортом |
тупой угол и |
= 26. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
10 сентября 2013 г. |
70 |
°c В. Мнухин |
13. Векторное произведение в ДПСК
3 задана ДПСК D ¡! ¡! ¡!E Пусть в пространстве R O; i ; j ; k .
Утверждение 5. |
|
Пусть векторы ¡! ¡! 2 R |
заданы сво- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ; |
b |
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ими координатами в ДПСК: |
¡! |
|
|
1¡! |
|
|
2¡! |
|
|
3¡! |
||||||||||
¡! |
1¡! |
|
2¡!j + a3¡! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a = a |
i + a |
|
|
|
k ; |
|
|
b = b |
|
i + b |
j + b |
k : |
||||||||
Тогда |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
[¡! ¡! |
b2 |
b3 |
!¡ |
¡ |
b1 |
b3 |
!¡ |
|
b1 |
b2 |
¡! |
|||||||||
|
|
¯ |
¯ |
|
¯ |
¯ |
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|||||||
|
|
¯ |
a2 |
a3 |
¯ |
|
|
¯ |
a1 |
a3 |
¯ |
|
|
|
¯ |
a1 |
a2 |
¯ |
|
|
a ; b ] = |
¯ |
|
|
¯ |
i |
|
¯ |
|
|
¯ |
j |
|
+ |
¯ |
|
|
¯ |
k : |
||
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ. Последнее выражение удобно записывать в
следующей символической форме: |
¡! |
¯ |
|||
|
¯ |
¡!i |
¡! |
||
|
¯ |
a1 |
a2 |
a3 |
¯ |
|
¯ |
|
j |
k |
¯ |
[!¡ !¡ |
¯ |
|
|
|
¯ |
¯ |
b1 |
b2 |
b3 |
¯ |
|
|
¯ |
¯ |
|||
a ; b ] = |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
.