2.5. Эквивалентные преобразования задач лп

Конкретная задача ЛП, в зависимости от экономического содержания, может иметь ограничения как типа равенств, так и неравенств любого смысла, а целевая функция может подлежать максимизации или минимизации. Покажем, что, тем не менее, любую задачу ЛП можно привести как к канонической, так и к стандартной форме с помощью эквивалентных преобразований.

Ограничение-неравенство сводится к ограничению вида "" умножением на "–1":

Стандартное ограничение можно привести к каноническому в форме равенства с помощью следующего приема. Обозначим черезразность правой и левой частей неравенства:

(2.10)

Очевидно, что Условие (2.10) можно переписать в форме канонического ограничения-равенства

Другими словами, ограничение-неравенство вида "" сводится к равенству путем добавления в левую часть новой (дополнительной) неотрицательной переменной.

Легко сообразить, что неравенство вида

можно свести к равенству, вычтя из левой части неотрицательную дополнительную переменную :

Ограничение в форме равенства

канонической задачи можно преобразовать к стандартному виду двумя способами. Первый способ состоит в замене одного равенства парой неравенств противоположного смысла:

из которых уже легко получить ограничения стандартной задачи ЛП. Второй способ основан на методе исключений части переменных из ограничений типа равенств. Поскольку в задаче ЛП число ограничений-равенств меньше числа переменных, всегда можно выразить часть неизвестных через остальные и подставить в условия-неравенства, условия неотрицательности и целевую функцию.

Осталось выяснить, как быть в ситуации, когда какая-либо из переменных окажется знаконеопределенной (т.е. по смыслу задачи может принимать любые значения). В этом случае следует заменить переменную на разность двух новых, неотрицательных:

После замены останется только перенумеровать все переменные, чтобы привести запись к естественному виду.

Напомним, что от операции минимизации к операции максимизации (и наоборот) переходят умножением целевой функции на "–1".

Задание. Привести к стандартной и канонической формам следующую общую задачу линейного программирования:

2.6. Экономическая интерпретация

стандартной задачи ЛП

Пусть фирма располагает видами ресурсов(сырье, финансы, трудозатраты и т.д.) и планирует организовать выпуск из нихвидов продукцииИзвестны следующие исходные данные:– затраты ресурсана выпуск одной единицы продукта(удельные затраты ресурсов);– прибыль от реализации одной единицы продукта(удельная прибыль);– запас ресурса

Требуется составить план выпуска продуктов из имеющихся ресурсов, при котором суммарная прибыль будет максимальна.

Построим математическую модель этой задачи. Обозначим через планируемый объем выпуска продукцииТогда ожидаемая прибыль от реализации-го вида продукции составита суммарная прибыль от реализации всей продукции будет равна

Согласно условиям задачи, она подлежит максимизации.

Затраты ресурса на выпуск всей продукциибудут выражаться суммой произведений удельных затратна объемы выпуска и составят величину, равнуюПоскольку запас ресурсаравен, а расход ресурса не может превышать его запас, то требование уложиться в имеющийся лимит ресурса приводит к ограничениям типа неравенства

Учитывая естественные условия неотрицательности объемов выпуска продукции

,

придем к постановке стандартной задачи ЛП.

Таким образом, стандартную задачу линейного программирования можно интерпретировать как производственную задачу о выпуске продукции из ограниченных запасов ресурсов, с целью получения максимально возможной прибыли.

Приведем теперь эту задачу к канонической форме, добавив в правую часть каждого i-го неравенства неотрицательную переменную ():

Выражая отсюда, видим, что она равна разности между запасом соответствующего ресурса и его расходом. Следовательно, дополнительная переменнаяможет быть интерпретирована как величина остатка ресурсапосле реализации производственной программы.

В дальнейшем мы будем часто обращаться к изложенной в данном пункте экономической интерпретации стандартной задачи ЛП. Именно такая "производственная" трактовка наиболее удобна при изучении так называемых "двойственных" задач ЛП, а также при проведении так называемого "постоптимального" параметрического анализа моделей ЛП (оказывается, что, если задача ЛП решена один раз, то при изменении условий в задаче не нужно ее перерешивать, а можно просто соответствующим образом поправить оптимальный план!).