doc2

Исходя из начальных условий: t = 0, ф = ф0, ф = 0, найдем постоянную интегрирования:

р1 + а1

Для определения реакции опоры О применим принцип Даламбера:

_ 2Mga2- (С05ф~- СОБфо),

где со= ф.

Тогда из уравнения (I) получим значение первой составляющей реакции оси:

R = A/gcosy+^-^r-(cos<p-coscpo).

р* +

где е = ф, то из уравнения (2) найдем вторую составляющую реакции оси:

Задача 43.11

Тяжелый однородный цилиндр, получив ничтожно малую начальную скорость, скатывается без скольжения с горизонтальной площадки АВ, край которой В заострен и параллелен образующей цилиндра. Радиус основания цилиндра г. В момент отделения цилиндра от площадки плоскость, проходящая через ось цилиндра и край В, отклонена от вертикального положения на некоторый угол СВС] = а.

Определить угловую скорость цилиндра в момент отделения его от площадки, а также угол а. Трением качения и сопротивлением воздуха пренебречь.

Р е ш е н и е

Покажем на рисунке центробежную Фц и тангенциальную Фт силы инерции и силу тяжести mg.

В момент отделения цилиндра от площадки реакция опоры равна нулю. На основании принципа Даламбера составим уравнение в проекции на ось п:

mg cosa-Фц =0,

где Фц = mfflV.

Тогда

Запишем теорему об изменении кинетической энергии, считая, что цилиндр до отделения вращается вокруг точки В:

r - r 0 = Z A f .

Так как начальную скорость считаем равной нулю, то Т0 = 0. Тогда

мент инерции однородного цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс.

Подставим значение cosa в уравнение (1):

24

иопределим угловую скорость цилиндра в момент отделения его от площадки:

(0 = 2 J g

Задача 43.12

Автомашина для шлифовки льда движется прямолинейно по горизонтальной плоскости катка. Положение центра масс С указано на рисунке к задаче 38.12. В момент выключения мотора машина имела скорость к Найти путь, пройденный машиной до остановки,

и определим путь, пройденный машиной до остановки:

=Ъг

S~2g 2fr+/к

Задача 43.13

На боковой поверхности круглого цилиндра с вертикальной осью, вокруг которой он может вращаться без трения, вырезан гладкий винтовой желоб с углом подъема а. В начальный момент цилиндр находится в покое; в желоб опускают тяжелый шарик; он падает по желобу без начальной скорости и заставляет цилиндр вращаться. Дано: масса цилиндра М, радиус его R, масса шарика /и; расстояние от шарика до оси считаем равным R и момент инерции цилиндра

1 ^

равным -MR . Определить угловую скорость со, которую цилиндр

будет иметь в тот момент, когда шарик опустится на высоту А. Р е ш е н и е

Применим теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно оси z'-

( 1)

Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы:

ю2 _ MRW

~~ 4 '

Кинетическая энергия шарика

(И)

где v2 = v2 + v2 +2 ve vr cos (180°- а) = v2 + v2 - 2 ve vr cos a. Тогда

а выражение (8) в формулу (13) и найдем кинетическую энергию системы

(M+2m)R2ba2 (M+2msinza)

( 1 4 )

mcos2 a

Подставим выражение (14) в формулу (9):

(М +2m)Л2 со2 (М+2msin2a) = mgh, mcos2 a

44. Удар

Методические указания к решению задач

Ударом называется явление, при котором за бесконечно малый промежуток времени, т.е. почти мгновенно, скорости точек системы изменяются на конечную величину. Ударные явления можно рассматривать как разовое мгновенное наложение или снятие связей, например, столкновение поступательно движущегося тела с другим неподвижным телом или периодическое наложение и снятие связей (ковка, штамповка, забивка свай и т.п.).

Сила, действующая в течение ничтожно малого промежутка времени т, но достигающая при этом очень больших значений, называется ударной силой и обозначается Fyii. Промежуток времени т действия Fyjx

называется временем удара.

Так как ударные силы очень велики и за время удара могут изменяться в значительных пределах, то в качестве меры взаимодействия тел при ударе рассматриваются не сами силы, а их импульсы.

Ударным импульсом называют векторную величину

В теории удара импульсами неударных сил (например, силы тяжести) из-за их малости по сравнению с ударными пренебрегают. Перемещениями точек тела за время удара также можно пренебречь, так как эти перемещения имеют порядок величины т.

Многие величины, характеризующие удар, могут быть получены с помощью теорем динамики общих как для материальной точки, так и для системы материальных точек, а именно: теорем об изменении количества движения, о движении центра масс системы, об изменении кинетического момента и кинетической энергии.

Теорема об изменении количества движения материальной точки при ударе. Пусть скорость точки в начале удара v, а в конце удара — Ш.

т.е. изменение количества движения материальной точки за время удара равно ударному импульсу, приложенному к точке.