5. ИЗГИБ

5.1. Расчёты на прочность при изгибе

5.1.1. Внутренние силовые факторы

Как уже указывалось, под изгибом понимают вид деформирования, при котором в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты. Если наряду с этими моментами возникают поперечные силы, изгиб называют поперечным, в противном случае, т.е. если в поперечных сечениях действуют только изгибающие моменты, изгиб называют чистым.

Стержень, работающий в основном на изгиб, принято в технической литературе называть балкой.

Ограничимся здесь рассмотрением случая прямого плоского изгиба, когда все внешние силы, действующие на балку, её ось и одна из главных осей инерции поперечного сечения лежат в одной плоскости.

Условимся относительно правила знаков изгибающих моментов и поперечных сил. Как будет ясно из последующего изложения, это правило связано с направлением координатных осей. Пусть в дальнейшем ось y направлена вверх. Тогда независимо от направления оси z, совмещенной с осью балки, можно принять следующее правило знаков.

Будем считать поперечную силу Q, возникающую в рассматриваемом сечении в результате действия некоторой внешней силы, приложенной слева от сечения, положительной, если эта сила направлена вверх. Если же внешняя сила приложена справа от сечения, то вызываемая, ею поперечная сила считается положительной, когда внешняя сила направлена вниз. В противных случаях поперечная сила считается отрицательной. Таким образом, положительная поперечная сила вызывается внешней силой, момент которой относительно центра тяжести рассматриваемого сечения направлен по ходу часовой стрелки (рис.5.1).

Если внешняя сила (или пара сил) приложена слева от рассматриваемого сечения, то вызываемый ею изгибающий момент считается положительным, если момент этой силы (пары сил) направлен против хода часовой стрелки. Если же внешняя сила (или пара сил) приложена справа от сечения, то вызываемый ею изгибающий момент, считается положительным, если момент силы (или пары сил) направлен по ходу часовой стрелки. При положительном изгибающем моменте балка изгибается выпуклостью вниз, при отрицательном – выпуклостью вверх (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Поперечную силу и изгибающий момент определяют, используя метод сечений. Если мысленно рассечь балку в интересующем нас сечении, отбросить одну из полученных частей балки, заменив её действие на оставшуюся часть поперечной силой и изгибающим моментом, и рассмотреть равновесие оставшейся части балки, легко увидеть, что поперечная сила в этом сечении, равна сумме взятых с учётом принятого правила знаков проекций всех приложенных к балке по одну сторону от сечения внешних сил на ось y. Изгибающий момент в этом сечении равен сумме взятых с учётом принятого правила знаков моментов всех внешних сил, приложенных к балке по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно центра тяжести этого сечения.

В число указанных внешних сил входят как активные силы, обычно заданные, так и подлежащие обычно определению реакции опор. На рис. 5.2 схематично показаны основные типы опор балок.

Рис. 5.2

Опоры а – шарнирно подвижные. Они запрещают перемещение опирающегося на них сечения балки в направлении, перпендикулярном некоторой плоскости (обычно в направлении оси y). В соответствии с этим реакция шарнирно подвижной опоры направлена по перпендикуляру к указанной плоскости. Опора б – шарнирно неподвижная. Она запрещает линейные перемещения опирающегося на неё сечения балки. В соответствии с этим реакция этой опоры представляет собой произвольно ориентированную в плоскости zoy силу, которую можно разложить на две составляющие вдоль координатных осей R_z и R_y. Заметим, что в рассматриваемых нами задачах всегда R_z = 0. Тем не менее, запрет перемещения вдоль оси Z необходим для противодействия различным (пусть малым) продольным нагрузкам на балку (скажем, ветровой нагрузки). Если бы, например, двухопорная балка была установлена на двух шарнирно подвижных опорах, она легко превращалась бы в механизм. Опора в – защемление. Такая опора запрещает и линейные перемещения, и поворот опирающегося на неё сечения.

Реакциями такой опоры является произвольно направленная в плоскости ZOY силу, которую можно разложить на силы R_z, R_y и опорный момент.

5.1.2. Теоремы Журавского.

Между нагрузкой на балку в окрестности рассматриваемого сечения, поперечной силой и изгибающим моментом в этом сечении существует определённая связь, которую мы установим, рассмотрев равновесие элемента балки, выделенного двумя поперечными сечениями, отстоящими друг от друга на расстоянии dz (рис.5.3). Нагрузкой на этот элемент служит распределённая нагрузка, которую в силу малости dz можно считать равномерно распределённой с интенсивностью q. В левом сечении действует поперечная сила Q и изгибающий момент M_u. Поскольку в общем случае и поперечная сила, и изгибающий момент могут изменяться вдоль оси балки, в правом сечении показаны поперечная сила Q + dQ и изгибающий момент M_u+ dM_u .

Проектируя все силы, приложенные к элементу балки, на

ось y, получаем:

,

откуда находим

. (5.1)

Таким образом, интенсивность распределённой нагрузки равна производной от поперечной силы по координате z в рассматриваемом сечении.

Рис. 5.3

Приравняем далее нулю сумму моментов всех сил относительно центра тяжести правого сечения, получаем

.

Пренебрегая величиной второго порядка малости, находим

. (5.2)

Следовательно, поперечная сила в некотором сечении балки равна производной от изгибающего момента по координате z.

Доказанные утверждения называют теоремами Журавского.

Из этих теорем можно сделать ряд выводов о характере эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Если на некотором участке балка свободна от распределённой нагрузки, то на этом участке поперечная сила постоянная (следует из 5.1), а изгибающий момент – линейная функция координаты z, что следует из (5.2).

Если на некотором участке балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой, то на этом участке поперечная сила является линейной функцией координаты z, а изгибающий момент – квадратичной функцией этой координаты. Если эпюра изгибающих моментов положительна, моменты откладываются вверх от сечения, и эпюра изгибающих моментов обращена своей выпуклостью в направлении, обратном направлению распределённой нагрузки. Это следует из равенства:

получаемого из (5.1), (5.2).

В точках приложения сосредоточенных сил эпюра Q претерпевает скачок (разрыв) на величину этих сил, а эпюра М – перелом.

В точках приложения пар сил эпюра М претерпевает скачок на величину моментов этих пар.

5.1.3. Пример

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рис. 5.4. Из уравнений равновесия балки находим реакции опор. Они равны Р. Пусть ось z имеет своим началом точку А и направлена вправо. На первом участке балки, т.е. при , слева от любого сечения действует только направленная вверх реакция опоры, равная Р, и поэтому на этом участке . На втором участке балки при слева от сечения действует направленная вверх реакция опоры и направленная вниз нагрузка Р. В силу этого получаем:

При рассмотрении третьего участка целесообразно выбрать новую систему координат с осью z₁, имеющей начало в точке B и направленной влево. Тогда на этом участке при На рис. 5.4 построены графики полученных уравнений. Легко увидеть соответствие построенных эпюр свойствам таких эпюр, отмеченных в предыдущем параграфе.

Рис. 5.4