4.12. Экономический смысл оптимальных

двойственных оценок

   

По первой теореме двойственности, если  x^* – оптимальный план прямой задачи, а  y^* – оптимальный план двойственной задачи, то  f(x^*) = g(y*) , или, в другой записи,

   < c , x* > = < b , y* > .

Предположим, что запасы ресурсов  b_i – переменные величины. Тогда оптимальный план  x^*  и максимальная прибыль  f(x^*)   будут функциями запасов ресурсов:   x^*=x^*(b),    f(x^*)=f(x^*(b)).

Предположим, что меняется запас только одного k-ого ресурса, так что его новое значение   b_k' = b_k + _k . Тогда новый вектор запасов ресурсов  b'  будет равен  

b' = ( b₁ , b₂ ,..., b_k + _k ,..., b_m ).

Подсчитаем  новое значение максимальной прибыли, опираясь на первую теорему двойственности.

f(x^*(b' )) = < c , x*(b' ) > = < b' , y* > =              = b₁ y₁*+ b₂ y₂*  + ...+(b_k + _k) y_k*+ ...+ b_m y_m*  =              = < b , y* > + _k y_k* = < c , x* > + _k y_k*

Таким образом,   f(x^*(b' )) = f(x^*(b )) +_k y_k^* .

Полагая здесь  _k = 1,  получим 

y_k^*=f(x^*(b' )) – f(x^*(b )) =  f(x^*). (4.25)

Следовательно, оптимальное значение двойственной оценки (теневой цены) y_k^* равно приросту оптимального значения целевой функции (прибыли)  при увеличении  запаса  k-го ресурса на единицу.

Величину y_k^*  называют ценностью ресурса  R_k. Действительно, чем больше значение оптимальной двойственной оценки некоторого ресурса, тем к большему увеличению прибыли приведет увеличение его запаса на единицу. Из условий равновесия  следует, что только дефицитные ресурсы имеют положительную ценность, а ценность недефицитных ресурсов равна нулю. Последний вывод экономически очевиден, так как если ресурс не используется полностью по оптимальному плану, то увеличение его запаса не может привести к изменению плана выпуска продукции, а значит, не приводит и  к увеличению прибыли. 

Следует отметить, что условие  <c,x*(b')> = <b',y*> , используемое при выводе соотношения (4.25), справедливо только в том случае, если при изменении вектора b (запаса ресурса) не меняется оптимальный план двойственной задачи  y*. Позже мы установим пределы изменения правых частей ограничений прямой задачи (целевого вектора  b  двойственной задачи), при которых  оптимальный план двойственной задачи не меняется.

В последнем примере оптимальный план двойственной задачи y*=(2/3,8/3). Обе его координаты положительны, поэтому R₁ и R₂ – дефицитные ресурсы и на оптимальном плане выпуска  x^*  = (2, 4, 0) используются полностью.

Так как  y₂^* > y₁^*, то ресурс R₂ более ценен, чем ресурс R₁  в том смысле, что, если запас ресурса R₁  (b₁ = 10)  увеличим на единицу, то прибыль  f(x^*)  увеличится на 2/3, а если запас ресурса  R₂  (b₂ = 8)  увеличим на единицу, то прибыль  f(x^*)  увеличится на 8/3.

Задание. Найти решение следующих задач ЛП, используя условия равновесия. В ответе указать оптимальные планы прямой и двойственной задач и значения целевых функций. 

1. f(x) = –x₁ – 3x₂+ x₃  max; x₁+x₂ + x₃  4; x₁ – x₂ + x₃  2;     x_j  0, j=1,2,3.

2. f(x) = 9x₁+2x₂+3x₃+2x₄  min; –x₁+ x₂+ x₃ – x₄ = 2;     3x₁+x₂ – x₃ – x₄ = –1;    x_j  0, j=1,2,3,4.

3. Фабрика производит три типа изделий А, В, С, используя для этого два вида сырья S₁ и S₂. Расход сырья на одно изделие, его запасы и цена реализации единицы продукции приведены в таблице

Вид сырья	Расход сырья на единицу			Запас сырья
	А	В	С
S1	1	3	4	9
S2	2	2	3	8
Цена	5	10	15

Найти план выпуска продукции, максимизирующий суммарный доход.

20