6.3.2. Метод сил

Метод заключается в следующем. Рассматриваемая статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей. Действие этих связей заменяется неизвестными силами и моментами. Их величина находится решением системы уравнений, согласно которым перемещения в стержневой системе соответствуют тем ограничениям, которые накладываются на неё отброшенными связями.

Рис. 6.12

Стержневая система, освобождённая от дополнительных связей и в силу этого становящаяся статически определимой, называется основной системой.

Для каждой статически неопределимой системы можно подобрать множество различных основных систем. На рис. 6.13 приведены четыре основные системы для показанной на этом рисунке плоской рамы. Все они удовлетворяют требованиям к основной системе – все являются статически определимыми.

Рис. 6.13

Выберем для дальнейшего анализа расчётную схему, изображённую на рис. 6.13,б. В данном случае рама освобождена от трёх связей, запрещающих два линейных (вдоль координатных осей) и угловое перемещение сечения А (рис. 6.14).

Рис. 6.14

Заменим действие этих связей их реакциями Х₁, Х₂, Х₃. Здесь Х₁, Х₂ – силы, а Х₃ – момент. Основная система будет эквивалентна рассчитываемой раме, если эти реакции будут такими по величине, что соответствующие им перемещения сечения А обратятся в нуль, т.е. если

(6.10)

В соответствии с принципом независимости действия сил можем записать

и два аналогичных уравнения. Здесь - перемещение сечения А в направлении силы (или момента) , под действием силы (или момента) , а - перемещение сечения А в направлении силы (или момента) под действием всех приложенных к раме нагрузок (в данном случае они представлены только моментом М). Поскольку предполагается справедливым закон Гука, можем записать

,

где - перемещение точки приложения силы в направлении этой силы под действием единичной силы, направленной вдоль . Таким образом, уравнение (6.10) можно переписать в виде

(6.11)

Ясно, что таким же образом можно получить аналогичные уравнения и для других рам с иной степенью статической определимости. Так что в общем случае можем записать

(6.12)

где n – степень статической неопределимости.

Система уравнений (6.11) называется системой канонических уравнений метода сил.

Здесь требуют однако пояснения вопросы, связанные с наличием внутренних дополнительных связей. Освобождая систему от таких связей, мы заменяем их действие неизвестными внутренними силами, также обозначенными Х. Им соответствуют взаимные смещения элементов рамы . Например, в случае трижды статически неопределимой рамы, показанной на рис.6.15, можно выбрать основную систему, показанную на рис.6.15, б, получаемую, если мысленно рассечь стержень АB. В этом случае неизвестными будут нормальная сила Х₁, поперечная сила Х₂, и изгибающий момент Х₃. Понятно, что любой из этих силовых факторов, приложенный к левой части стержня АВ, равен по величине и обратен по направлению приложенному к правой части стержня. Этим силам соответствуют перемещения: - смещение сечения относительно сечения вдоль оси стержня АВ, - смещение сечения относительно сечения в направлении, перпендикулярном оси стержня АВ, и - поворот сечения относительно сечения .

Рис. 6.15

Коэффициенты можно определить методом Мора. Если рама состоит из прямых стержней, то удобно определять их способом Верещагина. В этом случае для определения коэффициента ”перемножаются” эпюры изгибающих моментов от единичной силы, направленной вдоль силы и приложенной в точке её приложения. В силу линейности этих эпюр безразлично, у какой из них определяется площадь, а у какой – момент “под центром тяжести”. Поэтому очевидно, что . Коэффициенты определяются “умножением” так называемой грузовой эпюры, т.е. эпюры изгибающих моментов в основной системе, возникающих вследствие действия на неё всех нагрузок, приложенных к раме, на эпюру моментов от единичной силы, направленной вдоль силы Х₁ и приложенной в точке её приложения.

Пример. Рассмотрим раму, изображённую на рис. 6.16.

Рис. 6.16

На этом же рисунке приведены грузовая эпюра и эпюры от единичных сил, соответствующих силам Х₁, Х₂. При этом моменты отложены от сжатого волокна. Определим коэффициенты уравнений (6.11), считая жёсткость на изгиб у стержней рамы одинаковой и равной EI. Величину определяем “умножением” первой единичной эпюры самой на себя. Для этого на каждом участке определяется площадь эпюры изгибающих моментов, которая умножается на величину момента в сечении с координатой центра тяжести этой эпюры:

Отсюда видно, что всегда , если . Перемножая эпюры с соответствующими номерами, найдём

Канонические уравнения запишутся в виде

Решив эту систему, найдём Далее нетрудно построить эпюры внутренних силовых факторов и при необходимости выполнить расчёты рамы на прочность и жёсткость.

96