6.2.2. Интеграл Мора

Непосредственно по теореме Кастилиано можно определить перемещение только в том случае, если тело нагружено соответствующей этому перемещению обобщенной силой. Однако, эта трудность легко преодолима. Если требуется определить перемещение в точке, где не приложено внешних сил, можно приложить в этой точке силу Ф, соответствующую определяемому перемещению. Написав далее выражение потенциальной энергии тела в зависимости от всех действующих на тело нагрузок и силы Ф, возьмем частную производную от этой энергии по Ф. В полученном выражении для перемещения необходимо положить силу Ф равной нулю.

Вернемся к рассмотрению стержня. Для определения перемещения некоторой точки стержня приложим в этой точке соответствующую этому перемещению обобщенную силу Ф (если определяется линейное перемещение, то прикладывается сила, если угловое, – то момент). При этом внутренние силовые факторы в различных поперечных сечениях изменятся на величины, зависящие от Ф. Например, крутящий момент, возникающий в стержне под действием приложенных к нему нагрузок, окажется равным М_КР + М_КФ, где первое слагаемое определяет момент, возникающий в стержне под действием приложенных к нему нагрузок, а второе слагаемое – дополнительный момент, возникающий при приложении силы Ф. Очевидно, что момент М_КФ пропорционален силе Ф. Поэтому можем записать

М_КФ = М_К1·Ф,

где М_К1- коэффициент пропорциональности.

Следовательно, крутящий момент

М_К = М_КР + М_К1·Ф.

Если снять с бруса все нагрузки и положить Ф = 1, то М_К = М_К1, откуда следует, что М_К1 – это крутящий момент, возникающий в брусе при его нагружении единичной (т.е. равной единице) силой, приложенной в точке и по направлению, соответствующим определяемому перемещению.

Аналогичное справедливо и относительно других внутренних силовых факторов. Это позволяет записать выражение потенциальной энергии стержня при действии на него нагрузок и силы Ф

.

Здесь N_P, Q_YP, … - внутренние силовые факторы, возникающие в стержне под действием приложенных к нему нагрузок (без силы Ф), а N₁, Q_Y1, … - внутренние силовые факторы, возникающие при нагружении стержня единичной силой.

Определим теперь искомое перемещение δ, взяв частную производную от потенциальной энергии по Ф и положив в полученном выражении Ф = 0

. (6.9)

Полученную формулу называют интегралом Мора. Эта формула была получена Мором без использования теоремы Кастилиано из геометрических соображений.

Не все слагаемые формулы (6.9) равнозначны. Обычно слагаемые, связанные с силами N, Q_Y, Q_Х малы по сравнению со слагаемыми, зависящими от моментов М_К, М_Х, М_Y. Свидетельством этому являет пример в п. 6.2.1. Поэтому, например, в случае изгиба обычно определяют перемещение, пренебрегая влиянием поперечной силы на эти перемещения. Правило знаков здесь аналогично правилу знаков при использовании теоремы Кастилиано: если перемещение получено со знаком «плюс», то это означает, что оно происходит в направлении единичной силы.

Пример. Определим горизонтальное и вертикальное перемещение и поворот сечения А криволинейного стержня, показанного на рис. 6.7.

Рис. 6.7

Изгибающий момент в сечении, положение которого определено полярной координатой φ, равен

.

Для определения горизонтального перемещения сечения А приложим в этом сечении горизонтальную единичную силу (рис. 6.7, б). Изгибающий момент от этой силы

.

Следовательно, перемещение

.

Для определения вертикального перемещения y_A приложим в сечении А вертикальную единичную силу (рис. 6.7, в). Ее момент

.

Искомое перемещение

.

И, наконец, для определения угла поворота Θ_А сечения А необходимо приложить единичный момент (рис. 6.7, г). Очевидно, в этом случае М₁ = 1. Поэтому

.