Векторная Алгебра-2013
.pdf
10 сентября 2013 г. |
21 |
°c В. Мнухин |
4. Определители порядка n, n > 3.
Мы дадим индуктивное (или, как еще говорят программисты, рекурсивное) построение определителя произвольного
порядка. Это означает, что вычисление определителя n-ãî ïî-
рядка будет сведено к вычислению нескольких определителей порядка n ¡ 1. Поскольку мы уже умеем вычислять опреде-
лители порядка 3, это позволит нам вычислять определители порядка 4, и т.д.
Предположим, что мы умеем вычислять определители поряд- |
|
êà n ¡ 1, и пусть A = ³aij´ |
квадратная матрица порядка n. |
Заметим, что элемент aij |
этой матрицы находится на пересе- |
чении е¼ i-той строки и j -того столбца.
Определение 11. Определитель, получающейся из jAj удалением i-той строки и j -того столбца, обозначается Mij è называется минором. Величина (¡1)i+jMij называется алгеб- раическим дополнением элемента aij .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
a11 a12 a13 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B a31 |
a32 |
a33 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 6. |
Åñëè |
|
A = |
B |
a21 |
a22 |
a23 |
C |
, |
|
|
òî |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M11 |
= |
¯ |
|
|
¯ |
= |
¯ |
|
|
¯ |
= a22a33 |
¡ |
a32a23 ; A11 |
= ( |
¡ |
1) M11 |
= |
¯ |
|
|
¯ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
a21 |
a22 |
a23 |
|
a33 |
a32 |
a33 |
|||||||||||||||||||||
|
|
¯ |
a11 |
a12 |
a13 |
¯ |
|
¯ a32 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1+1 |
|
¯ |
¯ |
||||||
|
|
¯ |
¯ |
|
¯ |
a22 |
a23 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
a22 |
a23 |
¯ |
||||
|
|
¯ |
a31 |
a32 |
a33 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
¯ |
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|||
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
¯ |
a21 |
a23 |
¯ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
||||||
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
a31 |
a33 |
|
|
||||
|
|
¯ |
a31 |
a32 |
a33 |
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
||||
M12 |
= |
¯ |
a21 |
a22 |
a23 |
¯ |
= |
¯ |
|
|
¯ |
= a21a33 |
|
a31a23 |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
a11 |
a12 |
a13 |
¯ |
|
¯ |
a31 |
a32 |
¯ |
|
¡ |
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
||||
|
|
¯ |
a31 |
a32 |
a33 |
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
||||
M23 |
= |
¯ |
a21 |
a22 |
a23 |
¯ |
= |
¯ |
|
|
¯ |
= a11a32 |
|
a31a12 |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
a11 |
a12 |
a13 |
¯ |
|
¯ |
a31 |
a33 |
¯ |
|
¡ |
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
a11 |
a13 |
|
|
|
|
||||
|
|
¯ |
a31 |
a32 |
a33 |
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|||
M22 |
= |
¯ |
a21 |
a22 |
a23 |
|
¯ |
= |
¯ |
|
|
¯ |
= a11a33 |
|
a31a13 |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)1+2M12 = |
|
¯ |
a21 |
a23 |
¯ |
; A12 = ( |
|
|
¯ |
¯ |
|||
|
¡ |
|
¡ |
¯ |
a31 |
a33 |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
; A23 |
= ( |
¡ |
1)2+3M23 |
= |
¡ |
¯ |
a11 |
a12 |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
a31 |
a32 |
¯ |
||
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
; A22 |
= ( |
¡ |
1)2+2M22 |
= |
¯ |
a11 |
a13 |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
a31 |
a33 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
ЗАМЕЧАНИЕ. Заметим, что (¡1)i+j равно 1 если i+j четно, и равно ¡1 åñëè i + j нечетно. Поэтому знак перед минором
в алгебраическом дополнении можно определять по правилу ¾шахматной доски¿, начиная с + в верхнем левом углу:
Правило ¾шахматной доски¿
+ ¡ + ¡ + ¡ + ¡
¡+ ¡ + ¡ + ¡ + + ¡ + ¡ + ¡ + ¡
¡+ ¡ + ¡ + ¡ + + ¡ + ¡ + ¡ + ¡
¡+ ¡ + ¡ + ¡ + + ¡ + ¡ + ¡ + ¡
¡+ ¡ + ¡ + ¡ +
Вспоминая правило вычисления определителя 3-го порядка разложением по первой строке, можем записать:
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
a11 |
a12 |
a13 |
¯ |
= a A + a A + a A : |
||
¯ |
a31 |
a32 |
a33 |
¯ |
|
|
|
¯ |
a21 |
a22 |
a23 |
¯ |
|
|
|
¯ |
¯ |
11 11 |
12 12 |
13 13 |
|||
¯ |
¯ |
||||||
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
Теперь понятно, как обобщить эту формулу:
Вычисление определителя порядка n
¯ |
a11 |
a12 |
¢ ¢ ¢ a1n |
¯ |
|
|
|
¯ |
a21 |
a22 |
|
a2n |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ |
¯ |
|
|
|||
¯ |
¯ |
|
|
||||
¯ |
|
|
¢ ¢ ¢ |
|
¯ |
= a11A11 + a12A12 + : : : + a1nA1n |
: |
¯ an1 |
an2 |
¢ ¢ ¢ |
ann |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
Предыдущее выражение называется разложением по первой строке. В дальнейшем оно будет обобщено.
