2. Растяжение и сжатие

2.1. Условия прочности при растяжении и сжатии [1]

2.1.1 Внутренние силы при растяжении и сжатии

Как уже указывалось, растяжением или сжатием называется деформирование, при ко­тором в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы. Нормальная сила, направленная от сечения, считается положительной; если же она направлена к сечению, то - отрицательной. Если в поперечных сечениях возникает положительная нормальная сила деформирование называется растяжением, если отрицательная, то - сжатием.

На рис.2.1 приведен пример стержня. Для определения нормальной силы в сечении I-I воспользуемся методом сечений. Будем рассматривать равновесие части стержня, расположенной под указанным сечением. Для того, чтобы обеспечить автоматический учет знаков, направим определяемую нормальную силу N от сечения.

Запишем далее уравнение равновесия, проецируя все силы на ось z, совпадающую с внешней нормалью к сечению:

,

где P_nz –проекции внешних сил, приложенных к рассматриваемой части стержня, на ось z; k – число приложенных внешних сил. Из этого уравнения получим

.

Таким образом, нормальная сила в любом сечении равна сумме проекций всех внешних сил, приложенных к стержню по одну сторону от рассматриваемого сечения, на ось, параллельную внешней нормали к сечению, но имеющую противоположное ей направление. Направление внешней нормали определяется тем, равновесие какой части стержня рассматривается.

Рис. 1.6

Рис. 2.1

2.1.2. Напряжения при растяжении и сжатии

В поперечных сечениях стержня возникает нормальная сила, следовательно, в них возникают нормальные напряжения. Предположим, что в указанных сечениях возникают только равномерно распределенные нормальные напряжения. Это позволяет определить напряжения по простой формуле

,

где F площадь поперечного сечения стержня до нагружения.

2.1.3. Условия прочности

Наблюдения показывают, что разрыв стержней из одного материала происходит практически при одном и той же напряжении. Это позволяет писать условие прочности растягиваемого стержня в виде

,

где [σ]_p - допускаемое напряжение при растяжении. Как назначается это напряжение, будет выяснено ниже.

Условие прочности при сжатии записывается аналогично

,

где [σ]_с - допускаемое напряжение при сжатии.

При равенстве допускаемых напряжений [σ]_р = [σ]_с = [σ] можно условия прочности объединить

.

Если требуется подобрать поперечное сечение стержня, то исходят из неравенства

Обратим внимание на важное обстоятельство - для назначения раз­меров мы имеем неравенство, следовательно, задача решается неоднозначно. И это понятно - увеличив площадь сечения, получаемую при записи условия прочности со знаком равенства, скажем, вдвое, мы только повысим прочность стержня. Но при этом возрастет стоимость изделия. Поэтому необходимо по мере возможности назначать площади поперечных сечений в стержне, близкими к следующим из условия прочности, записанного со знаком равенства. Использовать это условие со знаком равенства не всегда удается (например, если стержень предполагается изготовить из стандартного проката с дискретным изменением площадей поперечных сечений).

2.2. Деформации при растяжении и сжатии

2.2.1. Продольная деформация

В соответствии с законом Гука при растяжении возникают продольные деформации ε, пропорциональные нормальным напряжениям

где, как уже указывалось, коэффициент пропорциональности является константой материала. Величина Е называется модулем упругости и имеет размерность напряжения (Н/м², МПа и т.д.). Из постоянства напряжений σ по поперечному сечению следует и постоянство деформаций ε. Поэтому в соответствии с определением, приведенным во введении, эту деформацию можно определить как отношение

где - приращение длины продольного элемента, имевшего до нагружения длину.

Следовательно, абсолютное удлинение стержня равно

где - длина стержня. Если напряжение σ не изменяется по длине, то

.

Это выражение часто называют обобщенным законом Гука при растяжении и сжатии.

2.2.2. Пример [2]

Определим удлинение стержня длиной с постоянным поперечным сечением площадью F (рис. 2.2) под действием собственного веса. Пусть модуль упругости материала равен Е, а удельный вес . Нормальная сила в сечении, удаленном наz от нижнего конца стержня, равно

Следовательно, напряжение в этом сечении

.

Как видим, оно не зависит от площади поперечного сечения.

2.2.3. Поперечная деформация

На рис. 2.3 схематично показан стержень до приложения растягивающей нагрузки (сплошная линия) и после приложения нагрузки (пунктирная линия). Как видно из рисунка, и это соответствует наблюдениям, при растяжении наряду с удлинением происходит уменьшение размеров в поперечном направлении. и, аналогично, при сжатии стержня наряду с его укорочением наблюдается возрастание поперечных размеров. Это изменение размеров поперечного сечения при растяжении и сжатии характеризуется поперечной деформацией ε_n. Как показали экспериментальные исследования, поперечная деформация у стержней из изотропного материала одинакова в разных направлениях в плоскости поперечного сечения и пропорциональна продольной деформации:

,

где - константа материала, называемая коэффициентом Пуассона и изменяющаяся в пределах от 0 до 0,5. У сталей

2.3. Статически неопределимые стержневые системы

К статически неопределимым относят стержневые системы, у которых число неизвестных усилий превышает число независимых уравнений равновесия. Различного рода статически неопределимые стержневые системы широко применяются на практике, поскольку они обычно имеют большую жесткость и устойчивость.

Разность чисел неизвестных усилий и независимых уравнений равновесия называют степенью статической неопределимости системы. Аппаратом теоретической механики нельзя определить усилие в стержнях таких систем.

Эту задачу можно решить, если учесть деформируемость стержней. Начнем с рассмотрения примера.

2.3.1. Пример

На рис. 2.4 показана система трех стержней, нагруженных заданной силой Р. Для определения трех неизвестных внутренних усилий в стержнях располагаем двумя независимыми уравнениями равновесия (поскольку имеем плоскую систему сходящихся сил). Следовательно, степень статической неопределимости системы равна единице (или, как говорят, система однажды статически неопределима). Если добавить к этой системе еще один стержень система станет дважды статически неопределимой и т.д. Если убрать любой из показанных на рисунке стержней система станет статически определимой.

Рис. 2.2

Рис. 2.3

Определим внутренние усилия в стержнях в случае симметричной конструкции, когда площади поперечных сечений и материал крайних стержней одинаковы. Будем все величины, относящиеся к этим стержням, обозначать с индексом I, а все величины, относящиеся к среднему стержню - с индексом 2.

На узел А действует система сил, показанных на рис.2.5. Эта система должна удовлетворять двум независимым уравнениям равновесия, каковыми могут служить равенства нулю сумм проекций всех сил на координатные оси x, y. Первое равенство отождествляется следствие симметрии системы, второе можно записать в виде

2N₁соsβ+N₂ -P=0. (2.1)

Как видим, внутренние усилия нельзя определить из уравнений равновесия.

Рассмотрим деформацию стержневой системы. Под действием силы Р стержни растянутся, узел А опустится и займет положение А₁ (рис. 2.6) . Абсолютное удлинение стержня 2 равно отрезку АА₁. Для определения абсолютного удлинения стержня I следовало бы провести через точку А дугу окружности с центром в точке 0. Отрезок, отсекаемый этой дугой от отрезка ОА₁ , будет равен разности длин стержня I после и до нагружения и, следовательно, равен абсолютному удлинению этого стержня. Однако вследствие малости деформаций стержней дугу окружности можно заменить отрезком касательной, т.е. перпендикуляром АВ , опущенным из точки А на отрезок OA₁. В результате получаем абсолютное удлинение стержня 2 равным отрезку BA₁.