4.8. Вторая теорема двойственности

Теорема 2.  Планы x^* = (x₁^*,…,x_n^*)   и   y^* = (y₁^*,…,y_m^*) – оптимальны (каждый в своей задаче), тогда и только тогда, когда выполняются условия: 

< Ax^*– b , y^* > = 0, (4.15)

< A^Ty^*– c , x^* > = 0, (4.16)

Доказательство.

Проведем доказательство для несимметричной пары двойственных задач.

Прямая задача ЛП	Двойственная задача ЛП
f(x) = < c , x >  max;	g(y) = < b , y >  min;
Ax = b;  (4.17)	ATy  c
x  0

 

Необходимость.

Пусть x^*, y^* – оптимальные планы прямой и двойственной задач соответственно. Покажем, что условия (4.15), (4.16)  выполняются.

Заметим, что при x = x^* из (4.17) следует (4.15). Так как Ax^* – b= 0, значит и скалярное произведение <Ax^*– b, y^*> тоже равно нулю. По первой теореме двойственности для оптимальных планов x^*,y^*  выполняется равенство <c,x*>=<b,y^*>. Подставим сюда выражение для  b из (4.14):  b = Ax^*. Используя правило перекидки, получим:

< c , x^* > = < Ax^*, y^* >= < x^*, A^Ty^* > = < A^Ty^*, x^* > ,

откуда следует  < A^Ty^*- c , x^* > = 0 .  А это не что иное как  условие (4.16)

Достаточность.

Пусть для допустимых планов x^*, y^* справедливы (4.15),(4.16). Докажем их оптимальность.

Условия (4.15) и (4.16) можно записать следующим образом

        < Ax^*, y^* > = < b , y^* > ,   < A^Ty^*, x^* > = < c , x^* >.

По правилу перекидки     < Ax^*, y^* > = < A^Ty^*, x^* >. Так как левые части условий равны, то равны и правые части:

< b , y^* > = < c ,x^* > ,

отсюда по свойству 2  заключаем, что  x^* – оптимальный план прямой задачи, y^* – оптимальный план двойственной задачи. Что и требовалось доказать.

  

Задание. Составить  двойственные задачи к следующим задачам ЛП и найти решение каждой пары.

  

1. f(x) = – 2 x1+ x2  max;               – x1+ x2  2;                   x1+ 2 x2  7;                   xj  0, j =1,2.	2. f(x) = 7 x1 + 3 x2    min;                  3 x1 – x2   1;                   x1 –3 x2  –5;                   xj   0, j=1,2.
3. f(x) = 2 x1+ 3 x2  max;              –3 x1+ x2  3;                 x1 – 2 x2  ;                  xj  0,  j =1,2.	4. f(x) = 6 x1 – 4 x2 min;               3 x1+ 2 x2 ;             – 4 x1  +2 x2 5;                     x1, x2  0.

Проверить, есть ли среди точек

    x ^/ = (5, 0, 0, –2),  x ^// = (1, 1/2, 1/2, 0), x ^/// = (2, 1, 0, 0)

оптимальный план задачи

         f(x) = 4 x₁+ 3 x₂ – 3 x₃ – 2x₄  max;

                    x₁+ x₂ + 3 x₃+ x₄ = 3;

                     x₁ – x₂ + x₃ + 2 x₄ = 1;

                      x_j   0,  j =1,2,3,4.

4.9. Условия равновесия

Продолжим изучение необходимых и достаточных условий  оптимальности планов взаимно двойственных задач, доказанных во второй теореме двойственности:

< Ax^*– b , y^* > = 0 , (4.18)

< A^Ty^*– c , x^* > = 0. (4.19)

Содержательный смысл данных условий рассмотрим для симметричной пары двойственных задач. Запишем эту пару  в координатной форме: 

Прямая задача ЛП	Двойственная задача ЛП
f(x) = c1 x1  + ...+ cn xn  max;	g(y) = b1 y1+  …+ bm ymmin;
ai1 x1 +  ... + ain xn  bi , i =1,...,m,	a1j y1  + … + amj ym  cj, j = 1, ..., n,
xj   0,   j = 1,..., n.	yi  0,   i = 1,…, m.

Раскрывая скалярные произведения, распишем условия (4.18) и (4.19) более подробно.

a_i1 x₁* +  ...  + a_in x_n*b_i ) y_i* = 0 , (4.20)

a_1j y₁*  + … + a_mj y_m* c_j ) x_j* = 0 . (4.21)

В сумме  (4.20) каждое слагаемое  есть произведение разности левой и правой частей ограничения прямой задачи на соответствующую двойственную переменную. Очевидно, что все слагаемые имеют один и тот же знак " ", так как разности в круглых скобках меньше или равны нулю, а  y_i 0. Отсюда следует, что сумма (4.20) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое в ней равно нулю:

a_i1 x₁* +  ...  + a_in x_n*  b_i ) y_i* = 0 ,    i =1,...,m. (4.22)

В сумме (4.21) каждое слагаемое равно произведению разности левой и правой частей ограничения двойственной задачи на соответствующую  переменную прямой задачи. Все слагаемые в этой сумме одного знака (  0 ), так как разности в круглых скобках и переменные  x_j*  неотрицательны. Для того чтобы сумма равнялась нулю, любое слагаемое в сумме должно быть равно нулю.

a_1j y₁*  + … + a_mj y_m*   c_j ) x_j* = 0 ,       j = 1, ..., n . (4.23)

Учитывая знаки сомножителей в произведении (4.22), из него можно получить пару условий

если  a_i1 x₁* +  ...  + a_in x_n*   b_i  ,  то      y_i* = 0 . (4.22a)

если      y_i*  > 0 ,    то   a_i1 x₁* +  ...  + a_in x_n* =  b_i . (4.22b)

Аналогично, из (4.23) следует пара условий

если  a_1j y₁*  + … + a_mj y_m*    c_j ,  то   x_j* = 0 . (4.23a)

если     x_j* > 0 ,  то     a_1j y₁*  + … + a_mj y_m*    c_j . (4.23b)

Таким образом, для пары двойственных задач

• если какое-либо ограничение одной задачи  на оптимальном плане выполняется как строгое неравенство, то соответствующая координата оптимального плана другой задачи равна нулю (условия (4.22a) и (4.23a)).

• Если какая-либо координата оптимального плана одной задачи положительна, то соответствующее ограничение другой задачи обращается в равенство (условия (4.22b) и (4.23b)).

Эти условия называются условиями дополняющей нежесткости или условиями равновесия.