ЗАМЕЧАНИЕ. Для определителей порядков > 3 íå ñóùå-
ствует простых аналогов формулы Саррюса.
|
|
¯ |
¡3 |
|
0 |
|
0 |
|
2 |
¯ |
Пример 7. Вычислить определитель |
A = |
¯ |
1 |
|
3 |
|
3 |
¡ |
1 |
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯. |
||
|
|
¯ |
|
¡ |
|
¡ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
||
|
j j |
¯ |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
1 |
¯ |
|
|
¯ |
2 |
¡ |
4 |
¡ |
5 |
|
2 |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
Решение. |
|
|
Согласно определению, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
j |
A |
= 3A +0 |
¢ |
A +0 |
¢ |
A +( |
¡ |
2)A = |
¡ |
3 |
¯ |
|
|
3 3 ¡1 |
¯ |
¡ |
2 ¯ |
|
1 3 |
|
3 |
¯ |
||||||||||||||||||||||||
j |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
¡ ¡ |
|
|
|
¯ |
¯ |
|
2 |
|
¡ ¡ |
5 |
¯ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
¡ |
4 |
5 2 |
¯ |
|
¯ |
|
|
¡ |
4 |
¡ |
¯ |
||||||
|
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¡ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
2 |
¯ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
2 2 1 |
¯ |
|
¯ |
|
1 2 |
|
¯ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
Остается вычислить два минора |
|
|
|
|
¯ |
|
è |
|
|
|
третьего¯ ¯ |
порядка.¯ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M11¯ |
|
|
M14 |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
||||
Минор M11 |
уже был вычислен в Примере 5: M11 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
M |
14 |
= |
¯ |
1 3 3 |
¯ |
= |
¯ |
¡2 ¡2 |
¯ |
|
|
3 |
¯ |
1 ¡2 |
¯ |
+ 3 |
¯ |
1 ¡2 |
¯ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
1 |
|
¡ |
2 |
¡ |
2 |
¯ |
|
|
|
4 |
|
5 |
¡ |
|
|
2 5 |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¯ |
2 |
|
4 |
5 |
¯ |
|
¯ |
¡ |
¡ |
¯ |
|
|
¯ |
¯ |
|
|
¯ |
¡ |
¯ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¡ |
¡ |
¯ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¡ |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
= |
¯ |
|
|
|
8) |
|
¯ |
3( |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
5 |
: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
(10¯ |
|
|
¯ |
|
|
5¯ + 4) +¯3( |
|
4¯ |
+ 4) =¯ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
¡ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом,
jAj = (¡3) ¢ 5 + (¡2) ¢ 1 = ¡17 :
¥
10 сентября 2013 г. |
26 |
°c В. Мнухин |
5. Решение квадратной СЛАУ по правилу Крамера
Напомним, что СЛАУ называется квадратной, если число неизвестных в ней равно числу уравнений. Рассмотрим квад-
ратную СЛАУ с n уравнениями от n неизвестных:
8 |
a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = b1 ; |
|
> |
a21x1 + a22x2 + : : : + a2nxn = b2 ; |
|
> |
|
|
> |
|
|
> |
|
|
> |
|
; |
> |
|
|
< |
¢ ¢a¢n¢1x¢ ¢1¢+¢ ¢a¢n¢2¢x¢2¢ ¢+¢ ¢:¢:¢:¢+¢ ¢a¢nn¢ ¢x¢n¢ ¢=¢ ¢ ¢b¢n¢ |
|
> |
: |
|
> |
|
|
> |
|
|
> |
|
|
>
>
:
Определитель матрицы этой СЛАУ будем называть главным |
||||
определителем системы и обозначать как |
||||
|
¯ |
a11 a12 : : : a1n |
¯ |
|
¢ = |
¯ |
a21 a22 : : : a2n |
¯ |
: |
¯ |
|
¯ |
||
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ |
¯ |
|
|
¯ an1 an2 : : : ann |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
Заменяя в главном определителе k -тый столбец на столбец
свободных членов системы, получим k -òûé вспомогатель-
ный определитель:¯ |
a11 |
a12 |
¢ ¢ ¢ |
b1 |
¢ ¢ ¢ |
a1n |
¯ |
|
|
¢k = |
¯ |
a21 |
a22 |
¢ ¢ ¢ |
b2 |
¢ ¢ ¢ |
a2n |
¯ |
: |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
||||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ |
¯ |
|
|||||
|
¯ an1 |
an2 |
¢ ¢ ¢ |
bn |
¢ ¢ ¢ |
ann |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
||
|
¯ |
|
|
|
" |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
k-тый столбец
Следующий результат назван в честь швейцарского математика Габриэля Крамера (1704 1752).
