Далее по закону Гука имеем

(2.9)

(Здесь учтена малость δ по сравнению с ). Подставим (2.9) в (2.8), получаем

. (2.10)

Решая систему уравнений (2.7), (2.10), можем определить внутренние силы, а затем и монтажные напряжения. Заметим, что монтажные напряжения определяются не абсолютной (δ), а относительной неточностью изготовления стержней.

Возникновение монтажных напряжений является недостатком статически неопределимых систем. Однако этот недостаток можно обратить и в достоинство, если точность изготовления стержней является контролируемой. Так, рассмотренная выше стержневая система, нагруженная силой P (рис . 2.4), при точном изготовлении стержней и одинаковой их жесткости ЕF является неравнопрочной - средний стержень является более нагруженным, чем крайние. Если средний стержень изготовить более длинным (₁=₂/cosβ+δ) , то при сборке конструкции в нем возникнут сжимающие напряжения, а в крайних – растягивающие. При нагружении этой конструкции силой Р и при изменении δ в определенных пределах распределение напряжений в стержнях будет более равномерным .

2.3.3. Температурные напряжения

Температурными называются напряжения, возникающие в статических неопределимых стержневых системах при изменение температуры всех или отдельных стержней этой системы.

Обратимся опять к системе трех стержней, показанной на рис. 2.10 . Если нагреть стержень 2 на ∆Т⁰, то возникает температурное удлинение этого стержня

,

где -коэффициент температурного расширения материала. Этому удлинению препятствуют крайние стержни. В результате стержень 2 окажется сжатым, а стержниI - растянутыми, возникнут температурные напряжения. В статически определимых системах температурные напряжения не возникают. В этом можно убедиться на примере конструкции, показанной на рис. 2.7. Изменение температуры любого из стержней этой системы или обоих стержней одновременно будет приводить лишь к некоторому перемещению узла А и не будет вызывать какие-либо напряжения в стержнях.

Определим, например, напряжения возникающие в стержнях показанной на рис. 2.10 симметричной конструкции при ее нагреве на ∆t⁰ .

На рис. 2.11 показаны силы, действующие на узел А. Записываем уравнение равновесия

N₂+2N₁cosβ=0. (2.11)

Уравнение совместности деформаций по-прежнему имеет вид

(2.12)

Однако в данном случае необходимо учесть, что удлинение складывается из удлинения, связанного с внутренним усилием, и температурного удлинения

(2.13)

В связи с тем, что на рис. 2.11 все внутренние усилия в стержнях показаны растягивающими, удлинения, связанные с внутренними усилиями (), записаны в уравнениях (2.13) положительными.

Подставив равенство (2.13) в уравнение (2.12), получим уравнение относительно внутренних сил. Решая его совместно с (2.11), находим внутренние силы, а затем температурные напряжения.

Рис. 2.8

Рис. 2.9

Рис. 2.10

Рис. 2.11