1.5.2. Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции)

Согласно этому принципу перемещения и внутренние силы в упругом теле не зависят от порядка приложения нагрузок. Это позволяет определять перемещения, внутренние силы, деформации и напряжения в случае, когда тело находится под действием некоторой системы нагрузок, как суммы пере­мещений, внутренних сил, деформаций и напряжений, возникающих при действии каждой из нагрузок в отдельности .

Убедимся в справедливости этого принципа на примере определения перемещения. Пусть к телу приложена сила Р₁ . Точка А переместится в направлении оси x под действием силы Р₁ на величину

U_X⁽¹⁾=k₁P₁ , (1.1)

Пусть далее при отсутствии силы P₁ к телу прикладывается сила Р₂ , тогда та же точка А переместится на величину

U_X⁽²⁾=k₂P₂ , (1.2)

Убедимся теперь, что если на тело одновременно действуют силы Р₁ и Р₂, то точка А переместится на величину U_X=U_X⁽¹⁾+U_X⁽²⁾ .

Приложим вначале силу Р₁, а затем, не разгружая тело от этой силы, силу Р₂. Тогда перемещение

U_Х= к₁ Р₁ + к₂¹ Р₂ . (1.3)

Коэффициент пропорциональности при Р₁ такой же, как и в равенстве (1.1). А в равенстве к₂ и к₂¹ необходимо убедиться. Различие в ситуациях, которым соответствуют равенства (1.2) и (1.3), заключается в том, что в последнем случае, наряду с силой Р₂, действует сила Р₁. Следовательно, различие к₂ и к₂¹ означало бы зависимость этого коэффициента от силы P₁ , что противоречит закону Гука (второе слагаемое равенства (1.3) оказывается нелинейной функцией нагрузок). Следовательно, к₁=к₂¹, что и доказывает справедливость равенства

u_X=u_X⁽¹⁾+u_X⁽²⁾ .

Заметим, что поскольку, как уже указывалось, коэффициенты пропорциональности перемещений нагрузке зависят от геометрии и размеров тела, равенство к₁=к₂¹ справедливо лишь в случае, если при нагру­жении тела силой Р₁ произошли пренебрежимо малые изменения размеров .

Из справедливости принципа суперпозиции по отношению к перемещениям следует его справедливость по отношению к деформациям, а в силу пропорциональности деформаций напряжениям - относительно напряжений.

1.5.3. Принцип начальных размеров

В сопротивлении материалов рассматриваются деформации, при которых перемещения любой точки малы по сравнению с размерами тела. Это позволяет при записи уравнений равновесия и некоторых других уравнений рассматривать тело как недеформированное, т.е. считать, что при нагружении тела его размеры не изменяются .

1.5.4. Принцип Сен-Венана

Согласно этому принципу характер приложения нагрузки влияет на напряженное состояние лишь в области, распространяющейся на величину характерного размера поперечного сечения от места приложения нагрузки (например, если поперечное сечение стержня круглое, то на величину диаметра этого сечения). В дальнейшем будем считать, что эта область исключена из рассмотрения.

На рис.I.6. показаны стержни, растягиваемые различным образом приложенными к их концам силами Р. В соответствии с принципом Сен-Венана будем считать их напряженное состояние одинаковым.

16