Правило Крамера
I Åñëè ¢ 6= 0, то квадратная СЛАУ имеет единственное
решение
x1 = |
¢1 |
; |
x2 = |
¢2 |
; |
: : : |
xn = |
¢n |
: |
||
¢ |
|
¢ |
¢ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
IÅñëè ¢ = 0, à ¢j 6= 0 для какого-нибудь j = 1; 2; : : : ; n, то СЛАУ несовместна (не имеет решений).
IÅñëè СЛАУ совместна è ¢ = ¢1 = ¢2 = : : : = ¢n = 0, то она имеет бесчисленное множество решений.
ЗАМЕЧАНИЕ. Обратите внимание на отличие последнего пункта от правила Крамера для n = 2. Действительно, рас-
смотрим систему 8
>
> x < 1
> x1
>
: x1
+x2 + x3 = 0;
+x2 + x3 = 1;
+x2 + x3 = 2:
Очевидно, что она не имеет решений, однако для не¼ ¢ =
¢1 = ¢2 = ¢3 = 0. Ïðè n = 2 подобные ситуации не наступают.
Пример 8. |
|
Решить по Крамеру: |
|
|
|
> |
3x1 |
+ x2 |
|
¡ x3 |
= 7 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
2x1 |
¡ 2x2 + x3 |
= 3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
¡ 3x2 + 2x3 = 0 |
|||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> x1 |
||||||||||||||||||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
¡ |
1 |
|
|
|
|
3 2 |
¡ ¡ |
|
1 2 |
|
1 3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
¯ |
¯ |
|
¯ |
¯ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
¢ = |
¯ |
1 3 2 |
¯ |
= 2 |
¯ ¡ |
1 ¡1 |
¯ |
|
|
( 2) |
¯ |
3 ¡1 |
¯ |
+ |
¯ |
|
¡ |
¯ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
¯ |
2 ¡2 1 |
¯ |
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
¯ |
¯ |
3 1 |
¯ |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¡ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
= |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
+ ( |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
2(¯ |
1) + 2(7)¯ |
|
|
10)¯ |
= 2 :¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
¢ |
1 |
= |
¯ |
3 |
¡2 1 |
¯ |
= 3 |
¯ |
|
1 ¡1 |
¯ |
|
7 |
¯ |
¡2 1 |
= 3( 1) 7( 1) = 4 : |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
¯ |
7 |
|
|
1 |
|
¡ |
1 |
¯ |
|
|
|
|
3 2 |
¡ |
|
|
|
3 2 |
¯ |
|
|
|
¡ ¡ ¡ |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
¯ |
0 |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
¡ |
¯ |
|
¯ |
¡ |
¯ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
¯ |
¡ |
3 2 |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
2 |
|
|
3 |
|
|
1 |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
¯ |
3 |
|
|
7 |
|
¡ |
1 |
¯ |
|
¡ |
|
1 2 |
|
|
|
1 2 |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
¯ |
1 |
|
|
0 |
|
2 |
¯ |
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
¢ |
|
= |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
= |
|
3 |
¯ |
|
3 |
¡1 |
¯ |
+ 7 |
¯ |
|
2 |
|
|
1 |
¯ |
= |
3(7) + 7(3) = 0 : |
|||||||||||||||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
¯ |
¯ |
|
|
|
¯ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
2 |
|
|
2 |
|
|
3 |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
¯ |
3 |
¡ |
1 |
|
|
7 |
¯ |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
¡ |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
¡ ¡ ¡ ¡ |
|||||||||||||
|
|
|
¯ |
1 |
3 0 |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¡ |
¯ |
|
¯ |
|
¡ |
¯ |
|
|
|||||||||||||||||||||
¢ |
|
= |
¯ |
¯ |
= |
|
3 |
¯ |
|
3 |
1 |
¯ |
|
7 |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
= 3( |
|
10) |
7( |
4) = 2: |
||||||||||||||||
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
2 ¡2 |
¯ |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
¯ |
|
¡ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом,
x |
|
= |
¢1 |
= |
4 |
= 2 ; |
x |
|
= |
¢2 |
= |
0 |
= 0 ; |
x |
|
= |
¢3 |
= |
¡2 |
= 1 : |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
¢ |
2 |
|
|
¢ |
2 |
|
¢ |
2 |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
¡ |
||||||||||
¥
Пример 9. Решить для каждого значения параметра a. |
|||
> |
|
