6.2.3. Способ Верещагина

В случае прямого стержня внутренние силовые факторы от единичных нагрузок изменяются по длине линейно. Если у такого стержня постоянное сечение, то каждое слагаемое формулы (6.9) сводится к интегралу вида

,

где α, β – постоянные; a, b – координаты начала и конца рассматриваемого участка стержня. Студентом Московского института инженеров железнодорожного транспорта Верещагиным в 1925 г. предложен простой способ определения таких интегралов. Тогда

.

Первый из этих интегралов представляет собой площадь под графиком функции в области . Обозначим эту площадь через ω. Второй интеграл равен статическому моменту этой площади относительно оси, перпендикулярной оси z и проведенной через начало этой оси. Этот момент, как известно, равен произведению площади ω на координату z_c центра тяжести этой площади. Таким образом,

.

Но выражение в скобках равно значению функции f₂ при z = z_c. Обозначив f₂(z_c) = f_2c, получим, что I = ω∙f_2c.

Как видим, рассматриваемый интеграл равен произведению площади первой эпюры на ординату второй эпюры в точке с координатой центра тяжести первой эпюры.

Если обе функции f₁ и f₂ линейные, то операция их «перемножения» обладает свойством коммутативности. В этом случае безразлично, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или наоборот.

Способ Верещагина применим ко всем шести интегралам Мора. Упрощение, достигаемое при использовании способа Верещагина, обусловлено тем, что эпюры внутренних силовых факторов можно обычно разбить на простейшие фигуры: треугольник, прямоугольник и параболический треугольник. Определение площади и положения центра тяжести треугольника и прямоугольника общеизвестно. На рис. 6.8 приведена формула для определения площади и показано положение центра тяжести параболического треугольника.

Рис. 6.8

Способом Верещагина можно, например, определять перемещения при изгибе прямых балок. Пренебрегая влиянием поперечной силы, получим в случае прямого изгиба

.

Здесь i – номер определяемого перемещения. Суммирование производится по всем участкам (в пределах каждого участка должны быть регулярны и эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки, и эпюра изгибающего момента от единичной силы), а случае «расслаивания» эпюры на некоторых участках на простейшие элементы (треугольники, прямоугольники и т.д.), то и по всем этим элементам. Формула остается одинаковой и при определении прогиба, и при определении поворота сечения. Только в первом случае M_ik – изгибающий момент от единичной силы, а во втором случае – от единичного момента.

Пример. Определим прогиб в точке А балки, показанной на рис. 6.9. Для этого построим эпюру изгибающих моментов от нагрузок на балку, а также от единичной силы приложенной в точке А.

Рис. 6.9

На участке ВС площадь эпюры моментов от нагрузки равна Pl²/2, а момент от единичной силы под центром тяжести этой части эпюры равен l/3

На участке АВ площадь эпюры моментов от нагрузок равна Pl²/2, а момент от единичной силы под центром тяжести эпюры от нагрузок равен 5l/8.

Учитывая симметрию рассматриваемых эпюр, запишем

.

Ответ получен положительным. Это значит, что прогиб происходит в направлении единичной силы, т.е. вниз.

6.3. Раскрытие статической неопределимости стержневых

систем методом сил

6.3.1. Степень статической неопределимости

Под стержневой системой понимают конструкцию, состоящую из элементов, имеющих форму стержня. Если элементы такой конструкции работают в основном на растяжение или сжатие, то её называют фермой. Ферма состоит из прямых шарнирно соединённых стержней. Нагрузки на ферму прикладываются к её узлам.

Если хотя бы некоторые из элементов стержневой системы работают в основном на изгиб или кручение, такую систему называют рамой. Раму (или ферму), у которой оси всех составляющих элементов и действующие на них силы расположены в одной плоскости, называют плоской.

Рамы и фермы делят на статически определимые и на статически неопределимые. Под статически определимой понимают такую кинематически неизменяемую систему, для которой при заданных нагрузках можно из уравнений равновесия, записанных для всей конструкции или для отдельных её частей, выделенных методом сечений, определить все реакции опор и внутренние силы в стержнях. Если же такое определение реакций опор и внутренних сил невозможно, стержневую систему называют статически неопределимой.

Разность между числом неизвестных реакций опор и внутренних усилий и независимых уравнений равновесия называется степенью статической неопределимости. Степень статической неопределимости может определяться как число “дополнительных” связей, наложенных на систему. Под дополнительными понимают связи, наложенные на систему сверх необходимых для обеспечения кинематической неизменяемости. Поясним это на примерах.

Балка, защемлённая одним своим концом (рис. 6.10, а) является кинематически неизменяемой системой (это означает, что приложение к ней не очень больших нагрузок приводит лишь к малым перемещениям, обусловленным деформацией балки). Любая дополнительная опора накладывает на балку дополнительные связи (шарнирно подвижная опора – одну, шарнирно неподвижная – две и т.д.). У балки, изображенной на рис. 6.10, б две такие дополнительные связи, следовательно, степень её статической неопределимости равна двум.

Рис. 6.10

Связи, ограничивающие перемещения конструкции как жесткого целого, называют внешними. В рассмотренном примере речь шла о внешних связях.

Связи, ограничивающие взаимные смещения отдельных элементов конструкции, называют внутренними.

Рассмотрим пример иллюстрируемый на рис. 6.11. На рисунке показана статически определимая рама. При любых нагрузках реакции опор и внутренние силы в стержнях этой рамы можно определить из уравнений равновесия. Ясно, что рама является кинематически неизменяемой, следовательно, имеются необходимые связи. Если же соединить стержни 1 и 2 в узле А (рис. 6.8, б), то тем самым окажутся ограниченными взаимные смещения этих стержней, т.е. будут наложены дополнительные внутренние связи. Система станет статически неопределимой. Если соединение шарнирное, то оно ограничит линейные перемещения сечения А стержня 1 относительно сечения А стержня 2, т.е. будут наложены две дополнительные внешние связи. Если соединение в узле А неподвижное, то наложено три дополнительные связи. В связи с этим заметим, что замкнутый внешний контур имеет три дополнительные связи и в силу этого трижды статически неопределим.

Рис. 6.11

Приведём несколько примеров к определению степени статической неопределимости (рис. 6.12):

а) кольцо имеет три внутренние дополнительные связи, и поэтому трижды статически неопределимо;

б) рама имеет три дополнительные внешние и три дополнительные внутренние связи. Степень статической неопределимости – шесть;

в) на раму наложены одна внешняя дополнительная связь и две внутренние. Степень статической неопределимости – три.