херня / Лекции Сопромат ЗО / лекции5-6

3. КРУЧЕНИЕ

3.1. Кручение круглых валов

3.1.1. Внутренние силы при кручении прямых круглых

валов

В технической литературе брус, подвергаемый кручению, обычно называют валом.

Рассмотрим круглый прямой вал, нагруженный парами сил, векторы моментов которых параллельны оси вала. Легко увидеть, что в поперечных сечениях такого вала возникают лишь крутящие моменты Мк, численно равные алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к валу по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси вала.

3.1.2. Касательные напряжения

Наличие крутящего момента означает, что в поперечных сечениях вала действуют касательные напряжения. Момент этих напряжений относительно оси вала

(3.1)

Здесь - составляющая касательного напряжения, перпендикулярная к радиусу, - радиус, т.е. удаление площадки dF от оси вала, F - площадь поперечного сечения. Определить величину из этого уравнения нельзя, т.к. нам не известен закон изменения этих напряжений по поперечному сечению. Задача, таким образом, является статически неопределимой. В связи с этим рассмотрим деформации при кручении.

Как показывают эксперименты, и как следует из решения задачи о кручении круглых валов методами теории упругости, при кручении таких валов их поперечные сечения поворачиваются как жесткое целое, в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения, перпендикулярные к радиусу вала. Примем эти положения как исходные предпосылки расчета.

Рис. 3.1

Двумя поперечными и одним цилиндрическим сечениями выделим из вала элемент (рис. 3.1) длиной dz и радиуса (ось эле­мента совпадает с осью вала). Предположим, что до закручивания вала на рассматриваемый элемент нанесены радиальная OA и про­дольная AB риски. При закручивании риска OA повернется относи­тельно своего прежнего положения на угол, а риска AB на угол (это сдвиг, поскольку представляет собой происходя­щее при закручивании искажения прямого угла между риской AB и касательной к контуру поперечного сечения BC).

Имеем

.

Следовательно,

, (3.2)

где - относительный угол закручивания.

По закону Гука

, (3.3)

где G - модуль сдвига. Подставив (3.3) в (3.1), получаем

. (3.4)

Величину

называют полярным моментом инерции. Из (3.4) находим

. (3.5)

и, следовательно,

. (3.6)

Как видим, касательные напряжения изменяются вдоль радиуса по линейному закону.

3.1.3. Полярный момент инерции

Определим полярный момент инерции для кольцевого поперечного сечения с внутренним радиусом r и наружным радиусом R (рис. 3.2). Выберем элементарную площадку и dF в виде кольца радиусом и шириной . Тогда

Рис. 3.2

Подставляя это соотношение в выражение для , получим

(3.7)

где D=2R — наружный диаметр сечения; .

В случае сплошного вала и, следовательно,

, (3.8)

где D - диаметр вала.

3.1.4. Условие прочности вала

На рис. 3.3 в соответствии с (3.6) показана эпюра касательных напряжений в поперечном сечении вала. Наибольшее касательное напряжение возникает в точках

.

Рис. 3.3

Величину

называют полярным моментом сопротивления.

В случае полого вала с учетом (3.7) получаем

.

В случае сплошного вала

.

Таким образом,

. (3.9)

Поскольку в рассматриваемом случае возникает лишь одно напряжение, нет смысла привлекать к оценке прочности теории прочности. Целесообразнее определять предельное касательное напряжение испытанием материала на кручение. По этому предельному напряжению можно определить допускаемое касательное напряжение [], а условие прочности записать в виде

(3.10)

3.1.5. Условия жесткости вала

Угол закручивания вала определим из (3.5) (учитывая, что )

,

где l - расстояние между сечениями, взаимный поворот которых определяется. Если между этими сечениями крутящий момент и попе­речное сечение вала остаются постоянными, то

.

Условия жесткости при кручении записывают в виде

, (3.11)

. (3.12)

Пример. Сопоставить вес двух валов, изготовленных из одного материала и передающих одинаковый крутящий момент. Первый вал - сплошной, второй - полый с .

Определим диаметр первого вала из условия прочности (3.10), взятого со знаком равенства

и из условия жесткости (3.11), также взятого со знаком равенства

У полого вала

,

Отношение веса этих валов равно отношению их площадей поперечного сечения. Если диаметры валов определены из условия прочности, то

Если же диаметры определены из условия жесткости, то

Как видим, вес полого вала значительно меньше веса сплошного вала. Объясняется это тем, что согласно эпюре касательных напряжений (рис. 3.3) в центральной части материал нагружен слабо и удаление материала в этой области не сказывается существенно на прочности и жесткости вала.

Однако стоимость полого вала далеко не всегда оказывается ниже стоимости сплошного вала. Расход материала при изготовлении полого вала меньше, но стоимость его изготовления может оказаться значительно выше стоимости изготовления сплошного вала.

45