¡ 3x2 + 5x3 |
= 4 |
8 ax1 |
|||
< |
|
|
|
> |
x1 |
¡ ax2 + 3x3 |
= 2 |
> |
|
|
|
: |
|
¡ 7x2 + 8ax3 |
= 0 |
> 9x1 |
|||
Решение. |
¯ |
a ¡3 5 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
||||||||||||
|
|
|
¢ = |
= a |
¡a 3 |
|
|
|
|
( 3) |
1 3 |
+ 5 |
1 ¡a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
1 a 3 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
9 |
¡ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
7 8a |
|
¯ |
¡ ¡ |
|
|
¯ |
9 8a |
¯ |
|
|
¯ |
9 |
|
¡ |
7 |
¯ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
|
7 8a |
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¡ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
||
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¡ |
|
2¯ |
|
|
|
|
³ |
|
¯ |
¡ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¡ |
|
|
¯ |
|
||||||
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
³ |
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
³ |
|
|
´ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a 21 |
|
|
8a + 3 8a |
|
|
27 + 5 9a |
|
|
7 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
= |
|
|
¡8a3 + 90a ¡ 116 = ¡2³4a3 ¡ 45a + 58´ : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¢ |
1 |
= |
4 ¡3 5 |
= 4 |
¯ |
¡a 3 |
¯ |
|
|
2 |
¯ |
¡3 5 |
¯ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
¯ |
2 |
¡ |
a |
|
3 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
7 8a |
¡ |
|
|
|
7 8a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
¯ |
0 |
7 8a |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
¯ |
¡ |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
¡ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
¡ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
¯ |
³ |
|
¡ |
|
2 |
¯ |
¡ |
³ |
¯ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
2 |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¡ |
³ |
|
|
2 |
¡ |
´ |
|||||||||||
|
|
= 4¯ |
|
8a |
´ |
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
¡ |
32a + 48a = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
21 |
|
|
¯ |
|
|
2 35 |
|
|
|
|
24a = 14 |
|
|
2 16a |
|
|
|
24a + 7 : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
¯ |
1 |
|
|
2 |
|
3 |
¯ |
|
|
¡ |
|
¯ |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
9 8a |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
¢ = |
¯ |
a 4 5 |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
8a ¯ |
+ 2 |
¯ |
|
|
|
¯ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
¯ |
¯ |
= 4 |
¯ |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
¯ |
¯ |
|
|
|
a |
|
|
|
5 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
¯ |
9 |
|
|
0 |
8a |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
¯ |
4 8a |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
16a + 9 : |
||||||||
|
|
¯ |
27¯ |
|
+ 2 8a |
|
|
¡ |
45 = 16a |
|
¡ |
32a + 18 = 2 8a |
|
¡ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¡ ³ |
|
|
¡ |
|
|
´ ³ |
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ |
|
|
|
|
´ |
||||||||||||||||
¢ |
3 |
= |
¯ |
a ¡3 4 |
¯ |
= 4 |
¯ |
|
|
|
1 ¡a |
¯ |
|
|
2 |
¯ |
a ¡3 |
¯ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
¯ |
1 |
¡ |
a |
|
2 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
¯ |
9 |
7 0 |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¡ |
¯ ¡ |
|
|
¯ |
|
¡ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
¯ |
|
¡ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
¯ |
³ |
|
|
|
´ |
|
¯ |
³ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
´ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
³ |
|
¯ |
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= 4¯ |
|
¡ |
¡ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
9a |
|
|
7 |
|
|
¯ |
2 27 |
|
|
|
7a = 50a |
|
|
|
82 = 2 25a |
|
|
41 : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||