4.3. Экономический смысл двойственной задачи

Рассмотрим следующую производственную задачу.

Предприятие после выпуска основной продукции имеет излишки ресурсов двух типов: R₁ – 10 единиц, R₂ – 8 единиц. Существует два способа распорядиться этими ресурсами:

• организовать из них выпуск 3 новых видов продукции: P₁, P₂, P₃.

• продать их.

Рассмотрим оба способа.

Исходные данные приведены в таблице:

Ресурсы	Расход ресурса на  единицу продукции			Запас ресурсов
	P1	P2	P3
R1	1	2	1	10
R2	2	1	3	8
Удельная прибыль	6	4	4

Согласно первому способу, надо составить такой план выпуска продукции, который максимизирует суммарную прибыль. Построим математическую модель этой задачи.

Пусть  x_j – план выпуска продукции P_j .

Тогда целевая функция будет  выглядеть следующим образом:

f(x) = 6x₁ + 4x₂ + 4x₃  max;

Ограничения по ресурсам:

x₁ + 2x₂ + x₃  10 ,

2x₁ + x₂ + 3x₃  8 ,

x_j  0 ,  j=1,2,3.

Получили стандартную задачу ЛП.

Рассмотрим второй способ использования ресурсов, а именно, их продажу.

Интерес предприятия состоит в том, чтобы продать ресурсы  по таким ценам, при которых доход от реализации ресурсов будет не меньше прибыли, которую можно получить от реализации продукции, изготовленной из этих ресурсов.

В свою очередь, покупатель заинтересован  в приобретении  ресурсов  по таким ценам, при которых затраты на покупку будут минимальны. 

Задача согласования цен на ресурсы, устраивающих обе стороны, может быть описана следующей математической моделью. 

Пусть y₁ – цена одной единицы ресурса R₁ , y₂ – цена одной единицы ресурса R₂ .

Интерес покупателя будет выражаться целевой функцией, равной суммарной стоимости приобретаемых ресурсов

g(y) = 10 y₁ + 8 y₂  min .

Интерес продавца будет описываться ограничениями:

y₁ + 2y₂  6 ,

2y₁ + y₂  4 ,

y₁ + 3y₂  4 ,

в которых левая часть означает стоимость ресурсов, затраченных на выпуск единицы соответствующей продукции, а правая – удельную прибыль от ее реализации.

Присоединяя естественные условия неотрицательности цен:

y₁, y₂, y₃   0 ,

получаем  двойственную задачу ЛП.

    

Таким образом, симметричной паре двойственных задач можно придать определенный экономический смысл.

Прямая задача Определить такой план выпуска  продукции  x = ( x1 , x2 ,..., xn), используя  ограниченные запасы ресурсов, при котором прибыль от реализации продукции будет максимальной.

Двойственная задача Установить такой набор цен ресурсов y =( y1 , y2 ,..., ym), при которых стоимость ресурсов, затраченных на выпуск единицы продукции, будет не ниже прибыли от ее реализации, но при этом суммарная стоимость затрат будет минимальна.

    

Цены ресурсов  y₁ , y₂ ,...,y_m  носят названия теневых, неявных или внутренних цен. Эти названия отличают их от "внешних", заранее известных цен  с₁, с₂,...,с_n  на выпускаемую продукцию. Цены  y₁ , y₂ ,...,y_m на ресурсы определяются из решения двойственной задачи и характеризуют стоимость затрат на выпуск конкретных видов продукции, поэтому их часто называют двойственными оценками ресурсов.