Далее замечаем, что между удлинениями стержней I и 2 существует простая связь

(2.2)

Здесь в силу малости деформаций стержней мы не делаем различия в угле между стержнями I и 2 до и после нагружения, что соответствует принятому ранее принципу начальных размеров.

Рис. 2.7

Т

Рис. 2.4

Рис. 2.5

Рис. 2.6

аким образом, из рассмотрения деформации стержневой системы следует уравнение (2.2), связывающее между собой удлинения стержней, называемое уравнением совместности деформации. Если к стержням рассматриваемой системы добавить два симметрично расположенных стержня, то получим дважды статически неопределимую систему. Легко увидеть, что вдобавок к уравнению (2) в этом случае можно записать анало­гичное уравнение, связывающее удлинение стержня 2 и добавляемых стержней. Таким образом, число независимых уравнений совместности деформаций соответствует степени статической неопределимости стержневой системы.

По закону Гука

(2.3)

Подставив (2.3) в (2.2), получаем

(2.4)

Решая систему уравнений (2.1), (2.4), находим

. (2.5)

Знак " + " при внутренней силе указывает на то, что сила действительно имеет направление, показанное на рис. 2.5. Если бы ответ был получен со знаком "-", то это означало бы, что направление соответствующей силы является противоположным. Обычно имеется произвол в выборе направлений внутренних сил при использовании метода сечений. Следует только иметь в виду, что направление этих сил (рис. 2.5) должно соответствовать деформациям стержней (рис. 2.6), т.е. если стержень удлиняется, то внутреннее усилие в нем должно быть растягивающим, т.е. направленным от сечения. Если стержень укорачивается, то сила должна быть сжимающей.

Произведение ЕF обычно называют жесткостью при растяжении (сжатии). Как видим, для определения внутренних усилий в стержнях статически неопределимой системы необходимо знать соотношение жесткостей стержней этой системы. При прочих равных условиях внутреннее усилие стержня тем больше, чем больше его жесткость.

Если требуется подобрать площади поперечных сечений стержней, то используют условие прочности:

(2.6)

Легко убедиться, что в общем случае нельзя удовлетворить этим двум условиям, взятым со знаком равенства. Действительно, если они взяты со знаком равенства, то из (4) получаем

Отсюда следует, что равнопрочность стержней статически неопределимых систем (когда отношение напряжений в стержнях к соответствующим допускаемым напряжениям одинаково) достижимо лишь в сугубо частных случаях.

Обычно при решении такого рода задач при известных модулях упругости материала стержней задается соотношение площадей их поперечных сечений. Тогда величины этих площадей можно определить из условий прочности. Пусть в рассмотренном примере известно .

Найдем по (2.5) внутренние силы и из первого условия (2.6), взятого со знаком равенства, найдем F₂ . Далее найдем F₂=kF₁ и проверим, удовлетворяет ли эта площадь второму неравенству (2.6). Если удовлетворяет, то задача решена, если нет, то необходимо F₂ определить из этого неравенства, а F₁ принять равной F₂\k .

2.3.2. Монтажные напряжения

Монтажными называют напряжения, возникающие при сборке статически неопределимых стержневых систем вследствие неточности изготовления их элементов. Легко убедиться в том, что в статически определимых системах монтажные напряжения не возникают. Рассмотрим, например, конструкцию, показанную на рис. 2.7. Пусть длина стержня I несколько больше проектной. Это приведет лишь к тому, что конструкция несколько исказится (пунктир на рис. 2.6), но напряжения при этом не возникнут.

Обратимся теперь к статически неопределимой системе (рис. 2.8). Пусть длина стержня 2 меньше проектной на величину. Для того, чтобы собрать конструкцию необходимо стержень 2 растянуть и соответственно сжать стержниI. В результате возникнут монтажные напряжения. Понятно, что задача определения монтажных напряжений является статически неопределимой. Ограничившись рассмотрением симметричной конструкции, будем решать эту задачу также, как решали предыдущую . Вырезав узел А смонтированной конструкции, расставив действующие на него силы (рис. 2.9) и запишем уравнение равновесия

-2N₁cosβ+N₂=0. (2.7)

Далее рассматриваем деформацию стержневой системы. Легко увидеть, что между деформациями стержней существует следующая связь

. (2.8)