6. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА

Cтержневых систем

6.1. Потенциальная энергия упругого деформирования

стержня

6.1.1. Определение потенциальной энергии стержня

Как мы уже видели в общем случае внутренние силы, действующие в поперечном сечении стержня, сводятся к нормальной силе N, поперечным силам Q_y , Q_x, крутящему моменту M_к и изгибающим моментам M_y, M_x (здесь начало координат совмещено с центром тяжести сечения, ось z - по нормали к поперечному сечению, а оси у и х совмещены с главными центральными осями инерции). В дальнейшем стержень может быть не только прямым, но может иметь малую кривизну или быть ломанным.

Выделим из стержня бесконечно малый участок длиной dz двумя близкими поперечными сечениями (рис. 6.1).

Рис. 6.1

По отношению к этому элементу силовые факторы N,Q_y,Q_X,M_K,M_y,M_X можно рассматривать как внешние силы. При деформации элемента эти силы производят работу, равную по закону сохранения энергии потенциальной энергии, накапливаемой при упругом деформировании этого элемента. Поскольку перемещение элемента как жесткого целого несущественно, будем считать, что левое сечение выделенного элемента закреплено. Тогда работа сил, действующих в этом сечении, будет равна 0. Далее, легко увидеть, что каждая из сил, действующих в правом сечении, производит работу только на соответствующем этой силе перемещении. Так, нормальная сила N совершает работу на продольном перемещении, но не совершает работу, например, на повороте вокруг оси z. В силу этого можем записать, что потенциальная энергия dU упругого деформирования элемента равна сумме потенциальных энергий, накапливаемых в этом элементе вследствие действия каждого из силовых факторов в отдельности

(6.1)

В силу указанного можно определить величину каждого из этих слагаемых, рассматривая случай, когда в поперечных сечениях действует только соответствующий этому слагаемому силовой фактор.

Определив величину каждого из слагаемых равенства (6.1), можно определить потенциальную энергию стержня, интегрируя dU по всей его длине.

6.1.2. Потенциальная энергия растяжения

Определим величину dU(N), для чего рассмотрим растяжение прямого стержня постоянного поперечного сечения (рис. 6.2). Сила P связана с соответствующим абсолютным удлинением линейной зависимостью, поэтому ее работа

.

По закону Гука . Поэтому равная работе А потенциальная энергия растяжения

.

Поскольку рассматриваемый элемент бруса бесконечно мал, можем считать поперечное сечение и нормальную силу в нем постоянными и записать

.

Рис. 6.2

6.1.3. Потенциальная энергия сдвига

Определим теперь слагаемые dU(Q_У), dU(Q_X) . Для определения dU(Q_У) выделим из рассматриваемого элемента бруса продольный элемент с поперечным сечением dF (рис. 6.3). На этот элемент действует касательные напряжения . Накапливаемая в нем потенциальная энергия равна udFdZ, где u - удельная потенциальная энергия при чистом сдвиге, т.е. в случае когда действует только пара касательных напряжений, а прочие напряжения равны 0.

Удельная потенциальная энергия [1]

Следовательно, величину dU (Q_У) можно найти интегрируя по поперечному сечению величину .

По формуле Журавского

.

Рис. 6.3

Таким образом,

(6.2)

где обозначено

. (6.3)

Аналогично

(6.4)

где

(6.5)

Безразмерные коэффициенты К_У и К_Х зависят от формы поперечного сечения. Например, при поперечном сечении в форме прямоугольника шириной b и высотой h

Подставив эти выражения в (6.3), получим, К_У=6/5. Аналогично из (6.5) найдем К_Х=6/5. Таким образом, в рассматриваемом случае К_Х=К_У.

6.1.4. Потенциальная энергия кручения

При закручивании прямого стержня парой сил совершается работа

,

где угол закручивания.

При круглом поперечном сечении

Если же поперечное сечение не круглое, то вместо J_P подставляют геометрическую характеристику J_K , зависящую от размеров и формы поперечного сечения. Эту характеристику обычно определяют методами теории упругости, формулы для ее определения приведены в справочниках. Таким образом, потенциальная энергия кручения

.

Энергия кручения, накапливаемая в рассматриваемом бесконечно малом элементе бруса,

. (6.6)

6.1.5. Потенциальная энергия изгиба

Рассмотрим чистый изгиб, показанного на рис. 6.4 элемента балки. Если считать левое сечение неподвижным, то момент М_Х в правом сечении совершает работу

.

Рис. 6.4

Поскольку , а получаем потенциальную энергию

.

Следовательно, для рассматриваемого элемента стержня

(6.7)

Таким образом, потенциальную энергию упругого деформирования стержня в общем случае нагружения можно определить по формуле

(6.8)

6.2. Определение перемещений стержня

6.2.1. Теорема Кастилиано

Рассмотрим упругое тело, закрепленное в пространстве системой опор (рис. 6.5) и нагруженное некоторой системой сил.

Рис. 6.5

Пусть при нагружении тела этими силами совершается работа А. Определим изменение этой работы dA при изменении силы Q_i на величину dQ_i . Согласно принципу независимости действия сил работа, совершаемая некоторой системой сил, прикладываемых к упругому телу, не зависит от порядка приложения этих сил. Примем следующий порядок приложения сил. Пусть вначале прикладывается сила dQ_i . При этом происходит перемещение в точке приложения этой силы в направлении силы и совершается работа . Пусть далее к телу прикладывается система сил Q₁, Q₂,…., Q_i,….Q_n, совершающая работу А. При этом точка приложения силы dQ_i перемещается в направлении этой силы на величину . В силу изложенного работа равна . Вычитая из этой работы величину А и пренебрегая величиной второго порядка малости, получим

.

По закону сохранения энергии эта работа равна изменению потенциальной энергии dU, соответствующему изменению силы Q_i на величину dQ_i . Поскольку U=U(Q₁, Q₂,…Q_i, …, Q_n )

.

Приравнивая правые части равенств, получим

.

Из вывода этого равенства ясно, что под Q_i можно понимать обобщенную силу, т.е. любой внешний силовой фактор, а под - обобщенное перемещение, на котором совершает работу обобщенная сила Q_i . Например, если Q_i – сила, то - проекция полного перемещения точки приложения силы Q_i на направление этой силы, если Q_i- внешний момент, то - поворот в точке приложения момента в направление момента.

Таким образом, частная производная от потенциальной энергии упругого деформирования тела (или системы тел) по обобщенной силе равна соответствующему этой силе обобщенному перемещению.

Это утверждение было доказано итальянским механиком Кастилиано и носит название теоремы Кастилиано.

Пример. Определим прогиб консоли прямоугольного поперечного сечения шириной b и высотой h, нагруженной на конце силой Р (рис.6.6).

Рис. 6.6

Потенциальная энергия упругого деформирования рассматриваемой балки

Будем отсчитывать координату z от точки приложения силы. Тогда Q=P, M_X=-Pz . Следовательно,

.

Согласно теореме Кастилиано прогиб конца балки

Поскольку у балок обычно , первым слагаемым в скобках можно пренебречь. Тогда получим

.