Глава 2 Задачи линейного программирования

Определение 0. Линейное программирование (ЛП) – раздел математического программирования, в котором изучаются задачи на максимум или минимум линейной функции многих переменных при наличии ограничений в форме линейных равенств или неравенств.

Термин “программирование” – не совсем удачный перевод английского слова "programming", которое правильнее перевести как "планирование", что объясняется областью применения этой дисциплины. Методы линейного программирования оказались весьма эффективными при решении многих экономических задач, возникающих в производстве, торговле, управлении финансами, когда целью является максимизация или минимизация некоторого экономического показателя (максимизация прибыли или объема выпуска продукции, минимизация затрат сырья или транспортных расходов).

Создателями линейного программирования были советский математик, нобелевский лауреат Л.В.Канторович, впервые сформулировавший задачу ЛП, описывающую реальную экономическую ситуацию (1939 г.), и американский ученый Дж. Данциг – автор знаменитого симплекс-метода решения задач линейного программирования (1944 г.)

2.1. Постановка задач линейного программирования

Математическая постановка общей задачи ЛП имеет следующий вид.

Найти максимум (или минимум) линейной функции

(2.1)

от переменныхудовлетворяющихлинейным ограничениям в форме равенств или неравенств

(2.2)

При моделировании экономических процессов часто особо выделяются условия неотрицательности переменных (в силу смысла показателей, которые взяты за переменные):

(обычно записывают так:

). (2.3)

Договоримся о терминологии линейного программирования. Функция носит названиецелевой функции. Её коэффициенты образуют векторназываемыйцелевым вектором. Любой вектор координаты которого удовлетворяют условиям (2.2), (2.3), называетсядопустимым планом (допустимым вектором, допустимой точкой) задачи линейного программирования. Все они образуют множество допустимых планов задачи. Пландоставляющий целевой функциинаибольшее (или наименьшее) значение, называетсяоптимальным планом задачи ЛП. Ограничения (2.2) будем называть основными ограничениями, правая их часть – вектор – называетсявектором ограничений или вектором ресурсов (запасов). Коэффициенты левых частей основных ограничений составляют матрицу , которую мы будем называтьтехнологической матрицей.

2.2. Примеры моделей лп

Для того чтобы к решению конкретной задачи можно было применять методы линейного программирования, надо построить ее математическую модель. Напомним, что построение модели включает три этапа: а) определение величин (переменных), которые нужно найти в задаче; б) определение цели решения и построение линейной целевой функции, наибольшему или наименьшему значению которой соответствует достижение цели; в) описание ограничений на переменные, вытекающих из условий задачи с использованием линейных равенств и (или) неравенств.

В качестве примера рассмотрим две задачи.

Задача о производстве красок. Небольшая фабрика изготовляет два вида красок: INT для внутренних работ и EXT – для наружных работ. В производстве красок используются два исходных продукта А и В. Из-за малой площади склада максимально возможные суточные запасы этих продуктов равны 6 т. и 8 т. соответственно. На производство 1 т. краски INT расходуется 1 т. продукта А и 2 т. продукта В, а на изготовление 1 т. краски EXT идет 2 т. продукта А и 1 т. продукта В. Фабрика продает краску по цене 3 тыс.дол. за тонну краски INT и 2 тыс. дол. за тонну краски EXT. Исходные данные удобно свести в таблицу.

Исходные продукты	Расход продукта на 1 т. краски		Запас продуктов
	INT	EXT
А	1	2	6
В	2	1	8
Цена 1 т. краски	3 тыс. дол.	2 тыс. дол.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску EXT никогда не превышает спрос на краску INT более чем на 1 т. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика в сутки, чтобы доход от реализации продукции был максимален?

Построим математическую модель задачи. Для этого надо определить переменные задачи, целевую функцию и ограничения, которым удовлетворяют переменные. Обозначим через планируемый суточный объем производства краски INT, а через– суточный объем производства краски EXT. Целевая функциябудет выражать суточный доход от продажи краски, равный(тыс.долл.). Этот доход подлежит максимизации.

Построим ограничения задачи, связанные с ограниченными запасами продуктов А и В. На производство краски INT в количестве (т) будет использовано(т) продукта А, а на производство краски EXT в объеме(т) будет затрачено(т) продукта А. Поскольку суточный запас продукта А равен 6 т., то расход продукта А на изготовление красок двух видов не может превышать в сутки этой величины:Аналогично получим ограничение, связанное с запасом продукта В:Ограничение по соотношению спроса на краски можно описать неравенством:Учитывая естественные условия неотрицательности объемов выпуска продукции, окончательно получим следующую задачу линейного программирования:

Задача о рационе. Фермер для кормления скота зимой использует смесь из сена и силоса. Содержание питательных веществ в сене и силосе, их суточная норма в рационе и стоимость 1 кг кормов отражены в таблице:

Питательные вещества	Кол-во единиц питат. в-ва в 1 кг корма		Норма вхождения пит-х в-в в рацион
	сено	силос
	3	1	9
	1	2	8
	1	6	12
Стоимость 1 кг корма	5 руб.	4 руб.

Сколько килограммов сена и силоса надо взять для приготовления корма на одни сутки, чтобы он содержал все питательные вещества не ниже требуемой нормы и при этом был самым дешевым?

Составим математическую модель. Для этого введем две переменные: – масса сена,– масса силоса (в кг) в суточном рационе. Целевая функция выражает стоимость суточного рациона, которая должна быть минимально возможной:Ограничения, описывающие выполнение норм по питательным веществам, имеют вид:

– по веществу :

– по веществу :

– по веществу :

При этом переменные не могут принимать отрицательные значения: