5.1.4. Напряжения при чистом изгибе

Как уже указывалось при чистом изгибе в поперечных сечениях балки возникают только изгибающие моменты. Чистому изгибу подвержена рассмотренная балка на участке 2.

Легко убедиться в том, что при чистом изгибе поперечные сечения остаются плоскими (т.е. частицы, лежащие до деформации в плоскости поперечного сечения, и после деформации лежат в плоскости поперечного сечения изогнутой балки). Действительно, среднее сечение АА (рис. 5.5) в силу симметрии остаётся плоским. Рассмотрим теперь часть балки, расположенную слева от сечения АА. Как видим, для этой части плоскостью симметрии является плоскость, проходящая через сечение ВВ. В силу этого остаётся плоским и это сечение. Подобным разбиением балки можно убедиться, что любое поперечное сечение может рассматриваться, как лежащее в плоскости симметрии какой – то части изогнутой балки и в силу этого остаётся плоским в процессе изгиба.

Рис. 5.5

Рассмотрим элемент балки длинной (рис.5.6). При его изгибе верхние слои материала растягиваются, а нижние сжимаются. Следовательно, существует слой, который при этом не удлиняется. Этот слой называется нейтральным. В дальнейшем будем отсчитывать координату Y от нейтрального слоя. Как следует из рис. 5.6, относительное удлинение волокна AB равно

, (5.3)

где - радиус кривизны оси изогнутой балки.

Поскольку поперечные сечения не искривляются, на них не действуют касательные напряжения. Если пренебречь, как это обычно делают, давлением между продольными слоями, можно определить нормальные напряжения в поперечных сечениях по закону Гука, записанному для линейного напряжённого состояния

(5.4)

Рис. 5.6

Поскольку в поперечных сечениях не действует нормальная сила, равнодействующая этих напряжений равна нулю

Таким образом, если ось x совмещена со следом нейтрального слоя в поперечном сечении, называемым нейтральной осью, то статический момент Это указывает на то, что нейтральная ось проходит через центр тяжести поперечного сечения. Тем самым определено начало отсчёта координаты Y.

Изгибающий момент М_y в рассматриваемом случае плоского прямого изгиба также равен нулю

Как видим центробежный момент инерции I_xy= 0, а, следовательно, оси x и y являются главными осями инерции. Тем самым подтверждено, что принятая схема деформации балки (изогнутая ось остаётся в плоскости действия нагрузок на балку) соответствует исходным предпосылкам анализа.

И, наконец, момент напряжения относительно оси x равен изгибающему моменту:

(5.5)

где I_x – момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси.

Отсюда находим Подставив это выражение в (5.4), находим напряжение

. (5.6)

Как видим, возникающие при чистом изгибе балки нормальные напряжения изменяются по высоте сечения по линейному закону, достигая наибольшего значения в наиболее удалённых от нейтрального слоя точках.