4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ

СЕЧЕНИЙ

4.1. Статические моменты сечений

В курсе сопротивления материалов мы встречаемся с разными геометрическими характеристиками плоских сечений. В дальнейшем рассматривается ряд геометрических характеристик вида , где a и b - постоянные. Изучим их свойства.

Статические моменты сечений, относительно осей x , y опре­деляются соответственно интегралами вида

(4.1)

При параллельном переносе осей координаты точек сечения связаны с координатами x , y соотношениями

(4.2)

где а и b - соответственно координаты x , y начала координат системы (рис. 4.1). В системе имеем

(4.3)

Рис. 4.1

4.2. Центр тяжести сечения

Оси, относительно которых статичес­кий момент равен нулю, называют центральными. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения. Из (4.3) по­лучим формулы для определения координат центра тяжести, приравняв нулю, а a, b - соответственно

(4.4)

Из определения статических моментов следует, что статический момент сечения относительно некоторой оси можно определить как сумму ста­тических моментов отдельных частей сечения при любом разбиении этого сечения на n частей относительно той же оси. Это позволяет переписать формулы (4.4) в виде

Поскольку в соответствии с (4.4)

где - координаты центра тяжести i-ой части се­чения площадью в системе координат x, y, можно записать

4.3. Моменты инерции сечения

4.3.1. Осевые и центробежный моменты инерции сечения

Рассмотрим интегралы

Первый из них называют осевым моментом инерции сечения относитель­но оси x, второй - осевым моментом инерции сечения относительно оси y, третий - центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y. Легко увидеть, что осевые моменты всегда положительны, центробежный момент может быть как положительным, так и отрицательным.

Определим, например, моменты инерции прямоугольного сечения относительно его осей симметрии (рис. 4.2). Начнем с определения момента инерции . Выберем элементарную площадку в виде полоски b·dy. Тогда

Рис. 4.2

Аналогично

.

Что же касается центробежного момента инерции , то легко убедиться, что он равен нулю. Действительно, поскольку ось y является осью симметрии, каждой площадке dF с координатами x, y справа от оси соответствует такая же площадка слева от оси с координатами -x, y. Сумма В силу этого центробежный момент инерции относительно осей, из которых хотя бы одна является осью симметрии сечения, равен нулю.

Моменты инерции "сложных" сечений обычно определяют, разбивая эти сечения на некоторые "простые" части (прямоугольники, круги, треугольники и т.д.), пользуясь известным свойством инте­гралов, как сумму моментов инерции этих частей. Уже в связи с этим необходимо знать, как изменяются моменты инерции при параллельном переносе и повороте осей.

4.3.2. Преобразование моментов инерции при параллельном переносе осей

Пусть известны моменты инерции относительно осей x, y (рис. 4.1). Требуется определить моменты инерции относительно осей параллельных осям x, y и отстоящих от них соответственно на расстояниях b и а.

По определению

(4.5)

Если оси x, y центральные, то и поэтому

Отсюда, в частности, следует, что если определены осевые моменты инерции относительно ряда параллельных осей, то наименьшим из этих моментов инерции будет определенный относительно центральной оси.

4.3.3. Преобразование моментов инерции при повороте осей.

Пусть теперь известны моменты инерции относительно осей x, y (рис. 4.3). Требуется определить моменты инерции относительно осей , если угол между осями x и x₁ равен .

Установим вначале соответствие между координатами площадки dF в "старой" и "новой" системах координат. Как следует из рис. 4.3 (AB=CD, AC=BD)

Следовательно,

Заметим, что

где - расстояние от площадки dF до начала координат, а - полярный момент инерции.

Рис. 4.3

Полученная формула позволяет легко определить осевой момент инерции круглого сечения относительно оси, проходящей через центр этого сечения.

Если D и d - соответственно наружный и внутренний диаметр сечения, а , то

.

Вследствие круговой симметрии

В случае сплошного круга , поэтому

4.3.4. Главные оси и главные моменты инерции

Можно показать, что существуют по крайней мере две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Эти оси называются главными осями инерции сечения. Их положение опре­деляется по формуле

.

Здесь - угол между главной осью инерции сечения и осью x.

Моменты инерции относительно главных осей экстремальны, т.е. осевой момент инерции относительно одной из главных осей наибольший, а относительно второй главной оси- наименьший из всех момен­тов относительно осей с общим началом координат.

Моменты инерции относительно главных осей называются главны­ми моментами инерции. Их величину можно определить, если извест­ны моменты инерции относительно любых двух взаим­но перпендикулярных осей:

.

53