5.1.5. Напряжения при поперечном изгибе.

При таком изгибе наряду с изгибающим моментом в поперечных сечениях действуют поперечные силы, а, следовательно, и касательные напряжения. Это приводит к искажению поперечных сечений. Однако, как показывают расчёты и подтверждают эксперименты, эти искажения не оказывают заметного влияния на распределение нормальных напряжений и поэтому расчёт последних и при поперечном изгибе выполняют по формуле (5.6), точной, когда поперечные сечения при изгибе балки остаются плоскими. Впрочем, эта формула остаётся точной и в случае постоянной поперечной силы, поскольку при этом искривление всех сечений происходит одинаково.

Перейдём к определению касательных напряжений.

Выделим из балки бесконечно малый элемент двумя близкими поперечными и одним продольным сечением как это показано на рис.5.7. В левом сечении действует нормальная сила N, являющаяся равнодействующей нормальных напряжений на этой части сечения и касательных напряжений. В правом сечении действует нормальная сила N + dN (здесь мы учитываем, что изгибающий момент, а, следовательно, и нормальные напряжения могут изменяться по длине балки) и касательные напряжения.

Рис. 5.7

Если, как и при рассмотрении чистого изгиба, пренебречь давлением между продольными слоями, то в продольных сечениях мы получим только касательные напряжения. По закону парности касательных напряжений эти напряжения равны касательным напряжениям в поперечном сечении на уровне рассматриваемого продольного сечения.

Примем, что касательные напряжения равномерно распределены по ширине сечения b. Тогда, проектируя все действующие на элемент силы на продольную ось z, получаем уравнение равновесия

,

откуда находим

.

Нормальная сила

,

где F^*- площадь “отсечённой” части сечения (она выделена на рис. 5.7,б штриховкой). Подставив в это равенство формулу (5.6), получаем

,

где - статический момент отсечённой части сечения относительно нейтральной оси x. Дифференцируя и используя теорему Журавского, находим

Таким образом,

. (5.7)

Нами выведена так называемая формула Журавского, с помощью которой можно получить распределение касательных напряжений по высоте поперечного сечения.

В верхней точке сечения в нижней точке сечения также т.к. ось x центральная. Поэтому в этих точках всегда

5.1.6. Пример

Определим касательные напряжения при изгибе балки прямоугольного сечения (рис. 5.8). В этом случае b = const, Для определения касательных напряжений в точках, отстающих от нейтральной оси на расстояние y₁ необходимо определить статический момент отсечённой части, т.е. части сечения, в которой

.

Здесь - площадь и координата центра тяжести отсечённой части.

Рис. 5.8

Следовательно,

.

Наибольшего значения касательное напряжение достигает на нейтральной оси при y₁= 0

.

На рис. 5.8 показана эпюра касательных напряжений в прямоугольном поперечном сечении.

5.1.7. Расчёты на прочность при изгибе

Как мы видели, при указанных выше допущениях при изгибе в поперечных сечениях действуют нормальные и касательные напряжения, а в продольных сечениях, перпендикулярных к оси y, - касательные напряжения.

Однако, в связи с малостью касательных напряжений по сравнению с нормальными, расчет на прочность при изгибе выполняют по нормальным напряжениям. Это оправдывается и тем, что нормальные напряжения достигают максимума там, где отсутствуют касательные напряжения, а наибольшие касательные напряжения возникают в средней части сечения, где малы нормальные напряжения.

Наибольшее нормальное напряжение в соответствии с формулой (5.6) равно

.

Величину

называют осевым моментом сопротивления. У прямоугольного поперечного сечения шириной b и высотой h

 и поэтому

У кольцевого поперечного сечения с наружным диаметром D и внутренним диаметром d величина

, где ,

поэтому

.

У сплошного круглого сечения

.

В таблицах сортамента прокатной стали приведены значения моментов сопротивления относительно главных центральных осей поперечных сечений уголков, швеллеров и двутавров.

Таким образом, условие прочности при изгибе можно записать в виде

.

В некоторых случаях касательные напряжения могут оказывать заметное влияние на прочность. Примером тому могут служить короткие балки, балки высокого и узкого профиля и деревянные балки. Как мы видели, в продольных сечениях балки, перпендикулярных оси y, возникают касательные напряжения. Дерево же плохо сопротивляется этим напряжениям – сдвиг продольных слоёв дерева относительно друг друга осуществляется при сравнительно низких напряжениях. Поэтому при расчёте таких балок производится также проверка прочности по касательным напряжениям

.

Допускаемое касательное напряжение определяет по величине предельного касательного напряжения, устанавливаемого испытанием дерева на скалывание.

5.2. Сложное сопротивление

5.2.1. Косой изгиб

При прямом изгибе вектор изгибающего момента направлен вдоль одной из главных осей инерции поперечного сечения балки. Если же вектор изгибающего момента не совпадает с главной осью инерции поперечного сечения, изгиб называется косым. Косой изгиб возникает при нагружении балки силами и моментами, перпендикулярными к оси балки, но произвольно ориентированными относительно осей y, x, которые по- прежнему совмещены с главными осями инерции сечения.

При косом изгибе в поперечных сечениях возникают изгибающие моменты M_y, M_x. Этим моментам, как мы видели, соответствуют нормальные напряжения в поперечных сечениях. Поэтому суммарные нормальные напряжения можно определить воспользовавшись принципом независимости действия сил как алгебраическую сумму напряжений, обусловленных моментами M_y и M_x

Как и при прямом изгибе существует нейтральная ось вдоль которой . Уравнение этой оси

. (5.8)

Как видим, и в этом случае нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения y = x = 0.

Так как эпюра нормальных напряжений в сечении линейная, максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удалённых от нейтральной оси. Обозначив координаты этой точки, положение которой легко определить вычертив контур поперечного сечения и нейтральную ось в соответствии с уравнением (5.8), через y₁, x₁, запишем условие прочности при косом изгибе в виде

.